I.A ^0T10^ DK FONCTION ANALYTIQUE. Gl

parfaitement la définition précédente. Ce sont d'abord les pôles : c'est-à-dire les points z,, où la fonction w(z) admet un développement convergent suivant les puissances de (;: — ^,))~' et les points critiques algébriques où la fonction est développable en série convergente suivant les puissances de {z — z,,)". Appelons points transcendants les autres points singuliers.

Ceci posé^ les points pour lesquels le domaine d'indétermination est réduit à un point s'appellent points transcendants ordinaires ; les autres s'appellent points transcendants essentiels. Si le domaine d'indétermination comprend tout le plan, le point est dit point à^ indétermination complète. Dans le cas contraire, on dit qu'on a un point à' indétermination incomplète.

Bien entendu^ il est nécessaire, pour que les locutions précédentes aient un intérêt, de montrer que ces différents cas peuvent se présenter. C'est ce que je vais faire.

D'abord, pour avoir un exemple de point ordinaire, considérons la fonction w = log :: et le point singulier z = o. Quand z décrit le cercle | z | <^ r, on a, en posant

k prenant toutes les valeurs entières : l'ensemble F est l'ensemble des points du plan w à gauche de la droite x = log r (w = x -f iy). Ce domaine F se réduit au point à l'infini quand r tend vers zéro: le point z = o est donc transcendant ordinaire.

Pour donner un exemple de point d'indétermination incomplète, considérons avec M. Painlevé la fonction

et le point singulier z = o. Posons z = re''^, donc loor ~ — loo r -i- f ( 6 ^- -inv:);

l'échange des différentes branches du logarithme s'efîectuant par un circuit fermé autour de z = o, toutes sont à considérer. x\insi n est un entier quelconque. Alors on a

Or

log lo-« = log v/iog-''/--r-(0^'^./i-j^ — iUvc lang-^^l^^ + 2«"t:J,

6'2 CHAI'ITRE II.

l'arc tangente étant celui dont le cosinus a le signe de log r (puisque r est petit, ce signe est négatif). Nous aurons donc

i loff log;3 =r: — j arc tan g-

-h i \o<; v^log-A- -h (0 -h ■2n~)'' = a -h t|3 et pp = e'-^'^''^.

Le module de w est e'-^^ son argument est 3. Cherchons le lieu des points w quand r prend toutes les valeurs de zéro à une valeur très petite p. Le module^ e'"-, est égal à

0 + 2 « 7T - '>nTT —are tan;; — ;

Supposons que nous ayons pris pour l'arc tangente celui qui est

t: jt:

compris entre - et — •

D'autre part, n' a une valeur fixe^ car l'échange de deux branches de log logz ne se fait qu'autour du point logz = o ou z = i ; or nous supposons o très petit. Supposons^ pour fixer les idées^ qu'on

ait pris n' = o. Alors e^ prend toutes les valeurs entre e - et e '' . Quant à l'argument [3, il devient infini; donc le domaine F comprend tous les points de la couronne comprise entre les cercles de

rayons e - et e - . Le domaine F est invariable ; son domaine limite, c'est-à-dire le domaine d'indétermination^ est la même couronne. Formons maintenant un exemple de fonction dont le domaine d'indétermination soit une ligne. Soit g[x) une fonction uniforme admettant pour ligne singulière la parabole cubique

y' = X-- {z — X -T-yi),

et supposons cette fonction continue sur sa coupure et égale à i pour z = o par exemple; il est bien facile de former une telle fonction. Je la supposerai exister à l'intérieur de sa coupure, c'est-à-dire dans la partie du plan qui contient l'axe réel positif. Posons

