LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE
deux branches de la racine carrée se permutant autour du point critique :: = o^ il s'agit^ bien entendu^ du prolongement analytique de la même fonction. On voit sur la figure [fig. i )^ où les chemins marqués de flèches se correspondent^ comment se fait l'échange des branches. Soit encore une fonction uniforme que nous allons préciser dans un instant^ «(w) ; posons u = log ::. Quand :: décrit la droite D : z = I + u., u est donné par
Il = \o2;
log(i -f- À^)
i arc taiiir A
•?.ik
Il y a donc une infinité de points u qui décrivent des courbes toutes égales {fîg. 2) s'étendant à l'infini. Soit C l'une de ces courbes.
Fii;. 2.
Construisons la fonction uniforme g{u) de telle sorte qu'elle admette cette courbe pour coupure et qu'elle soit définie à l'extérieur de cette coupure. Nous verrons plus loin (p. 44) que cette fonction peut être construite. Nous pouvons alors définir par prolongement analytique la fonction
Supposons que z se déplace dans son plan et vienne en un point de D. Suivant la branche de logarithme dont on s'occupe, u=\ogz tendra vers un point de C ou vers un point d'une des autres courbes égales à C. Dans ce dernier cas, le prolongement analytique au delà de D est possible. Donc une seule branche de g(logz) a D pour coupure. Ici encore toutes les branches du logarithme peuvent s'échanger entre elles, car les points voisins
de z= o donnent des points u à partie réelle très grande et négative^ c'est-à-dire situés dans le domaine d'existence de g (u).
En prenant au contraire pour g (u) une fonction ayant pour coupure l'ensemble des courbes C sauf une, on aura une fonction qui admet une branche à droite de D (uniforme) et une infinité à gauche. Voici des exemples plus simples de cette dernière circonstance.
Formons une fonction uniforme g{u) (ce qui est possible^ nous
Fii:. 3.
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fz >
le verrons) admettant pour coupure soit [fig. .)) l'ensemble C^
Fig. 4-
TT
soit {fig. 4) l'ensemble C,/
w = I + bi, Il = 2H- bi, u — a dz i\
