CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Si le facteur K dépend d’autres variables que y,, Ye, ., y, on peut supposer K — y,,,,. Les m + 1 équations du système S', se réduisent à

dy, = 0, ..., dy, —0, ymts + Yi nr = 0.

La classe de Q estm + 1, tandis que la classe de l'équation Q —0 est seulement m». Dans ce cas, la classe de Q’est aussi »m + 1,puisque les systèmes S”, et S + S' sont différents.

En résumé, nous avons trois nombres à considérer : 1° la classe c de la forme Q ; 2° la classe c' de la forme Q’ ; 30 la classe y de l'équation a — o. Ces nombres ne peuvent être tous les trois différents, puisque l’on a y — 6€, si c >> c'. Dans le cas d’une forme de Pfaff, deux de ces nombres sont toujours différents.

Pour une forme de degré supérieur, ces trois nombres peuvent être éqaux. :

Parexemple, pour la forme 0 —x,dx,dæx, + x,dx;dæx, + dx;dx,, les systèmes S', S”, S + S', S', sont identiques et donnent dx; = 0 (= 1, 2, …, 6). Les trois classes sont égales à 6. Il en est ainsi toutes les fois que le système S est équivalent à S'. Au contraire, pour une forme y,.,dy,...dy,,on ac=c'=p+1,y= p.

Le système S,', où x,,, est regardé comme, un paramètre auxiliaire, est encore le système caractéristique pour l'équation Q — 0. Toute multiplicité intégrale de ce système, c’est-à-dire toute multiplicité dont tous les éléments linéaires vérifient les équations de S;', est une multiplicité caractéristique. I] existe des multiplicités caractéristiques M,,, à na — m dimensions représentées par les équations À

| : PEAU + #2 is es

où Yi, :.., ÿ, sont m intégrales de S,', indépendantes du paramètre z,.,, et toute multiplicité caractéristique s'obtient en prenant une multiplicité arbitraire sur une de ces multiplicités M,,,. Nous dirons que y,, .…., y, forment un système de variables caractéristiques. “

Le lieu des multiplicités caractéristiques M,,, issues des diffé-

rents points d'une multiplicité intégrale quelconque M, de l'équa-

tion Q — 0 est aussi une multiplicité intégrale de la même équalion. #

La démonstration est toute pareille à celle du n° 17. Supposons l'équation a — o ramenée à une forme réduite où ne figurent que

les m variables caractéristiques y1, ..…, y, et leurs différentielles. Soient nier (4: Yi PAU loss ris (LES RE RER À

les équations qui représentent une intégrale M, à r dimensions, Uy, -., Ur étant r paramètres arbitraires. Les conditions qui expriment que les équations (47) définissent une multiplicité intégrale ne ‘font intervenir que les 77 fonctions +,, ..., 0. On peut donc remplacer 4,41, -..,+, par des fonctions absolument arbitraires des 7 paramètres u; ou d’autres paramètres. Les équations

AU CHUTÉ ND Ur), es Ym = Em(u,, des 4 Ur), YnmH = Uri, ee, Yn = Urtn-m;,

OÙ Ur+iy +.» Urkn—m SON de nouveaux paramètres arbitraires, représentent donc aussi une multiplicité intégrale qui sera à r + n—m dimensions au plus. Ilest clair que cette multiplicité est le lieu des multiplicités caractéristiques M,., issues des différents points de la multiplicité M. En particulier, le lieu des multiphicités caractéristiques M,,, issues des différents points. d’une multiplicité quelconque d'ordre inférieur à p est une multiplicité intégrale.

REMARQUE. — Considérons le produit symbolique de p formes de Pfaff distinctes Q — W,0, ... 0.

Siles p équations w; — o forment un système complètement intégrable, ce produit peut être ramené à la forme

o = Kdy, ... dy, ;

IFR y» Sont les variables caractéristiques, et la détermination

des multiplicités ANNE est ramenée à l'intégration du

système des p équations w; — 0. | Plus généralement, sio est le produit de p formes de Pfaff quel-