LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE

D'ailleurs^ ce ne sont pas ces coupures qui jouent un rôle essentiel dans l'étude de la surface : elles ne sont qu'une simplification d'ordre surtout didactique. Mais, si on ne peut rien faire de tel ( ' ) pour une fonction analytique multiforme^ l'inconvénient n'est sans doute pas très grand.

Voici comment on peut rendre un peu plus concrète la conception de M. Poincaré. Il ne faut pas regarder^, bien entendu;, comme définitives les quelques lignes qui suivent. Au contraire, le but de ce Livre sera rempli si j'ai pu persuader le lecteur du grand intérêt qui s'attache à des recherches sur ces surfaces. Mais je pense que ces explications contribueront à la netteté de la conception.

D'après M. Poincaré^ on peut trouver une infinité dénomhrahle d'éléments de fonction P,/ (z) dont l'ensemble représente entièrement la fonction^ c'est-à-dire que^ si on a pu atteindre un point Zq avec la valeur de Wq de la fonction, ce point z,, est intérieur à un des cercles de convergence de l'un des éléments^ et cet élément prend en Zo la valeur w^ (-). Désignons par C, le cercle de convergence de P« [z).

Parmi les cercles C,/ prenons-en deux quelconques empiétant l'un sur l'autre. Alors^ dans la partie commune aux deux cercles^ les deux éléments correspondants ont ou n'ont pas la même valeur. S'ils ont la même valeur^ supprimons les deux arcs de cercle qui limitent cette partie commune. Supposons cette opération faite pour tous les couples de cercles G,, (ce qui se fait par une infinité dénombrable d'opérations). Convenons alors que, si deux cercles se recouvrent sans que les éléments coïncident, leurs plans sont superposés^ mais non confondus. Au plan des z est alors substituée

(') Dans ses Leçons sur les fonctions définies par une équation du premier ordre, M. Boutroux considère la surface de Riemann attachée à une fonction multiforme comme sillonnée ainsi par un système de coupures. On est en droit de demander quelques explications supplémentaires.

(■) Une question intéressante qu'on peut se poser à ce sujet est la suivante. Je l'ai signalée dans mon cours. Un de mes auditeurs, M. Dienes, m'a dit se l'êtro posée également : peut-on représenter entièrement au sens donné à ces mots dans le texte une fonction analytique par un ensemble dénombrable d'éléments Pw{z) jouissant de plus de la propriété suivante : que chaque élément V,i prolonge analytiquement le précédent P/^ i ? Cela ne résulte pas de la démonstration de M. Poincaré pour le théorème indiqué. La question est intéressante à étudier.

une surface formée de feuillets plans sans que nous ayons à nous inquiéter de la façon dont ces feuillets sont réunis ou de la façon dont ils se traversent.

Voici le grand intérêt qui s'attache à la conception de ces surfaces.

S'il n'est pas simple, comme on l'a vu^ de donner des points singuliers en général une définition satisfaisante^ il est encore plus difficile de définir les points singuliers attachés à une branche déterminée de fonction et même de définir une branche de la fonction. A vrai dire^ ces expressions sont strictement dénudées de sens, et la première des choses à faire serait justement de leur en attribuer un. Sur la surface de Riemann^ la question est certainement plus simple. Il est probable^ en outre^ que sur la surface de Riemann l'ensemble des points singuliers doit être un ensemble fermé. Ces indications sont évidemment bien vagues ; mais cela montre justement combien cette importante question mérite d'être travaillée.

Classification des points singuliers.

Il nous faut maintenant, en nous basant sur la théorie des ensembles^ établir une classification des points singuliers; mais cela ne peut se faire qu'après avoir résolu la question suivante : existet-il toujours une fonction analytique admettant un ensemble singulier donné? et, dans le cas contraire, quels sont les seuls ensembles singuliers qui puissent se présenter?

Supposons d'abord qu'il s'agisse uniquement d'une fonction uniforme. L'ensemble singulier est alors^ nous l'avons vu^ un ensemble fermé. Demandons-nous donc si^ étant donné un ensemble fermé quelconque^ on peut former une fonction analytique uniforme admettant cet ensemble comme ensemble singulier. Nous allons voir que la réponse est affirmative moyennant certaines conventions. La question a déjà été étudiée à un point de vue peut-être un peu différent par certains auteurs, notamment M. Goursat ( ' ). Mais la démonstration de ce dernier n'est pas absolument générale; de plus, elle est basée sur des

( ' ) Bulletin de la Société mathématique, 1887.

L\ NOriOX DE FONCTION ANALYTIQUE. 4>

considérations géométriques qui demandent à être rendues absolument rigoureuses^ ce qui est sans doute possible. C'est pourquoi je reprends entièrement la question.

Soit E l'ensemble donné; on a vu plus haut (p. i4) que l'on peut trouver un ensemble F dénombrable de points de E dont le dérivé soit E lui-même. Soient an les points de F. Considérons la série

en supposant que les A.v sont des nombres par exemple réels et

positifs et^ pour l'instant^ tels simplement que la série ^ A// soit

convergente. La suite fera apparaître d'autres conditions pour les A„.

La série ( i ) converge absolument pour tout point z distinct des points de E. En efîet^ la distance z — a,/ pour un tel point a un minimum non nul o; l'on a

et le second membre est une série convergente.

Elle converge aussi uniformément dans tout domaine D ne comprenant aucun point de E à l'intérieur ou sur la frontière^ car, dans ces conditions,, l'écart de D à E est un nombre non nul o; on a donc, quel que soit n et quel que soit z dans D,

z — an> 0,

d'où l'inégalité (m) et la conclusion ( ' ). La fonction /( 3) est donc analytique et uniforme dans tout domaine D, et ses seuls points singuliers sont parmi les points de E. Mais il faut montrer que tous les points de E sont effectivement singuliers ; il suffira de le démontrer pour les points de F, car tout point de E est limite de points de F et tout point limite de points singuliers est singulier. Soit à démontrer que le point z = ap est singulier; s'il ne l'était

( ' ) Le domaine D peut d'ailleurs ne pas exister. Alors E comprend tout le plan.

46 CIIAPITllE II.

pas^ la fonction f[z) serait holomorphe dans tout un cercle de centre ap et par suite serait bornée dans ce cercle. Il suffira donc de montrer qu'on peut trouver des valeurs de z aussi voisines qu'on veut de a^ où le module de / (z) dépasse toute valeur donnée.

Posons^ A;/ = S^ et traçons de a^ comme centre deux cercles

de rayons o et o' = 2o; dans la somme de la série (i) distinguons .) groupes de termes.

1 o le terme — '-^ — ;

2° la somme > -^ relative aux points a,i intérieurs au

cercle o';

.)0 la somme ^ -:—^ — relative aux points extérieurs au même cercle.

Évaluons d'abord 2, 5 supposons z intérieur au cercle o; alors z — an est au moins égal à o. On a donc

ly j^|<'y A„<^i^.

\^-iZ — (1,1 \ 0^2 ' \z~ai>\ Calculons maintenant 7 ; on a

3 — (la Z — a,, [ z - a„){z — a,,) et, par conséquent^

JmJiZ — (i,i z — (ipÂU\ Z — (ip^^iz — aii

Je vais déterminer des points z (intérieurs au cercle 0) de façon que la deuxième partie de la somme soit négligeable. Pour cela considérons l'ensemble des points du plan, pour lesquels on a

'// I "" n<ll

q désignant un entier provisoirement arbitraire. Ces points sont les points extérieurs au cercle d :

\z — an\= •