Analogies avec une forme de: Pfaff. — Le système S

est l’analogue du système $S, étudié au n° 5, et le système S + S' l’analogue du systèmeS, (n° 6), qui détermine la classe d’une forme de. Pfaff. On peut expliquer comme il suit pourquoi les

systèmes S'et S + S' sont une généralisation naturelle des systè-

mes S, et 5,. Etant donné une forme symbolique de degré p

Q — Pre s PRET R À. SA de,

considérons p éléments linéaires différents ; 2 (dm dr ex, (HE eEa À (dx, dx, RTS Le M PACE (dx?, NUE,

nous dirons que ces p éléments sont en Enuolmiton relativement à à la forme o, s'ils satisfont à à la relation

DE HA 169) (des) 4 (d2, ) tt

la sommation étant étendue à tous les arrangements des n indices

Dans le cas particulier où p=— 2, si la forme donnée est la forme dérivée w’ d’une forme de Pfaff w, la définition de deux éléments linéaires en involution coïncide bien avec celle qui a été donnée plus haut (n° 8) Il résulte aussi de cette définition que p éléments

linéaires distincts appartenant à une même multiplicité intégrale 7

de l'équation à — o sont en involution relativement à la forme à. Un élément linéaire (dx,, dx,, ..., dx,) est un élément singulier pour une forme © s’il est en involution avec p—1 autres éléments linéaires quelconques relativement à cette forme. Les équations du système S déterminent précisément les éléments singuliers

pour la forme 0, et les équations S’ les éléments singuliers pour la

forme dérivée a. Dans le cas limite où la forme a est une forme linéaire, les éléments singuliers pour cette forme ne peuvent être que les éléments intégraux eux-mêmes. On voit d’après cela que le système S, (n° 5) définit les éléments singuliers pour la forme dérivée w', et le système S, les éléments singuliers pour les deux formes w et w'. Les systèmes S'et S + S' pour une forme de degré quelconque jouent donc le même rôle dans l’étude de cette forme que les systèmes S, et S, dans l’étude d’une forme de Pfaff. :

L’analogie avec la théorie d’une forme linéaire se poursuit plus loin. Le système S', écrit plus haut est évidemment l’analogue du système S, (n° 7) ou système caractéristique pour une équation de Pfaff, tandis que le système S” formé par Île second ExRUEe des équations de 5,

(s") LS Asnder + Aindænia= 0; (ik =1,2,% 1) 117 | est l’analogue du système S,, où système de Pfaff. Si l'on peut satisfaire aux équations de S" sans supposer dXnx41—0, le système S + S'est identique au système S’. Si nous posons en effet | |

les équations de S" s'écrivent

> Aikih + Air = 0,

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