LA NOTION DK FONCTION ANALYTIQUE
peuvent pas recouvrir un nombre infini de fois l'aire C (ni même deux fois). Il y a donc un nombre fini de ces cercles dans C. Le dernier donnera un prolongement jusqu'à la circonférence de C. Soit A la ligne ainsi construite; quand z tend vers zéro, a tend vers un ensemble / qui est continu. En eiïet^ nous sommes dans les conditions d'application du théorème de la page '26 : a est continu et le point a est limite pour tous les a. Pour que / soit une coupure^ il faudra encore^ d'après la définition^ que tout point de chaque ligne A soit à une distance d'un point singulier inférieure à une quantité infiniment petite avec s. Or^ ce n'est pas ce qui a lieu; quand on décrit chaque cercle C„y il y a deux cas à distinguer; ou bien c'est sur ce cercle même qu'on va rencontrer un point singulier, ou bien il n'en est rien. Dans le premier cas^ les points de C„ sont à une distance inférieure à -n d'un point singulier; dans le second on n'en sait rien. Mais^ sur chacun des arcs de cercle C„ qui constituent A^ il y a certainement des points de la première sorte, tandis qu'il n'y en a pas forcément de la deuxième.
Je dis alors que tous les points de / sont limites des points de ). de la première sorte. En effet^ si un point est limite d'un point du cercle C,,, il est limite en même temps de tous les points de ce cercle^ puisque le rayon du cercle, :, tend vers zéro; en d'autres termes^ si un point est limite des points de deuxième sorte de a^ il est en même temps limite des points de première sorte situés sur le même cercle C,,. Donc les points de / forment deux groupes : ceux qui sont limites uniquement de points de première sorte^ ceux qui sont à la fois limites de points des deux sortes. En tous cas^ l'ensemble limite des points de première sorte seuls est constitué par / tout entier.
Considérons les points de première sorte sur une ligne a : ils forment des arcs e?i nombre fini. Supposons que s en tendant vers zéro prenne une infinité dénombrable de valeurs. Si nous prenons un arc sur chaque Hgne^ nous pourrons combiner ces arcs entre eux d'une infinité dénombrable de manières. Or^ chaque point de / est point limite pour une de ces combinaisons. Je dis qu'une de ces combinaisons donne naissance à un continu limite. En efîet^ s'il n'en était pas ainsi, chaque combinaison donnerait naissance à un ensemble limite ne comprenant aucun continu; la réunion d'une infinité dénombrable de tels ensembles (qui sont
CIIAPITIΠII.
fermés) ne pourrait donner un continu l^ d'après le théorème de la page i 7. Si nous prenons la combinaison d'arcs qui donne naissance au continu [j. portion de )., nous voyons que tji jouit de toutes les propriétés que nous exigeons d'une coupure.
Je reviens sur les hypothèses du début : l'hypothèse que le chemin L tend vers a et ç^ers a seul n'est pas essentielle. Essayons de voir ce qu'on pourra faire si L a, avec a, d'autres points limites : on prendra Vun des points de rencontre de L avec C (point qui existe certainement)^ et c'est à partir de ce point-là qu'on prolongera la fonction sur C ; on opérera de même quand le rayon de C diminuera. Mais alors^ il n'y a plus aucun lien entre les valeurs de la fonction en ces points de départ; on n'a plus aucune raison de dire qu'elles appartiennent à la même branche. Si nous ne voulons pas écarter ce cas^ nous serons donc obligés de généraliser de la façon suivante la définition de la coupure.
Soit A une ligne limite d'une ligne a. Je dirai que A est coupure si : 1" on peut prolonger régulièrement sur a une' branche au moins de la fonction w; !>." la limite supérieure sur u. du rayon d'holomorphie de cette branche tend vers zéro quand [x tend vers A.
Pour distinguer entre elles les deux définitions^ il est bien naturel de dire que^ dans le premier cas^ nous avons défini une coupure pour une branche de fonction, tandis que^ dans le second^ c'est une coupure pour la fonction en général. Il est manifeste que c'est le premier cas qui est le plus intéressant et le plus utile. Mais aussi^ les conditions nécessaires à l'existence et à la mise en évidence d'une telle coupure sont plus difficiles à réaliser.
Considérons, par exemple, une fonction à espace lacunaire, ou encore à domaine d'existence borné. Un point a de la frontière du domaine d'existence jouit justement des propriétés exigées par [la deuxième démonstration : on peut trouver une file de points tendant vers a où une branche de la fonction est régulière^ et^ d'autre part, dans un cercle de centre a, il y a certainement des points qu'il est impossible d'atteindre. Mais rien ne prouve qu'on puisse trouver un chemin régulier tendant vers a et i'ers a seul, ou tout au moins tendant vers un point singulier unique jouissant des propriétés du point a. J'avais cru démontrer ce point dans ma Thèse, et d'autre part^ a priori, il semble difficile de ne pas l'admettre; mais ma démonstration^ qui fait appel à l'intui-
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tion j n'est certainement pas correcte^ comme nous le verrons d'après les conséquences qu'on en déduirait. Donc^ c'est dans les conditions de la seconde définition que nous sommes : il y a bien une coupure, mais il ny a peut-être pas coupure pour une branche déterminée de la fonction.
