CHAPITRE I. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

des facteurs w,, ..., &,,, le cœfficient de dx,dx, … dx,, estégal à la forme de Pfaff CRC APE ON Rene PET a a LEE | « “ RE + ‘ 3 D — CA ÉLs + + — O pl y Apnis pue tee ppt

En opérant de même avec tous les autres produits symboliques qui renferment dx, ... dx,,, on voit que le coefficient de ce produit symbolique est égal à une combinaison linéaire des formes y, 2, ..., ©, diminuée du déterminant

EL ee Gps DD EEE IP CSD Bosnie te diet Gr at

y Co trs Dies ee dite be STONE,

qui est identiquement nul, comme somme de déterminants ayant deux colonnes identiques.

Cela posé, supposons que la forme donnée Q puisse s'exprimer symboliquement au moyen der formes de Pfaffo,, 3, .…, linéairement distinctes (p <r <n),

== Si re Ve Ve Vs les coefficients À, , <tant des fonctions quelconques des 1X%2 ... Up J variables æ,, æ,, ..., æ,; d’après le lemme précédent, toutes les formes de Pfaff associées à la forme Q s’exprimeront linéairement au moyen de w,, w2, ..., wr, et par conséquent le système associé S comprend au plus r équations distinctes.

Réciproquement, supposons que le système S dontiéntie r équations distinctes et r seulement, de telle sorte que toutes les formes de Pfaff associées à Q soient des combinaisons linéaires de r formes de Pfaff linéairement distinctes w4, w2, ..., w,. Admettons, pour fixer les idées, que le déterminant des coefficients de dx,, dxs, .…, dx dans ces formes est différent de zéro ; les n formes

sont alors linéairement distinctes, et la forme symbolique à peut

s'exprimer au moyen de celles-là (n° 25 p. 99)

x = Ds, ee. Po Bi Be Be

Soient di, %, ..., %,, un système quelconque de p — 1 indices différents; par hypothèse, la forme associée correspondante s'exprime au moyen des r formes w,,&,, ..., w,. Cect ne peut avoir lieu que siles formesv »11,...,w,ne fiqurent pas dans l'expression de Q. En effet, mettons à part dans Q la forme 0,dx,, où figure dx, et soit 0, la différence Q — o,dx, qui s'exprime aû moyen Les indices æ, a, ...,4 étant supposés

1 CAT ES ee

inférieurs à A, la portion de Mas 4 dpt ui provient de Q,

s'exprime au moyen des formes w,, ... w,,, tandis que la partie

qui provient de a,dx, est égal au produit de dx, par le coefficient

de dx dx dans 0,.La forme w,. . renfermera donc Ut Xp—1 Gi ... Ap—i

un terme en dx, à moins que le coefficientde dx, dx, dans 9,

Ap—1 soit nul. Ceci ne peut avoir lieu pour toutes les combinaisons des n — 1indices 1,2,..., —1,p—1àp—1 à moins que la forme 9, ne

soit identiquement nulle, c’est-à-dire à moins que w. ne figure pas q : n $

dans l’expression de Q. On verrait de la même façon que les formes

Or, ..., Gn—1 ne peuvent figurer dans Q si toutes les formes de Pfaff associées sont des combinaisons linéaires de w4, &9, ..., op. En rapprochant ces deux résullats, on voit que lorsque les équations du système S se réduisent à 7 équations distinctes

Di ==: 0, USE 0. QT 0,

la forme symbolique a peut s'exprimer symboliquement au moyen des r formes linéairement distinctes w,, w+, ..., w, (1). Elle ne peut s'exprimer au moyen de moins de r formes linéaires distinctes, puisque dans ce cas les équations du système associé se réduiraient à moins de 7 équations distinctes. Nous dirons pour abréger que

(‘} Ge théorème peut être considéré comme l’extension aux formes symboli- “ques d’un théorème d’algèbre, relatif aux formes algébriques ordinaires.

Pour qu'une forme algébrique F(x,, &,, ..., &n) de degré p à n variables puisse s'exprimer au moyen de r formes du premier degré linéairement distinctes, il faut et il suffit que toutes les dérivées partielles d'ordre p — 1 de la forme F se réduisent à r formes linéairement distinctes.