si on a S = re'^, on a aussi ■ •

LA NOTIOX DK FONCTION ANALYTIQUE. 63

Mais n doit être supposé posséder une valeur fixe^ car^ pour la la fonction w{z), le prolongement analytique ne peut se faire sur un circuit entourant z= o; donc l'échange des branches du logarithme est devenu impossible : la fonction est rendue artificiellement uniforme. Supposons n = o et 0 compris entre — - et + t:. Cherchons le domaine d'indétermination relatif au point s = o. La portion du domaine a'existence de la fonction intérieure à un cercle de rayon p très petit ne renferme que des points pour lesquels l'argument est voisin de zéro; le module de z' est pour tous ces points voisin de i ; l'argument^ log r, devient aussi grand qu'on veut en valeur absolue; comme g{z) est voisin de i ces conclusions sont valables pour w{z). Le domaine F est très voisin de la circonférence de rayon i ; le domaine d'indétermination se compose donc de cette circonférence.

Enfm^ je puis me dispenser de donner des exemples de point d'indétermination complète^ car nous en trouverons dans la suite un grand nombre ( ' ).

Si précise et si intéressante que soit la notion de domaine d'indétermination, examinons^ en la creusant davantage^ si elle s'applique à tous les points singuliers. Elle exige l'existence d'un chemin L tendant vers a où w soit régulière. Or^ il peut très bien se faire^ et même pour une fonction uniforme, que pour certains points singuliers un tel chemin n'existe pas.

Considérons^ par exemple^ un ensemble parfait non dense sur le segment o — i de l'axe des Xy et l'ensemble E des droites de longueur i perpendiculaires k Ox en ces points. Cet ensemble est fermé. Il existe donc des fonctions analytiques l'admettant pour ensemble singulier^ et^ comme les points du plan n'appartenant pas à E forment un domaine d'un seul tenant^ la même fonction a tous les points de E pour points singuliers. Parmi les droites E^ il y en a une infinité dénombrable dont on peut atteindre les points par un chemin régulier, et une infinité non dénombrable pour les points desquelles il n'en est rien; soit a un point d'une de ces dernières droites; on pourra prolonger la fonction le long d'un chemin qui tend bien vers a^ mais pas exclusivement vers a.

( ' ) On trouvera d'autres exemples d'un caractère tout différent dans la Note de M. Denjoy, Comptes rendus, 26 juillet 1909.

64 CHAI>1TKE II.

A vrai dire^ cette restriction n'a pas d'importance^ car l'expression : allure de la fonction au voisinage d'un point singulier n'a plus de sens pour un tel point; il n'y a donc pas lieu de définir dans ce cas un domaine d'indétermination. Si j'en parle ici, ce n'est qu'au point de vue de la classification des singularités : la notion de domaine d'indétermination ne prévoit pas tous les cas. On peut dire que les points singuliers de ce genre sont indirectement singuliers.

Voyons maintenant si le domaine d'indétermination est bien défini dès qu'on connaît le point singulier. Evidemment non. Pour une fonction multiforme, la branche de fonction choisie influe naturellement sur ce domaine. Si plusieurs branches admettent un même point singulier^ les domaines d'indétermination correspondants seront différents en général.

Le choix du chemin initial appelé L dans ce qui précède a-t-il aussi une influence? A priori^ il peut sembler que non^ puisqu'on prolonge la branche initiale tout autour du point singulier. Cependant la réponse est affirmative. Il suffit pour s'en convaincre de considérer une fonction uniforme, et un point singulier a appartenant à une coupure non fermée. Suivant que le chemin L aboutit au point a d'un côté ou de l'autre de la coupure, il n'y a évidemment aucune raison pour que le domaine d'indétermination soit le même. Au fond, il y a au point a deux points singuliers distincts en tant que points singuliers^ quoiqu'ayant les mêmes coordonnées.

Il n'était pas inutile de donner ces quelques explications^ qui^ bien entendu^ ne diminuent en rien l'intérêt de la définition du domaine d'indétermination.

Le pi'olongeinent analytique généralisé.

J'ai déjà signalé au début comment M. Borel était parvenu à une généralisation logiquement inattaquable de la notion de fonction analytique. Je ne développe pas ici cette question^ pas plus que les arguments que M. Poincaré avait opposés a priori à des tentatives de ce genre.('). Je me borne à indiquer que ce sont

(') American Journal of mathematics, t. XIV, et Thèse de M. Borel.

