Rang d’une forme symbolique. — Soit

DDR ua du, ve dy une forme quelconque de degré pan variables. Prenons une permutation quelconque de p— 1 des indices la, By, Ap1)s dt écrivons l’ensemble des termes de à où figure le produit symbolique dx, dx, ... dx

Xp—1?

n ; ; D A0 ae ap 11 dLy dE, .. dt, di.

PA ; S1 nous supprimons le produit de. dx. dans chaque terme,

il reste une forme de Pfaff

Dry ct .. Ap--1 Foi Hilo api dir

En opérant ainsi avec toutes les combinaisons des nindices p— 1 à p— 1, on obtient un système de formes de Pfaff, que nous dirons associées à la forme w, et en égalant toutes ces formes à zéro, on obtient un système S d’ ques de Pfaff que ARE pour abréger le système associé à la forme w.

Pour trouver la signification de ce système, nous démontrerons d’abord le lemme suivant, |

Lemme.— Soient %4, 2, ..., w, des formes de Pfaff linéairement distinctes. Si on développe D produil symbolique ww, …w,, toutes les formes de Pfaff associées à cette forme polo ee sont des combinaisons linéaires de Dis Do, se |

Il suffit évidemment de prouver que le coefficient de dx,dxs: … dx

ph Par exemple, s'exprime uniquement au moyen de w Was +4 D, Soit

6)ÿ vite +- HUE “A + Aindln, (c —= 1, 2, +. P);

si l’on prend chacun des facteurs dæ,, dæs, ..., dx, ,, dans l’un