CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

exige que l’on ait y — 0, ou »4 — (w2), w2 étant une forme symbolique de degré p — 1 à r variables æ1, æa, .…., ær. La multiplicité Mr est donc une intégrale d’une équation de la forme

(28) — Il’,

Il étant une forme symbolique de degré p — 1, et inversement, quelle

que soit cette forme II, toute intégrale de l’équation (28) est aussi une intégrale de l'équation w' — o. Nous dirons que l’équation (28), où figure une forme arbitraire, est une intégrale intermédiaire de l'équation w' = 0. L’analogie avec la théorie des équations aux dérivées partielles est évidente. Pour qu’une équation symbolique admette une intégrale intermédiaire, il suffit qu’il existe un RME TOUR pour le premier membre

Rémarque. — Le raisonnement semble être en défaut si r — p, car toute multiplicité d'ordre p est une intégrale de l’équation w' —0,mais le théorème est encore exact. Soit M, la multiplicité définie par les équations

Lp+Ài — pp+1(L1; HEC) ss CN — pn(æa, A9, +. Lp) ;

si on remplace dans les variables &p+1, …, &n etleurs différentielles par les fonctions 6p+441 ..., pnet dop+t1, ..., don, il vient

w = f{tu, .… Cp)dids ... dy.

Soient F (z1, ..., æp) une fonction telle que î— — f;'et IL a forme de EX | æ:

degré p — :

PS Fdx: ; . dXp :

la multiplicité M, true est bien une intégrale de l’équation het

Dans le cas particulier où la forme dérivée w' est du second ordre, w est une forme de Pfaff, et l’intégration de l’équation symbolique w' — o est ramence à l'intégration de l’équation de Pfaff

DES d£n11,

àn +1 variables ©, Le, ..., ÆnH.

Prenons par exemple l’équation symbolique (!{)

daidas — dxsdXy = 0;

(!) On est conduit à cette équation, quand on cherche toutes les. transformations ponctuelles d’un plan qui conservent les aires {Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e série, t. 41, 1917). J'ai montré dans cet article comment on peut trouver toutes les solutions de l'équation plus générale

dysdys +. dyn = did, …, , dæn.

elle admet l'intégrale intermédiaire Li + ridrs AR:

Si æ2 et æ3 sont des variables indépendantes, la solution générale est

pe par les deux relations

, Urye , do dL3

(22; æ3) étant une fonction arbitraire de æ2 et de æs.

31. Application aux systèmes canoniques. — Soit. (29) dæi 2H Bi a re 1, 2 dé Dyi dé Di 6

un système canonique, où H est une fonction des 2n variables x, yx,

PAR et de £. H. Poincaré (1) a démontré se [Y dxidyi est pour ce sys

| i 1 tème un invariant intégral.

Considérons les intégrales | MIE,

Go me rer ton to LT yi = yi(a, res n3 0]

qui, pour é — fo, prennent les valeurs as, b; respectivement, Lorsque le point de coordonnées (a;, bi) décrit une multiplicité M, à deux dimensions dans l’espace à 2n dimensions, le point (œi, yi) décrit

lui-même une multiplicité M; à deux dimensions dans ce même espace,

et les deux intégrales multiples

SN ue AN

- sont égales, quel que seu t. En d’autres termes les fonctions Ji oi satis-

font, quel que soit £, à l'équation symbolique

é n ñn r (81) > dxidyi — > daidbi = 0, | HES HSE i=1 | 5 qui peut être remplacée par l’intégrale intermédiaire

| Ga). . D yidæi + D) aidbi = dY.

(1) H. Porncaré, a méthodes nouvelles de La Mécanique Céleste, t. III, p. 43.

LITE 22 00e PRESS c : ide