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une fonction analytique par prolongement analytique. Y a t-il identité entre cette fonction et V ensemble de formules (2) ? Cette question en renferme deux très précises :

1" Supposons qu'en prolongeant analytiquement la fonction précédente w[z) jusqu'au pointai, on obtienne la valeur W\. Existe-t-il une valeur de t telle que, pour cette valeur, cp prenne la valeur W\, et -l la valeur Z\ ?

2" Soit au contraire i| un point régulier des deux fonctions cp et '}, et supposons que 'f (^1) = ^v, et '}(i,) ^ z,. Parmi les chemins en nombre infini qui joignent z^ et Zi, y en a-t-il un tel que le prolongement de w (z) le long de ce chemin conduise à la valeur finale w(zi) ^ «^, ?

C'est évidemment au dernier point de vue que se place M. Poincaré dans l'énoncé de son théorème. Or, il est facile de comprendre (et de montrer si l'on veut par des exemples) que, si l'on se donne au hasard les fonctions cp et 'l, les questions précédentes peuvent recevoir une réponse négative. Les fonctions es et 'l que détermine M. Poincaré sont donc particulières.

Comment d'abord la chose pourra-t-elle se produire pour la première circonstance? Il faut pour cela qu'en poursuivant w le long du chemin / (plan des z), on tombe, avant d'arriver à z,, sur un point ^ pour lequel la fonction B (z) cesse d'être analytique, ou encore pour lequel la fonction h (z) prenne une valeur t, point singulier de la fonction çv. Si d'ailleurs, par une modification

légère de l^ on peut éviter de tels points Z^ il n'y a pas de circonstance exceptionnelle; le seul cas qui puisse être exceptionnel est donc celui où soit la fonction ^ {z), soit la fonction w{t) présentent des coupures ( ' ).

Etudions de même la seconde circonstance exceptionnelle. Tout se réduit à la question suivante : peut-on trouver un chemin joignant Zo à %,, le long duquel H (z) passe régulièrement de la valeur t^ à la valeur t^^en prenant des valeurs pour lesquelles w{t) ne cesse pas d'être régulière? Puisque, par hypothèse, la fonction uniforme 'l{t) existe pour i„ et ^, et y prend les valeurs z,, et z,^ c'est qu'on peut joindre t, et ^o par un chemin le long duquel^ naturellement, z passera de jZq à z i , suivant un chemin continu du plan des z ; et si^ inversement, on fait décrire à z ce chemin^ t pourra s'y prolonger analytiquement et passer de i,, à ^i (en admettant les prolongements analytiques généralisés au delà des pôles ou points critiques algébriques). C'est donc simplement lorsque w{t) n'est pas régulière pour ces valeurs de t que la circonstance prévue peut se présenter. Et si^ par une déformation légère du chemin io i\} on peut éviter de tels points t, il n'y a pas de circonstance exceptionnelle : le cas exceptionnel ne peut donc se présenter que si w(t) présente des coupures. Il n'est même certainement pas exceptionnel si z{t) n'en présente pas aussi, car alors on peut aller de to en ti par un chemin qui évite les coupures de w(t) et qui soit régulier pour z{t). En d'autres termes, il faut que les coupures de w{t) et z{t) se complètent de façon à séparer ^o de t\, c'est-à-dire de façon que leur somme morcelle le plan.

Supposons par exemple que la fonction z = 'i^ {t) soit définie dans tout le plan et admette comme coupure l'axe réel positif et que la fonction w = cp [t) définie aussi dans tout le plan admette pour coupure l'axe réel négatif. Prenons deux points t : i,,; ^i^

(') Soit par exemple une fonction uniforme o [t] à domaine d'existence borné et cette fonction étant elle-même bornée. Si nous prenons

la fonction w — z qui résulte de l'élimination de / est plus générale que la correspondance {i).

LA NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE. Cq

l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe réel; joignons ces points par un chemin qui rencontre l'axe réel négatif; le long de ce chemin z (t) est régulière et prend une série continue de valeurs. Si w{z) était régulière pour ces valeurs, w{t) serait régulière le long du premier chemin^ ce qui est absurde. Donc^ on rencontre un point singulier de w [z) sur le chemin z dont je viens de parler. Tout chemin joignant dans le plan de z les points z{to) et z(^) rencontrera de même un point singulier de w{z).

Ces explications, qui devaient être données, montrent bien que ce sont les fonctions à lignes singulières qui sont les moins maniables de toutes, et qui introduisent le plus de complications. La suite ne fera que confirmer cette remarque.