LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUC

dans tout le plan. Posons encore

Zn=rne''^n o^6,,<2 7:,

l'ensemble u est isolé et a un seul point limite^ savoir le point à l'infini. Considérons encore la fonction g{u) qui a les points u,, pour points singuliers^ et posons

/(^)= i?-(log3).

Cette fonction admet un ensemble de points singuliers dense dans tout le plan^ et elle est régulière en tous les points Z dont une coordonnée au moins est incommensurable. Quant aux points z,/, chacun d'eux est singulier pour une seule branche^ régulier pour les autres ( ' ).

La défini lion des points singuliers.

Nous sommes maintenant en mesure de donner une définition générale et commode des points singuHers et d'expliquer en même temps pourquoi l'on doit rejeter telle ou telle définition naturelle au premier abord.

Laissons d'abord de côté la définition adoptée jusqu'à présent, et proposons-nous, étant donné un point a, de reconnaître s'il est singulier en prolongeant analytiquement la fonction w (z) à partir de la valeur ^o jusqu'au point a. A cause des branchements de la fonction, nous avons vu que a peut être régulier ou singulier suivant la branche et le chemin suivis. Devons-nous accepter la définition suivante : a est singulier si, quel que soit le chemin suivi, on ne peut jamais régulièrement atteindre a (je veux dire encercler a dans le cercle de convergence d'un élément de fonction)? Évidemment cette définition ne donnera pas de points non singuliers, mais elle nous fera rejeter les points qui ne sont singuliers que pour quelques branches seulement : les points singuliers pour toutes les branches sont peut-être plus singuliers

( ' ) C'est M. Painlevé qui a le premier signalé ces singularités auxquelles conduit logiquement la notion de fonction analytique de ^Yeie^st^ass. Voir la Notice sur ses travaux scientifiques, Paris, 1901.

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que les autres^ mais une définition qui les donnerait comme seuls points singuliers serait évidemment insuffisante.

Pouvons-nous^ au contraire^, transformer ainsi la définition : a est singulier s'il existe au moins un chemin z^a^ qui ne permette pas d'atteindre régulièrement a. Cette seconde définition est encore plus mauvaise que la première, car elle nous donne comme points singuliers tous les points du plan. Il nous est loisible^ en efîet^ de faire passer le chemin z„a par un point singulier^ par exemple celui qui est sur le cercle de convergence de l'élément de fonction au point z,), et le prolongement analytique ne nous permettra pas d'atteindre a. La définition est donc inacceptable.

Il nous faut donc nous rabattre sur une définition qui donne pour points singuliers ceux qui sont mis directement en évidence comme tels. La définition donnée au début a cette propriété; pouvons-nous nous en contenter? Pas davantage; il y a des points qui sont certainement singuliers et qui ne se trouveront jamais sur un cercle de convergence d'élément de fonction : soit par exemple une fonction uniforme ayant pour coupures deux demi- droites indéfinies Ox^ Oy et définie dans l'angle xOy. Tous les points des droites Ox et Oy sont sur le cercle de convergence de certains éléments de la fonction^ mais il y a exception pour 0 lui-même^ et cependant 0 est singulier. On peut dire qu'il l'est comme point limite de points singuliers, et proposer d'ajouter aux points mis en évidence sur les cercles de convergence leurs points limites : cela aurait un très grave inconvénient, puisque nous avons vu qu'un point peut être limite de points singuliers sans être singulier lui-même pour aucune branche de la fonction; la définition n'est donc pas acceptable non plus. Elle aurait encore l'inconvénient de faire appel à tous les éléments de la fonction analytique^ alors que nous savons qu'on peut représenter toute la fonction par une infinité simplement dénombrable d'éléments une fois choisis.

Voici, en définitive^ à quelle définition nous nous arrêtons. Je dirai que a est point singulier s'il est possible de prolonger analytiquement la fonction sur un chemin z^a aboutissant a a de façon à atteindre le point a, mais pas à le dépasser; en d'autres termes^ on pourra atteindre et dépasser sur le chemin tout point du chemin aussi voisin de a que l'on voudra.

LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE. ^ï

On peut encore préciser ainsi cette définition. Pour que a soit singulier^ il faut et il suffît qu'il existe un chemin Zo a tendant vers a seul et jouissant des propriétés suivantes : i^ tout point z de ce chemin est le centre d'un élément de fonction^ ces éléments constituant dans leur ensemble une même branche de fonction^ c'est-à-dire se prolongeant les uns les autres ; 2^ le rayon d'holomorphie de chaque élément est infiniment petit avec la distance za ( ' ).

Cette définition a un inconvénient [apparent : si une fonction uniforme^ par exemple^ a une coupure fermée, les points de la coupure se trouvent seuls singuliers et non les points extérieurs à la coupure; or ce ne sont évidemment pas là des points réguliers. On échappe à cette objection en classant les points du plan en trois catégories : les points réguliers^ les points singuliers, et, en troisième lieu, les points en dehors du domaine d'existence de la fonction pour lesquels, la fonction n'existant pas, on peut dire ou non qu'ils sont singuliers sans qu'aucun inconvénient grave en résulte.

Malgré la simplicité de cette notion ainsi précisée, on a bien l'impression que la définition de Weierstrass qui tient en quelques lignes laisse apparaître, quand on la creuse, une complication formidable, et l'on sent bien la nécessité d'une représentation nouvelle, d'une image, qui permette d'éviter cette complication. C'est la notion de plan multiple de Riemann qui va nous la donner.

Les surfaces de Riemann.

On sait quelle simplification apporte dans la théorie des fonctions algébriques la notion de plan recouvert de plusieurs feuillets infiniment voisins, unis entre eux au moyen de petites surfaces joignant les bords infiniment voisins de lignes de passage tracées dans les feuillets, de façon que le tout forme une seule surface. La conception de cette surface tient à cette remarque qu'étant

( ' ) Il est à peu près évident que^, moyennant ces deux hypothèses, le rayon d'holomorphie qui est infiniment petit ne peut pas être plus grand que za lui-même; il lui est inférieur ou égal. Dans ce dernier cas, a sera mis directement en évidence comme point singulier.

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donnée une fonction algébrique^ à l'indication des coordonnées d'un point du plan^ il faut adjoindre l'indication de celle des branches dont on parle pour connaître la valeur de la fonction en ce point. On peut faire pour les fonctions multiformes quelque chose d'analogue^ mais il faudra naturellement superposer une infinité de feuillets^ puisque le nombre des valeurs de la fonction en un point est en général infini.

C'est à M. H. Poincaré (') qu'est due cette conception. Voici comment il la présente. Associons à chaque point du plan des z une des valeurs prises par la fonction (^ (z)^ ce qui se fait d'une infinité de façons, et regardons comme distincts deux points confondus géométriquement si les valeurs inscrites de la fonction sont différentes. Imaginons alors une infinité de feuillets plans superposés et réunis de façon à former une surface connexe; pour définir entièrement cette surface^ il nous suffira d'indiquer à quelle condition nous en regardons deux points comme distincts. Pour cela^ il suffira : ou bien qu'ils aient des coordonnées différentes; ou bien^ s'ils ont les mêmes coordonnées^ que les valeurs de la fonction qui y sont inscrites soient différentes; ou bien^ ces valeurs étant les mêmes, que les points se trouvent intérieurs à deux cercles de convergence de deux éléments de fonctions qui ne sont pas identiques.

Il n'est pas douteux que ces quelques lignes sont suffisantes pour donner à chacun une conception nette de la surface^ mais il n'est pas moins vrai qu'il est nécessaire et d'ailleurs extrêmement intéressant et important de développer beaucoup ces indications. J'aurai livré le fond de ma pensée, quand j'aurai dit que les progrès ultérieurs de la théorie générale des fonctions multiformes résulteront presque uniquement des progrès de la théorie des surfaces de Riemann à une infinité de feuillets. Et il s'en faut de beaucoup qu'on puisse du premier coup arriver à des résultats aussi simples que ceux qui concernent les surfaces attachées à une fonction algébrique. Là^ on n'avait affaire qu'à un nombre fini de points critiques; on les joignait entre eux par un certain nombre de coupures. On ne peut pas procéder ainsi quand on a affaire à une infinité^ qui n'est même pas dénombrable^ de points singuliers.

( ' ) Bulletin de la Société Mathématique, i883, et Acta MatJipmatica, t. XXXI.