CHAPITRE II. — FORMES SYMBOLIQUES DE DiFFÉRENTIELLES

la forme symbolique. est de rang r. On peut d’ailleurs remplacer &ys Dos +. Wr par r combinaisons linéaires distinctes de ces formes. IL est ee que ce nombre r est un envariant, relativement à tout changement de variables. Le système S est de même un sys-

tème covariant. Supposons en effet que la forme © s'exprime sym- PP

boliquement au moyen de r formes de Pfatf linéairement distinctes O1, os W3, +. Wr, Et ne puisse s'exprimer au moyen de moins der formes de Pfaff. Le système S est alors équivalent aux r équations

w; — 0. Si, par un changement de variables x; = v;(y,, ..…., yn), les.

formes w,, .…., w, se changent en r formes dé Pfaff Il, ..…, Il, la forme Q elle-même se change en une nouvelle forme symbolique qui s’exprimera au moyen des formes IL,, IL, ..., Il,, et les équations du système associé à la nouvelle forme sont des combinaisons linéaires des r équations Il; — 0. D'ailleurs ces équations ne peuvent se réduire à moins de r équations distinctes, car la forme @ pourrait alors s'exprimer au moyen de moins de r formes de Pfaff. Les équations du système S se transforment donc, par un changement de variables, en un nouveau système d’équations de Pfaff qui est précisément le système associé à la forme transformée.

Le rang r d'une forme de degré p à n variables est au moins égal à p et au plus égal à n. Si les coefficients de la forme a sont quelconques, on a r — n. Le rang est égal à p si la forme consi-

dérée est le produit symbolique dé p formes de Pfaff et dans ce cas

seulement, ce qui fournit un moyen de reconnaître si une forme

. de degré p est décomposable en un produit de p formes de Pfaff.

Pour une forme de Pfaff w, le système associé se réduit à l’équation w — o elle-même et le rang est égal à un.

Remarque. — Si une forme Q à n variables s'exprime au moyen de n — y formes de Pfaff distinctes, on ne peut en conclure immédiatement que la forme est de rang n — v. On peut seulement

affirmer que le rang est au plus égal à 7 — y, car les équations

de $ contiennent au plus n — y équations distinctes.

Applications. — 1° Etant donnée une forme Q de degré supérieur à un, on ne peut pas toujours, par un changement de variables, la ramener à une forme où figurent moins de n différentielles.

G. Prob. 9 |