LA NOTION DK FONCTION ANALYTIQIK. 65

des développements analogues à ceux obtenus page 44 qui^ représentant^ nous l'avons vu^ plusieurs fonctions analytiques^ semblent établir entre celles-ci un lien.

Une généralisation importante et commode a été indiquée aussi par M. Poincaré dans son Mémoire sur l'uniformisation des fonctions analytiques; j'avais déjà utilisé dans ma Thèse des considérations analogues. Il s'agit de ranger par un artifice les pôles et les points critiques algébriques au nombre des points réguliers^ de façon que les seuls points véritablement singuliers soient les points transcendants.

Il suffit pour cela de remarquer qu'en un pôle, Zo; la fonction admet un développement convergent suivant les puissances de {z — z,,)"' : le cercle dans lequel ce développement converge est un cercle de méromorphie qu'on peut substituer au cercle d'holomorphie ordinaire.

De même^ en un point critique algébrique Zoj nous aurons un

développement convergent suivant les puissances de (z — Zo)'"; dans le cercle de convergence de ce développement^ la fonction est algébroïde. Nous substituerons encore ce cercle au cercle d'holomorphie.

En d'autres termes^ on peut reprendre tout ce que nous avons dit au début^ en désignant maintenant par ^X'(z — z^^) un développement suivant certaines puissances fractionnaires, positives ou négatives de z — z,, : les propriétés essentielles des séries entières sont encore vérifiées^ et, par suite, on peut répéter mot pour mol le raisonnement de Weierstrass.

Quand nous prolongerons une fonction le long d'un chemin quelconque^ si ce chemin vient à passer par un pôle, nous adopterons au delà du pôle la valeur bien déterminée de la fonction qu'on aurait obtenue en contournant de très près le pôle; et quand notre chemin passera par un point critique^ nous adopterons au delà du point^ pour la fonction^ n'importe laquelle des m valeurs qui s'échangent avec la valeur initiale dans un petit cercle entourant le point critique.

Cette généralisation^ qui n'est pas essentielle, donne plus de souplesse à la notion de fonction analytique.

ZOR.

Le l/iéorètne de M. Polncaré.

Je ne veux pas quitter ces généralités sans dire quelques mots du théorème capital de M. Poincaré sur l'uniformisation des fonctions analytiques.

M. Poincaré démontre qu'étant donnée une fonction analytique

on peut trouver une variable t, telle que z et w soient des fonctions uniformes de t :

Je ne reproduis pas ici sa démonstration, basée sur le potentiel logarithmique et la méthode du balayage. Je me borne à expliquer avec précision ce qu'on exprime en disant que l'ensemble de formules (>.) représente totalement et exclusiçement la correspondance ( 1 ).

Essayons pour cela de prendre le théorème inverse. On donne deux fonctions uniformes de t (2) ; est-ce que la première est une fonction analytique de la seconde ? ('). Cet énoncé est un peu vague^ et l'on peut le préciser de plusieurs façons.

La façon la plus simple est certainement la suivante : soit t,, une valeur de t pour laquelle w ^t z prennent les valeurs pp,, et z,,^ et supposons qu'au voisinage de i= t,^, w et z soient développables en séries de Taylor. Pour z = z^, la fonction w prend (entre autres) la valeur w,, ; la fonction w est-elle développable en série de Taylor suivant les puissances de z — s,, ? La réponse est très simple : il suffît pour cela que la fonction inverse t = 8 (z), défmie par s = '^ {t), soit elle-même développable suivant les puissances de z — z„.

C'est bien ce qui a lieu en général; il y a exception si ( -77 j n'existe pas^ c'est-à-dire si (-1-) = O; c'est-à-dire si le développement de z

( ) Voir BuRCKiiARDT, Einfûhrung in die Théorie der eindeutigen analylischen Functionen, 1^ édition.