CHAPITRE lI{ — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES
Pi
On peut obtenir la dernière intégrale sans aucun changement de variables. Le produit äw est en effet de la forme
no = dfi .… dfn-1 (dx +. + a,dx,);
les coefficients a; pouvant être calculés par identification. Puisque po
est une forme dérivée, aid: est aussi une différentielle exacte (n°9 26),
On a étendu la définition du multiplicateur de Jacobi aux systèmes complètement intégrables. Avec la théorie des formes symboliques, cette extension est bien facile Soit
(27) Gi — ahdX FE ..: + Cr Da = ER ef 1, 2, rs)
un système complètement intégrable de s équations, équivalent au système
(27) dfi=o dfi=o, die,
; Jar 2 HIT étant s fonctions distinctes. On a : a
E ". = \idfi + ET Xisdfs,
le déterminant A des olsette Xi étant différent de zéro. Gonsidérons le: produit symbolique
sn De "4
toute fonction w des variables (x,, ..., æ,) telle que 4.0 soit une différentielle totale symbolique est un multiplicateur du système (27). D'après ce qui a été démontré plus haut, il existe une infinité de multiplicateurs, dont il est facile d’avoir l'expression générale. Imaginons en effet que l’on ait effectué un changement
de variables de façon que s des nouvelles variables y,, y, ..…., ys
soient précisément les intégrales Jr fes +. fs du système. Le pro duit noue Q devient ads ... dys, et l'on a
LQ — uAdy PR dys Pour que (uQ)'soit identiquement nul, ilsuffitque yA ne dépende
que de ys, …, y. Le quotient de deux multiplicateurs distincts est
toujours une intégrale du système (27).
7 La connaissance d’un multiplicateur est de la même utilité que pour un système d'équations différentielles. Si l’on connaît s — 1
intégrales premières f,, f,, …, fs 1 et un multiplicateur y, on a encore une relation de la forme
uo = dfdf, … dfs 1 » 2 aidx;
les cœfficients a; se calculant par identification. Pour que (a) soit nul, il faut que l’on ait
di Es. ak OLr TDi ?
et on aura une nouvelle intégrale par une quadrature
30. Intégrale intermédiaire d’une équation symbolique. — Toute multiplicité intégrale Mr d’une HAE symbolique w = 0 , d'ordre p est aussi une intégrale de l’équation w! — 0. La proposition "est évidente si r — — p, puisque toute multiplicité d'ordre p est une inté-. grale d’une équation symbolique d’ordré p + 1. Sion a r > p, l’inté-
grale fw', étendue à une multiplicité quelconque d’ordré p + 1,appartenant à la multiplicité Mr, est égale, d’après le théorème de Stokes généralisé, à l’intégrale Jo, étendue à la multiplicité M,, qui limite Mh+1; cette multiplicité M, appartient elle-même à la multiplicité My, et par conséquent l’intégrale fo, étendue à M,, est nulle, puisque Mr est une intégrale de l'équation w — 0.
Réciproquement, soit M- une intégrale à r dimensions de l’équation symbolique w! = 0, de degré p + 1. L'intégrale fo’ étendue à une multiplicité quelconque M»}1, appartenant à Mr, est nulle, et par suite l'intégrale /w, étendue à une multiplicité fermée quelconque M, située sur Mr, est nulle aussi. Supposons la multiplicité M, représentée par les équations |
Lr+1 = ?r41 (4, vs Dr), Sr En, En Pa (M Ta Lr) 5
si on remplace dans w les variables ær+1, .…., æn et leurs différentielles PAT Pr+1, ..., On, dor+1, ..., don respectivement, on obtient une forme symbolique w, de degré p où figurent seulement r variables x4, ...,æret leurs différentielles, et l'intégrale fo, éteñdue à une multiplicité fermée quelconque à p dimensions de l’espace à r dimensions (x, . ,., &r) doit
être nulle, de- sorte que l'intégrale fw,! étendue à une multiplicité q 5 1 P
quelconque à p + 1 dimensions du même espace doit être nulle, ce qui
