LES FONCTIONS ENTIÈRES

Le théorème de Lio avilie- Weiei'stj-ass.

Le premier résultat relatif à l'allure d'une fonction uniforme au voisinage d'un point singulier est le théorème énoncé par Liouville :

Une série entière convergente dans tout le plan ne saurait être bornée sans se réduire à une constante.

Une série entière convergente dans tout le plan est^ pour nous^ une fonction analytique admettant un seul point singulier : le point à l'infini. Le théorème précédent signifie donc qu'au voisinage d'un tel point la fonction ne peut être bornée.

Le théorème fondamental énoncé par Weierstrass doit être considéré comme une forme plus générale du même théorème. L'énoncé est le suivant :

Si une jonction uniforme admet un seul point singulier non polaire^ au voisinage de ce point, elle s' approche autant quon veut de toute valeur donnée.

Je laisse de côté la démonstration classique de ce théorème au moyen du théorème de Liouville. Elle consiste à ramener par deux transformations homographiques des plans z et <^ les points à l'infmi au point singulier donné (plan des z), d'une part, et à la valeur donnée (plan des w), d'autre part. La notion de domaine d'indétermination donne une nouvelle forme à l'énoncé. Traçons un cercle autour du point essentiel donné^ a (à distance finie ou non); l'ensemble des valeurs prises par la fonction w = f[z) dans ce cercle^ ensemble auquel on ajoute son dérivé^ comprend tout

LKS FONCTIONS ENTIEUKS. 7I

le plan w. Quand le rayon du cercle tend vers zéro^ l'ensemble limite comprend tout le plan : un point singulier isolé est donc un point d'indétermination complète de la fonction.

Je me propose de donner du théorème deWeierstrass une démonstration reposant uniquement sur la notion du prolongement analytique : la chose est intéressante en elle-même^ et^ de plus, nous nous trouverons conduits à certaines généralisations importantes dans les applications. Ce sera un exemple de raisonnement général sur la définition deWeierstrass^ et cela nous montrera la propriété précédente sous un jour différent.

Je fais d'abord une remarque. Soit une fonction w = f{z) analytique en un point z^ et prenant en ce point la valeur w,,- Faisons décrire à z un domaine très petit admettant Zo pour point intérieur (un cercle de centre z^t par exemple), où w soit régulière. Marquons dans le plan w l'ensemble des valeurs prises par w. Je dis que c'est un domaine continu contenant Wq à son intérieur. En efîet^ on peut écrire^ au voisinage de z^^

u- — a\,= { z — ZoY' cp(^),

cp (:;) étant une fonction non nulle pour :: = ;3„^ et on peut supposer z — So assez petit pour que, lorsque z décrira un contour fermé entourant z,i, l'argument de cp (z) reprenne la même valeur. Comme

l'argument de w — w^ augmentera de inr: dans les mêmes conditions; par conséquent^ w tournera autour de w^^.

Il en est de même si z = z,) est point critique algébrique de w,

car on a alors

iv — i\'^)= { z — Zyi/'oi z),

'w(:;„) étant différent de zéro. En faisant décrire à :: une petite courbe tournant n fois autour de :;o, w tournera une fois autour de et',, . En d'autres termes^ si l'on fait varier z dans un domaine D quelconque de son plan^ et si l'on marque l'ensemble des valeurs prises par w dans le plan w^ on trouvera un domaine dont les points frontières ne peuvent provenir que soit des points frontières de D^ soit des points singuliers transcendants de w{z) situés dans D.

Arrivons au théorème en question. Pour démontrer qu'une fonction w{z)y qui admet en un point :3„ un point transcendant isolé^ s'approche autant qu'on veut au voisinage de ce point de la

valeur a, il suffit de démontrer que la fonction u = ne saurait

être bornée au voisinage de z,,. Considérons un contour C entourant z„ et ne renfermant que ce point singulier. Déformons ce contour et faisons-lui occuper une position C renfermant C à son intérieur. Soit x un point entre C et C ; on a

t/.( z) (Iz \ r ai z] dz

, \ r Ni z) /(z \ r a

iiiz , A., z — X '). i~ .1 ,. .

les intégrales étant prises dans le sens direct, ou

La fonction o est holomorphe à l'intérieur de C'^ donc en z,,. La fonction 'h est holomorphe à l'extérieur de C ; comme elle ne peut avoir que les singularités de u, c'est donc une fonction qui n'a pas d'autre point singulier que z„ (à distance finie ou infinie). Comme '^{x) est bornée en z^, tout revient à démontrer que '\{x) ne l'est pas^ c'est-à-dire que le théorème sera acquis pour une fonction au voisinage d'un point isolé dès qu'il sera établi pour une fonction n'admettant pas d'autre singularité qu'un point isolé (une fonction entière). Nous retombons sur l'énoncé de Liouville.

