I.A NOTION DE FONCTION ANALYTIOLE

Si je m'arrange de façon que la somme des aires de ces cercles soit inférieure à -o-, il restera certainement des points du cercle o extérieurs à tous les cercles C„ ; il suffit pour cela que

ou encore

On devine sans préciser davantage que, quelque grand que soit

donné l'entier q, on peut toujours choisir a priori la série V kn assez

rapidement convergente pour que la somme précédente étendue à toutes les valeurs de n à partir de n = p'' soit, quel que soit p, inférieure à tout nombre donné. Or p est un entier fixe, et, si nous négligeons les valeurs de n inférieures à p^, nous retranchons de /'(z) une fonction rationnelle de :; holomorphe et par conséquent bornée pour z = ap, et qui par suite ne saurait modifier nos conclusions. Donc, nous supposons la condition précédente ( î ) remplie ; je laisse au lecteur le soin de déterminer h et ;jl en posant par exemple K = n~v.

Soit donc un point :: pour lequel toutes les conditions

lieu. Calculons 7 pour un tel point; nous aurons

) ont

Or

■îo :

donc a fortiori

•>.A/, y^ 1 j -3 — ap ^ ^^i ii'i

et l'on peut écrire

2OA,, ^ I 3 — a,, ^mà n'i

Cin

6 désignant un nombre de module inférieur à l'unité.

Nous aurons en définitive

z — a p z — ap z — cip z — cip ^U ti'i

9 désignant différents nombres de module inférieur à i .

Choisissons l'entier q de façon que ^— soit inférieure à -; c'est

évidemment possible^ et cela que la somme ^ commence

à n = p^ ou qu'elle commence à n= 2; le choix ainsi fait de q détermine le choix des Au de façon que l'inégalité (4) ait lieu, et je remarque que cette inégalité subsistera a fortiori si l'on prend une série A,/ plus rapidement convergente. Supposons qu'elle soit

assez rapidement convergente pour que l'on ait \-^«< -7^' la

somme étant étendue à toutes les valeurs de n supérieures à p^ (^h=-i si l'on veut). Négligeons définitivement toutes les valeurs de n (sauf n =^ p) inférieures à p^ et supposons que ces valeurs ne figurent pas dans l'égalité (5); la fonction /(z) n'est donc plus celle du début, mais en diffère par une fonction holomorphe connue. On a alors

Or la parenthèse est supérieure à

ni

et a fortiori à Donc

Si l'on veut que /{z) soit plus grand que M, il suffira donc de prendre

(en remarquant que le choix de 0 n'intervient pas dans la détermination de q^ h, \j.), et l'on pourra affirmer que dans le

LA NOTION ni-: FONCTION ANVLVTIOLK. 49

cercle o il y a des points z où \J {z) \ = M. Donc la fonction /(z) n'est pas bornée; il y a contradiction.

J'ai laissé de côté à dessein la détermination précise de certains éléments du calcul précédent pour montrer qu'il y a un certain degré d'arbitraire dans le choix de la série 7 K„. Cependant^ elle

ne peut sans doute pas être prise absolument au hasard^ car on comprend que^ le point ap étant limite de certains points a,,, il faut

que les termes ■: correspondants ne viennent pas détruire

c (ifi

l'effet du terme qui devient infini - '

Remarquons encore qu'il peut exister des fonctions absolument différentes de celles que nous venons de former^ et qui admettent E pour ensemble singulier : supposons que E soit par exemple une circonférence; les fonctions /(z) que je viens d'obtenir deviennent infinies au voisinage de tout point du cercle; or, on sait, et nous y reviendrons, qu'il y a des fonctions admettant E pour coupure et bornées ou même continues au voisinage de E et sur E.

La démonstration précédente répond-elle absolument à la question posée? Avons-nous bien obtenu une jonction analytique uniforme ayant E pour ensemble singulier? Pas tout à fait. Dans tout domaine connexe sans point commun avec E, la série uniformément convergente ( 1 ) définit une fonction analytique. Distinguons donc deux cas. Ou bien l'ensemble E morcelle le plan, ou bien il ne le morcelle pas. Dans le second cas, deux points distincts de E, z„, Z|, peuvent toujours être joints par un trait qui ne contienne aucun point de E et par suite on peut trouver un domaine connexe sans point de Ë, contenant Zo et Z\. Donc /(z,,) et J (zi) sont les valeurs aux points z,,^ z, d'une même fonction analytique (uniforme). Dans le premier cas, au contraire, la série /(z) définit autant de fonctions analytiques au sens de Weierstrass qu'il y a de morceaux séparés par E dans le plan. Chacune de ces fonctions admet d'ailleurs tout ou portion de E comme frontière naturelle et par suite ne saurait être prolongée là où d'autres existent ( ' ).

(^) On peut même partir de là avec M. Borel pour concevoir sans contradiction une généralisation de la notion de fonction analytique (voir Thèse, 1894, ou Annales de V École Normale, 1893).

Zoii. A

5o CIIAP1TI4K 11.

Ce n'est qu'avec cette restriction indispensable et qu'on pouvait prévoir qu'il est permis de dire que nous pouvons obtenir une fonction analytique ayant pour ensemble singulier un ensemble fermé donné.

Supposons que E comprenne une aire; si l'on applique exactement le procédé précédent^ qui n'est pas en défaut^ on trouve une fonction qui n'existe pas dans cette aire; mais on peut modifier le procédé de la façon suivante : on prendra l'ensemble an dense sur la frontière de E. On obtiendra alors par la série / (z) deux fonctions analytiques définies l'une à l'intérieur^ l'autre à l'extérieur de la frontière de E.

