L\ NOTION DE FONCTION ANALVTIOUK

et définie à l'origine, et considérons la fonction

Quand u décrit C, z^ e" décrit le cercle de rayon e et deux demidroites d'argument i. De même^ quand u décrit C,^ s décrit deux cercles de rayons e et e- et deux segments de droite. Examinons par exemple ce dernier cas. Quand :; est situé dans la couronne^ la partie réelle de log:; est comprise entre i et 2, une seule des branches du logarithme se trouve dans le domaine d'existence de g{u); la fonction f{z) est donc uniforme dans la couronne. En dehors de la couronne^ elle a au contraire une infinité de branches. Les cercles \z\= e ou e- sont coupures pour toutes les branches sauf une; les segments : argz^ zb i sont coupures pour la branche unique définie dans la couronne.

Reste à montrer que ce sont toutes les branches d'une même fonction analytique; cela résulte de ce que le point critique z= o donne des valeurs de u pour lesquelles g{u) est définie.

Lensemble singulier.

Revenons maintenant aux généralités. Je dis que l'ensemble singulier d'une fonction uniforme est fermé, ce qui est une restriction très importante. En efîet^ un point régulier est centre d'un cercle où la fonction est holomorphe; donc il ne peut pas être limite de points singuliers.

Le même raisonnement s'applique-t-ilà une fonction multiforme? Evidemment non. En reprenant la démonstration précédente^ nous pourrons dire tout au plus qu'un point régulier pour une branche donne naissance à un cercle où cette branche est holomorphe; mais les autres branches peuvent a priori admettre des points singuliers tendant vers le point donné.

Supposons cependant que la fonction admette au point donné un nombre fini de branches. AlorSj, chacune de ces branches étant holomorphe dans un certain cercle^ le plus petit de ces cercles ne contient aucun point singulier et le théorème est encore exact.

Mais supposons qu'il y ait au contraire une infinité de branches,, toutes régulières au point z= a; chacune est holomorphe dans un

cercle de centre a, et sur la circonférence de chacun de ces cercles il y a un point singulier. Donc^ pour que le point régulier a soit limite de points singuliers^ il faut et il suffit que la limite inférieure des rayons dliolomorphie des différentes branches soit nulle.

Il est bien manifeste que ce cas doit pouvoir se présenter. Je vais en tous cas le montrer par des exemples.

Considérons une série dénombrable de points z,,^ ^\y ---j ^n, ••• ayant pour point limite un point v. Posons

9/j désignant l'argument compris entre o et 2- de z„, et choisissons parmi les déterminations de logz.^ la suivante,

le multiplicateur de 2/- étant l'indice n de :;,/. Appelons u^i ce point et considérons dans le plan des u l'ensemble des points u,i. Ces points sont isolés et leur seul point limite est le point à l'infini, car, pour associer une infinité de points u, on est obligé de prendre une infinité de valeurs de n et, par suite, de faire croître indéfiniment le coefficient de i. Nous pouvons donc former une fonction uniforme g [u) ayant pour seuls points singuliers ces points u (par exemple une fonction mércmorphe ayant les Un pour pôles). Considérons alors la fonction

/(.-) = ^(log^).

Ses points singuliers sont, outre ceux du logarithme, les points tels que log z = u,i, c'est-à-dire les points z,i : tous ces points sont effectivement singuliers pour une branche de J'{z). Je dis maintenant que le point v est régulier pour toutes les branches de fÇC). Prenons en effet une détermination quelconque de log^; il lui correspond un point du plan des u qui n'est ni peint limite des U;, ni confondu avec l'un d'eux; il est donc régulier pour g[u). Le point s est un point régulier limite de points singuliers.

C'est pour simplifier que nous avons supposé que les Zn avaient un seul point limite ^ : la conclusion s'applique à n'importe lequel de leurs points limites qui n'est pas en même temps un point z,i.

Prenons par exemple pour Zn l'ensemble des points du plan à coordonnées rationnelles. Cet ensemble est dénombrable et dense