L\ NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE

de l'ensemble E; alors le prolongement analytique le long du lacet est possible et la démonstration est valable. Plus généralement, elle l'est pourvu qu'il existe un point z„ non limite des E^ c'est-à-dire pourvu que E ne soit pas dense dans tout le plan, comme on le voit en remplaçant logs par log(z — z,,) dans ce qui précède. Seulement l'ensemble singulier u peut morceler le plan des u et la fonction g{u) ne peut pas toujours être prolongée dans le plan entier. Nous considérerons le continuum du plan des u qu'on peut obtenir sans rencontrer de point singulier en partant d'une valeur de z à partie réelle infinie négative. Si la frontière de ce domaine comprend la totalité des points singuliers u, la fonction /(z) admet tous les points singuliers E; mais il peut très bien arriver que les points singuliers de g{u) ne soient qu'une portion de l'ensemble Uy et alors /(z) peut n'admettre qu'une partie de l'ensemble singulier E. Il resterait également à traiter le cas où l'ensemble E est dense dans tout le plan; j'ai traité plus haut le cas d'un ensemble dénombrable^ le cas général ne serait pas beaucoup plus difficile; je n'y insiste pas^ la réciproque surtout étant à mon avis importante.

Nous pouvons aborder maintenant la classification des points singuliers. Considérons d'abord le cas d'une fonction uniforme. L'ensemble singulier est fermé. Deux cas apparaissent tout de suite : ou bien il est dénombrable^ ou bien il ne l'est pas. Dans ce dernier cas^ il se compose d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable. Cet ensemble parfait peut ou bien être partout discontinu^ ou bien comprendre des portions continues. D'où en définitive trois grands cas.

L'étude que je vais entreprendre de l'allure d'une fonction au voisinage d'un point singulier demande une classification légèrement différente. En efîet^ nous verrons, et cela se conçoit bien^ que cette allure est en majeure partie, et au moins dans ce qu'elle a de général^ indépendante des singularités qui ne sont pas voisines de celles qu'on étudie. Donc^ considérons un point singulier a et les singularités renfermées dans un cercle de centre a. Un premier cas très simple est celui où ce cercle peut être choisi assez petit pour que le seul point singulier intérieur soit le point a lui-même. Le point a est alors dit isolé. En second lieu, supposons que le point a soit limite de points singuliers. Alors^ ou bien on pourra trouver

un cercle de centre a assez petit pour que les points singuliers situés dans ce cercle forment un ensemble d€nombrable, ou bien, quelque petit que soit ce cercle, il y aura toujours à son intérieur un ensemble non dénombrable de points singuliers; suivant que cet ensemble est partout discontinu ou renferme des portions continues, nous dirons que a appartient à un ensemble discontinu ou continu de points singuliers.

En particulier, il peut arriver, quelque compliquées que soient les singularités voisines de a, qu'il y ait parmi elles un ensemble de points isolés tendant vers a. C'est la suite qui montrera l'importance de ce dernier cas.

Essayons d'aborder la classification des points singuliers des fonctions multiformes. Il apparaît tout de suite que les cas simples qui précèdent ne peuvent se généraliser que dans une mesure très faible. Il n'y a guère qu'un cas qui puisse s'étendre facilement : c'est celui du point isolé. Précisons-le un peu; supposons que le prolongement analytique d'une branche de fonction ait été possible jusqu'en a, mais pas au delà, et, par conséquent, ait mis en évidence a comme point singulier. Entourons a d'un cercle et prolongeons analytiquement la branche initiale de toutes les façons possibles dans ce cercle. Le point sera isolé si le cercle peut être choisi assez petit pour que le seul point singulier mis en évidence à son intérieur par le procédé précédent soit a.

Voici encore un cas où l'extension se fait facilement. Supposons que dans un cercle assez petit entourant a la branche initiale de fonction qui a donné a pour point singulier soit uniforme. On peut alors appliquer à cette branche tout ce qui a été dit plus haut pour une fonction uniforme et adopter pour les points singuliers intérieurs au cercle une classification analogue.

La notion de coupure.

Voici encore un cas qu'il semble nécessaire et intéressant d'étudier; c'est celui de la coupure. Il semble impossible de ne pas essayer de caractériser pour les fonctions multiformes le mot de coupure. Pour les fonctions uniformes, la classe des fonctions à hgnes singulières est tellement importante et tellement particulière qu'il est indispensable de rechercher les cas qui méritent le nom d'ana-