CHAPITRE HI. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

et on en déduit br 2 And + > AixdXr = 0, l k hk

de sorte que les équations du système $S sont des conséquences des équations de S.

Par conséquent, lorsque les deux formes @, 0’ sont de classes différentes, on ne peut satisfaire aux équations de S" qu’en prenant dx, ;, — 0. Ce système S” est donc identique à S', et le système S', est identique à S + S’.. T3 - Lorsque les deux formes Q, a’ sont de même classe, les équations de S sont des conséquences des équations de S’, et les deux systèmes S”, S;' sont identiques. On voit en effet, par une combi-

tions S” vérifient aussi les relations

, à Auadændær + drn+: (2 re) = 0, k, 1. | À |

qui deviennent, en tenant compte de la condition A;xr + Air = 0,

dn+1 (2 RTE) Et ON R

Si dr, ., n’est pas nul, on retrouve les équations du système S.

Si dx,., — 0, le système S" est identique à S'et, par hypothèse,

les équations de S sont des conséquences des équations de S'. Tous les éléments linéaires qui vérifient le système S" vérifient donc aussi le système S et par suite le système S,’.

Des quatre systèmes complètement intégrables 5", 5 + ,51,,5,,5", il y a donc au plus deux systèmes distincts.

86. Classe d’une équation symbolique. Caractéristiques. — Le système S,' donne la classe de l'équation à = 0. Supposons que ce système se compose de » + 1 équations distinctes. [ladmet

alors m intégrales indépendantes de #,,,, et une dernière intégrale dépendant de x,,, de la forme

Lara + Fey, &,) = C,

PPT ENS 287 PMAERE

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qui s’obtiendra par une quadrature quand on aura obtenu les intégrales premières indépendantes de æ,,,. Imaginons que l’on fasse un changement de variables de façon que y,, y», ..., y, Soient précisément m intégrales de S;', la variable auxiliaire æ,,, n'étant pas changée. Les équations

n . ne 2 Bixdyr =0, >: Biridyr + Bixdæny4 = 0 RkR=1 l=1 devront être vérifiées quand on y remplacera dyis dyss . +, dy, par

zéro. Il faut pour cela que tous les coefficients B;r, où l’un des indices est supérieur à m», soient nuls, de sorte que Q ne renfermera que les différentielles dy,, ..., dy. Il faut de plus que les relations

D Bd + Bindtny=0o (iSm k<m) l= m+1 Bixi

AR ER soit inde

se réduisent à une seule, ce qui exige que le rapport pendant des indices ; et À. Mais on a

Bir 0Bri , OBui __ 0Bix dy! dyi OUR AU

Biki —

Fe doit donc être indépendant de y: (=> m), et

par suite le rapport de deux coefficients quelconques de à est indé-

Le rapport —- PP Bir

pendant des variables y,,,,, .…., 4,, etl’on a pour Q une expression de la forme (46) = K > Cixdyidyn (ES LEE î, À

les coefficients Gix ne dépendant que des variables y,, .…, y. Par un raisonnement déjà employé plusieurs fois, on démontre que la forme Q ne peut être mise sous une forme analogue, où le nombre m serait remplacé par un nombre inférieur. C’est ce nombre m que j'appelle /a classe de l'équation à = 0.

Nous avons maintenant deux cas à distinguer. Si le facteur K ne dépend que des variables y,, y, .. Um On peut évidemment

classe de a’ peut être un nombre quelconque inférieur à m.

hé se LS né

ts dt. Éébd