CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

de rang inféricur à 29; comme elle est de rang païr, elle est au plus de rang 2p— 2. Elle ne peut être de rang inférieur à 2p — 2, car Q serait de rang inférieur à 20. La propriété étant admise pour une forme de rang 20 — 2, ils’ensuit qu’elle est vraie pour une forme de rang 2p.

La démonstration prouve d'ailleurs que Q peut être mise sous la forme (36) d’une infinité de manières.

Si le déterminant de Pfaff relatif aux équations (35) est nul, la forme Q est de rang inférieur à n, et on peut la ramener à une forme où ne figurent que n — 1 différentielles. C’est ce qui a toujours lieu sin est impair. Sin — /4;et si ce déterminant est nul, on a 7 — 2, et la forme Q est Le produit de deux formes de Pfaff w102, comme on l’a déjà démontré (no 25).

30 Reprenons une forme © à n variables et de rang r inférieur à n. Si l’on a choisi les variables 1, ys, .…, y, de façon que les formes de Pfaff wi, w2, .. , wr ne renferment pas dyn, il en sera de même de 0, et toute multiplicité M, à p dimensions définie par n— p relations de la ‘forme -

Pr Ve fl Ua) > Cie

où, ne figurent que les n — 1 variables 74, ÿ2, .…, Yn-1 est une multiplicité intégrale de l'équation Q — 0, car le produit Qdf, … dfn-p, qui est de degré n et ne renferme que n — 1 différentielles, est identiquement nul. Ces intégrales s’obtiennent en associant suivant une loi arbitraire les intégrales M; à une dimension, représentées par les équations yi = Gi = 1,2,...,n— 1), du système de Pfaff |

D —10); RORNO EE OT =

Plus généralement, supposons que le système précédent admette une famille d’intégrales My à qg dimensions, telle qu’il passe une de ces intégrales par un point arbitraire. On peut alors choisir un système de

variables 71, …., y,, tel que les différentielles dyn-g+1, .…, dynne figu- :

rent pas dans les formes w;, et ces intégrales M, sont définies par les n — q équations ; I Caen = Ce g

: Les différentielles dyn—g+1, ..…, dyn ne figurent pas non plus dans la forme Q, et le produit Qdfi .…. dfn+1-p-q4 est identiquement nul, quelles que soient les fonctions fi, fa, ..., fn41-p-q des n — q variables 71, ..., Yn-g. On obtient ainsi des intégrales à p + q — 1 dimensions de l’équation symbolique Q — 0, engendrées par les multiplicités My associées suivant une loi arbitraire.

- 40 Les raisonnements de ce paragraphe prouvent qu’une forme symbolique qui s’exprime au moyen des r formes de Pfaff