Posons-nous maintenant la même question pour une fonction multiforme. Quel est l'ensemble singulier le plus général qu'elle puisse admettre? Comme je vais le montrer^ tout dépend de la définition choisie pour ce qu'on appelle point singulier. Je montre d'abord^ qu'avec la définition ordinaire^ on peut former une fonction ayant pour points singuliers tous les points du plan.

Considérons dans le plan des z une série de cercles concentriques à l'origine de rayons r,i tendant vers zéro^ et posons z = re'^, 0 étant compris entre o et 2t:. Posons u = logz et supposons que lorsque z décrit le cercle rn nous considérions le point

Lii, z^ log r,i 4- f ( 0 -h i II- ) ;

ce point décrit un segment de droite parallèle à l'axe complexe. Formons une fonction uniforme g [u) admettant ces segments de droite pour lignes singulières. La fonction g{\ogz) = J\z) admet tous les cercles r„ comme coupures ; elle est définie dans tout le plan des z, mais on pourrait dire que chaque branche admet pour points singuliers tous les points extérieurs au cercle coupure r,i correspondant. Tous les points du plan seraient donc singuliers.

Doit-on considérer ce qui précède comme satisfaisant? Oui^ lorsqu'on appelle point singulier un point a tel qu'on puisse trouver un chemin za le long duquel le prolongement analytique ne permette pas de dépasser \a. Mais alors nous savions déjà que tout point du plan est singulier quelle que soit la fonction / [z) donnée.

Nous avons été conduits à la définition suivante : un point a est singulier s'il existe un chemin za tel qu'en le suivant,, le prolon-

LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUIi. 0 1

gement analytique permette d'atteindre a, mais pas de le dépasser. En d'autres termes, le rayon d'holomorphie doit tendre vers zéro quand z tend vers a sur ledit chemin, et cette définition a l'avantage de ne donner pour points singuliers que ceux qui sont réellement mis en évidence sur la frontière du domaine d'existence.

Cette définition étant ainsi précisée^ l'ensemble singulier est-il quelconque, ou^ dans le cas contraire, à quelles restrictions est-il soumis? La question n'est pas résolue ( ' ); elle paraît devoir l'être très simplement quand la notion de surface de Riemann attachée à une fonction multiforme sera suffisamment éclaircie. Je donne comme vraisemblable le résultat suivant : Vensemhle singulier est la somme d'une infinité dénomhrahle d'ensembles fermés. On comprend qu'il en puisse être ainsi si l'on réfléchit que le nombre des branches est dénombrable et que^ sans doute, on pourra définir les points singuliers d'une branche de façon que leur ensemble soit fermé.

Essayons de démontrer la réciproque : peut-on former une fonction ayant pour points singuliers les points obtenus en réunissant une infinité dénombrable d'ensembles fermés E,, Ej^ ..., E/^?

Posons

z = re'^ (o^0<27:)

et faisons correspondre aux points E les points suivants : si z est un point de E,, posons

si Z est un point de E„;, posons

U;i=\o<^r -^ i{^ — in-).

Nous obtenons ainsi un ensemble dénombrable d'ensembles :

( ' ) Je n'ai pas voulu, en rédigeant ce Livre, modifier la façon dont j'avais présenté cette question au cours. Depuis lors, une Note de M. P. Kœbe a paru dans les Comptes rendus (t. CXLIX, 1909^ p. i446), où il étudie la question de la détermination d'une fonction analytique par un domaine d'existence (une surface de Riemann) donné. Il considère la surface comme limite de surfaces ayant un nombre fini de points de ramification. On trouvera dans la Note du même auteur (t. CXLIX, p. 824) l'indication de ses travaux sur l'uniformisation des fonctions analytiques.

52 chapitre: ii.

les ensembles U|^ i^.j, . . .^ U;,^ .... Je dis que l'ensemble

a = Kl -T- ll^-r- . . .-h Ufi-r- . . .

est fermé en y ajoutant le point à l'infini.

En efîet^ pour avoir un point limite des u on peut s'y prendre de deux façons : ou bien employer un nombre fini de valeurs de Uy et prendre alors au moins dans l'un des u,i une infinité de points ; ou bien employer une infinité de valeurs de n. Dans le second cas^ les points u correspondants tendent vers l'infini^ car n doit croître indéfiniment et par suite 0 -j- 2 n-. Dans le premier cas^ supposons n fixe et supposons que les points

aient un point limite x^^ + i?/,,; il faut donc que logz tende vers Xq et ^ -\- in- vers ?/„. Le point z — e^+'> = re'^ a donc pour point limite le point

Ce point ç est un point de E^/ puisque E,, est fermé. Le point u qui correspond à ce point u est x^ -[- i (î/,, + \>. k-)^ l'entier k ayant une valeur telle que î/o+q/ctt soit compris entre ^mr et 2 {n -\- 1)7:. Donc k= o, car î/„^ limite de 0 + inr., est compris entre 'inr^ et 'À[n -\- ^)T^. Le point it qui correspond à ^ est donc Xq-\- iy(^\ ce point limite des points u,i est donc lui-même un point u„.

Nous pouvons donc, d'après le théorème précédemment démontré^ former une fonction uniforme ayant pour ensemble singulier l'ensemble fermé u. La fonction g (log z) ^ y(:3) admet l'ensemble

pour ensemble singulier.

La démonstration comporte certaines restrictions : pour que l'échange des différentes branches du logarithme puisse se faire^ il faut qu'on puisse décrire un lacet autour de 2; = o. A ce lacet correspondent dans le plan des u une infinité de chemins formés de deux parallèles à l'axe réel réunies par un segment parallèle à l'axe complexe. Supposons que 2 = o ne soit pas point limite