Nous verrons plus loin d'une façon indirecte qu'il y a certainement des cas où on peut affirmer qu'il n'y a pas de coupure au premier sens du mot^ même quand le domaine d'existence est borné; a fortiori, l'existence de points singuliers formant un ensemble continu n'entraîne pas l'existence d'une coupure au premier, ni peut-être même au second sens. Ce sont ces résultats paradoxaux qui montrent d'une part la nécessité absolue d'éviter les appels à l'intuition géométrique dans les raisonnements: d'autre part, la difficulté de la recherche de théorèmes généraux. On pourra aussi conclure à la nécessité des recherches sur la surface de Riemann à une infinité de feuillets qui seule mettra un peu de clarté dans ce chaos.
Les domaines d' indélcnnination.
La classification des singularités d'après leur configuration géométrique est donc simple pour les fonctions uniformes^ beaucoup plus compliquée pour les fonctions multiformes.
Il existe un second moyen de classer les points singuliers. Désirant étudier l'allure de la fonction au voisinage d'un point^ on pourra justement classer les points d'après l'allure à laquelle ils donnent lieu. Pour chaque type d'allure on créera un nom spécial^ et il sera ensuite intéressant d'établir^ si c'est possible^ un rapprochement entre les deux classifications et de rechercher si à une configuration géométrique déterminée ne correspond pas une allure également déterminée.
Cette seconde classification est donnée d'une manière tout à fait satisfaisante^ puisqu'elle s'étend à toute fonction multiforme^ parla notion introduite par M. Painlevé^ de domaine d'indétermination relatif à un point singulier ( ' ).
{') Comptes rendus, t. CXXXI, p. 489. Voir aussi la Notice sur les Travaux scientifiques de M. Painlei>é.
6o CHAPITRE II.
Supposons qu'un chemin L sur lequel on poursuit analytiquement la fonction w = f (z) conduise à un point singulier a. Traçons un petit cercle C de centre a; le chemin L pénètre à l'intérieur de ce cercle et finit par nen plus sortir ( ' ). Considérons l'arc de L qui aboutit à a et qui est intérieur à C, et, à partir des points de cet arc^ prolongeons w analytiquement dans C de toutes les façons possibles. Marquons dans le plan complexe w l'ensemble des valeurs de la fonction ainsi trouvées E ; ajoutons à cet ensemble son dérivé; je dis que l'ensemble E + E' = F est continu. Il est évidemment fermé et parfait^ car^ si w,, appartient à E^ c'est qu'il y a un point Zq dans C tel que w„ =J\z,,) et^ pour les valeurs de z voisines de z,,^ w est voisin de Wo. De plus, F est bien enchaîné; en efîet^ si deux points z,,^ z, donnent lieu à des points w^ et Wi,i\ existe un chemin joignant z,,^ z, dans le cercle C tel que w passe de la valeur Wo à la valeur çv,. Sur ce chemin^ w est continue^ donc uniformément continue^ et l'on peut par conséquent trouver des points w de E à des distances relatives aussi petites qu'on veut allant de w^, à w, (-).
Recommençons en prenant le même chemin L et un cercle C plus petit; l'ensemble F obtenu est une portion du premier. Donnons au rayon du cercle une infinité dénombrable de valeurs tendant vers zéro; les ensembles F ont un ensemble limite D qui est continu : nous sommes^ en efîet^ dans un cas particulier du théorème de la page 2(). C'est cet ensemble D qui est le domaine d'indétermination relatif au point a.
Quels sont donc les différents cas possibles ? Le domaine D^ étant continu^ pourra être un point^ une ligne, une aire, tout le plan. Le second et le troisième cas ne sont pas^ d'ailleurs^ essentiellement distincts.
Avant de revenir sur cette distinction je commence par écarter deux sortes de points singuliers auxquels d'ailleurs s'applique
( ' ) Sinon L ne tendrait pas vers a seul; dire qu'un chemin tend vers un point c'est dire qu'il finit par être et par rester à une distance infiniment petite de ce point. Les objections de MM. Fuchs et Forsyth aux raisonnements de M. Painlevé relatifs aux équations différentielles montrent que ces précisions sont nécessaires.
(-) Il est évident que si E est bien enchaîné E -L- E' l'est aussi.
