I.A NOTION DE FONCTION ANALYTIQUK

logues dans les fonctions multiformes. On va^ dans ce qui suit, pouvoir se faire une idée de la complication des raisonnements généraux sur les fonctions multiformes.

Je me pose donc la question bien nette suivante : quand doiton dire qu'une fonction multiforme a une coupure? que doit-on entendre par là ?

La réponse paraît devoir être simple. Il y a coupure quand l'ensemble des points singuliers renferme une portion continue. Voici en quelques mots le raisonnement qu'on pourrait faire : chaque branche de la fonction admet un ensemble fermé de points singuliers ; il y a une infinité dénombrable de branches; si donc aucune n'avait parmi ses points singuliers une ligne, d'après un théorème démontré plus haut, il n'y aurait pas non plus de ligne dans leur somme. Mais il ne faudrait pas confondre ces explications avec une démonstration, et la preuve en est que, comme nous le verrons, ce résultat n'est pas exact.

Je vais donc être obligé de donner une définition a priori de la coupure et de la légitimer ensuite en montrant que dans des cas étendus et utiles on peut démontrer l'existence d'une coupure ainsi définie : quand on effectue une généralisation, il faut évidemment que ce ne soit pas dans un sens arbitraire.

Soit un chemin L sur lequel une branche w de la fonction w =f{z) poursuivie analytiquement met en évidence un premier point singulier a. Je dirai qu'une ligne cantorienne a passant par a est coupure de la fonction w si elle jouit des propriétés suivantes : i" on peut trouver une ligne variable u ayant À pour ligne limite le long de laquelle la branche w soit prolongeable; 'à" considérons une ligne ;j. particulière; le rayon d'holomorphie de w relatif aux différents points de u. admet un certain maximum î. Ce maximum doit tendre vers zéro quand a tend vers a.

Expliquons cette définition. Chaque ligne u. met en évidence un ensemble de points singuliers (situés sur les cercles de convergence relatifs aux points de a), et l'ensemble limite de cet ensemble coïncide visiblement avec ).; mais il peut très bien arriver que les points de a ne soient pas singuliers au sens donné plus haut à ce mot.

Il s'agit maintenant de déterminer les circonstances dans

lesquelles on pourra affirmer l'existence d'une coupure au sens précédent. En voici quelques exemples.

Soit a un point jouissant de la propriété suivante. On a pu prolonger analytiquement w{z) sur un chemin L jusqu'en a; et d'autre part^ il existe un cercle C de centre a tel que si l'on prolonge à partir du dernier arc de L intérieur à C (ces mots ont un sens bien précis) la fonction w sans sortir du cercle^ il y aura un ensemble continu de points^ M (comprenant a comme point frontière)^ que le prolongement analytique ne permet pas de dépasser (ils ne seront jamais à V intérieur d'un cercle de convergence d'une des séries de Taylor). Traçons de a comme centre un cercle de rayon s : C| ; prolongeons w sur la circonférence de C, à partir du dernier point de rencontre de L et de C, (ce point existe); ce prolongement ne permettra pas de faire un tour complet sur le cercle^ puisque C, rencontre l'ensemble M; on sera donc arrêté en un point singulier; soit a, le premier de ces points singuliers. Traçons de a^ comme centre un cercle Cj de rayon i et prolongeons w sur la circonférence de Cj à partir du point de rencontre de C^> avec l'arc régulier de C, (je veux dire l'arc de C, sur lequel on avait déjà prolongé w régulièrement). Si^ ce qui est possible^ le cercle C, ne rencontrait pas cet arc C|, c'est que Cj rencontrerait L avant l'entrée définitive de L dans C, ; c'est alors à partir de ce point de rencontre de L et Cj qu'on prolongerait w. Cette fois-ci^ ou bien en tournant sur Co nous parviendrons au point de rencontre de C, et de C2 sans encombre^ et alors nous continuerons à tourner sur C, à partir de ce point et toujours dans le même sens (cela n'est d'ailleurs pas essentiel); ou bien nous trouverons, sur Cj meme^ un point singulier : en tous cas un point singulier a., sera toujours mis en évidence^ soit sur C..^ soit sur C,. Traçons un cercle C:j de centre a, et de rayon z, et prolongeons w à partir du premier point de rencontre de C:j avec la courbe régulière formée d'arcs de C, et C^ sur laquelle nous prolongeons w antérieurement;, et ainsi de suite.

Nous constituons ainsi une ligne le long de lac{uelle nous prolongeons w[z). Je dis que cette ligne finit par atteindre le contour du cercle C. En effet^ nos cercles C|^ Co^ etc.^ sont égaux; le centre de chacun est sur l'un des précédents; de plus, à cause deC,;, dont il est impossible de faire le tour complet, les cercles C,^ C..^ etc^, ne