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ne peut être identiquement te s'il n existe pas une relation linéaire au moins entre ces r formes. Toute intégrale de l'équation symbolique Q = o satisfait donc à une ou plusieurs relations de la forme

its Æ doioe + ... + drior 10 PAU = 1,2, +. te

En. écrivant que la relation Q = o est une conséquence des équations précédentes, on obtient un certain nombre de conditions entre les L coefficients SR 8 et les coefficients ?x5, qui permettent d'exprimer

tous ces coefficients au moyen des variables æ1, ..…., æn, et d’un certain nombre de paramètres arbitraires Us ce. Use On est ainsi conduit à un système d'équations de Pfaff À n + s inconnues Zi; +. Lys Us ses Use

33. Classe d'une forme dérivée. — Les formes de Pfaff W4, Oe, ++, Ur au Moyen desquelles s "exprime une forme symbolique à de degré supérieur pouvant être quelconques, il est clair que le système S associé à une forme Q n’est pas en général com plète- - ment intégrable. Mais le système associé à une forme dérivée est toujours complètement intégrable.

On le vérifie immédiatement pour une forme dérivée du second re qui, d’après la théorie d’une forme de Pfaff, peut être ramenée à la forme canonique

dx,dx, + ... + dX2r-1dXor;

le système associé se compose des 2r équations dx;— 0.

Pour ne pas compliquer l'écriture, nous démontrerons la proposition pour une forme dérivée du 3° ordre; la méthode est d’ ailleurs générale (1).

Soit a’ une différentielle totale symbolique du troisième ordre

(37) F—= de Andæidændæ ; î, k,l

= 4 7 nin — L < ; + Je système associé S' se compose des ro équations de Pfaff

(38) Le: CENkdm PEER ; Es | $

Nous voulons établir que, si ce système se compose de 7 équa-

(1) Annales de la Faculté de Toulouse, t, VII, 1915, p. 20 et suivantes.

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