Soit donc une fonction analytique uniforme, w{^z), admettant un seul point transcendant z„ = o^ par exemple^ et supposons-la bornée. L'ensemble des valeurs prises par la fonction w donne dans le plan w un domaine qui ne s'étend pas à rinfini, et qui par suite admet une frontière. Considérons la fonction inverse z{w). Ses points singuliers sont des points critiques algébriques et des points transcendants. En l'un de ces points transcendants^ Wo^ le domaine d'indétermination ne peut comprendre aucun point régulier z^ de w(z)^ car on aurait w[z\)^= w^^ et ^v,, serait régulier ou critique algébrique. Donc le domaine d'indétermination se réduit au point Zq ^= <^^-

On peut donc dire que la fonction z(w) s'annule en tous ses points transcendants^ et ceci nous amène à nous poser la question suivante :

LES FONCTIONS ENTIÈRKS. 78

Soit une fonction multiforme à domaine d'existence borné {ou plus simplement pourvue de singularités continues) ; je dis que^ si cette fonction n admet comme points transcendants que des points ordinaires en chacun desquels elle prend la valeur zéro, [la même valeur) elle est identiquement nulle [constante).

Distinguons deux cas suivant que la fonction z[w) est ou non bornée (dans le cas particulier qui nous a conduit à l'énoncé précédent, elle n'est pas bornée).

Dans le premier cas^ l'ensemble des points z est un continuum borné : or ses points frontières ne peuvent provenir ni d'un point régulier ni d'un point critique de z[w), mais uniquement^ d'un point transcendant; donc z est nul identiquement puisque cette frontière doit se réduire au point â; = o.

Dans le cas où la fonction n'est pas bornée^ excluons de son domaine d'existence l'ensemble des points w où son module dépasse un nombre donné R. (Il peut se faire, bien entendu^ que pour les points w enlevés, certaines branches soient en valeur absolue supérieures^ d'autres inférieures à R.) En tous cas, l'ensemble des points enlevés forme des aires^ et^ d'autre part, toute la frontière L du domaine d'existence ne sera pas enlevée, car toutes les branches qui peuvent être prolongées jusqu'en un point de L s'y annulent. Donc il doit forcément rester toute une aire S attenante à L ('). Effectuons alors deux rotations autour de deux points de L : on peut choisir les angles de ces rotations de façon que la portion commune à l'aire S et aux deux aires dérivées^ Sj et ^2, soit une aire limitée uniquement par des points de L et de ses dérivés. En désignant par a,^ a^ les angles de rotation^ par ,3,^ ^2 les points choisis comme centres^ cela revient à poser

(') A vrai dire, il faut démontrer que la fonction, qui est nulle en tous ses points singuliers^ tend uniformément vers zéro quand on se rapproche d'un de ces points : c'est ce qu'il est facile de faire (voir, par exemple, dans ma Thèse). Si l'on ne démontrait pas ce point, il pourrait se faire que les aires enlevées aient la frontière L pour ligne limite, et la bande S n'existerait pas nécessairement.

74 CIIAI'ITRIÎ III.

les fonctions z(w,) et s(wo) deviennent des fonctions de w :

Zx{\,v) et ^2('^')-

Nous définirons dans Faire commune 11] à S^ S,^ So les trois fonctions z, z, etz, au moyen d'une quelconque de leurs valeurs initiales. La fonction

Z ( (P j = z(^v) zxiw) z,{w)

pourra donc être prolongée analytiquement^ et l'on ne pourra évidemment pas sortir de ^, puisque tout point frontière de 1^ est singulier pour une au moins des trois fonctions. La fonction Z a donc un domaine d'existence borné (peut-être plus petit que 1'); elle est bornée, et elle est nulle en tous ses points transcendants (puisque l'un des facteurs s'y annule pendant que les autres sont bornés). D'après le premier cas, elle est donc nulle identiquement; donc l'une des fonctions z, z^ ou z-. est nulle identiquement dans une aire et par suite dans tout son domaine d'existence; les trois fonctions sont donc identiquement nulles.

Il n'y a aucune difficulté à traiter le cas où la fonction z{w) prendrait en ses points transcendants, tous ordinaires^ un nombre fini de valeurs distinctes a,^ a^^ ..., a,,, car la fonction

Z{w) = iz — ay) ( z — a..) . . .{z — a,,)

prendrait la valeur zéro en tous ses points transcendants. Il en est de même si z [w] prenait une infinité dénombrable de valeurs an ayant une seule valeur limite, qu'on peut supposer être l'infini^ car la fonction

serait encore nulle en tous ses points singuliers. On aperçoit tout de suite un grand nombre de généralisations faciles^ et je n'y insiste pas.

Le théorème de M. Picard. .

Je ne veux pas non plus m'étendre longuement sur le théorème de M. Picard, qui a été déjà étudié dans cette collection^ et jeme place simplement pour en dire quelques mots au point de vue de

LES FONCTIONS KNTIKRKS. "5

Weierstrass. Peut-on démontrer le théorème de M. Picard par une méthode directe analogue à celle qui précède ?

Je rappelle d'abord l'énoncé^ qui est le suivant : Une fonction qui admet un point pour point essentiel isolé prend au voisinage de ce pointy et une infinité de fois chacune^ toutes les i^aleurs possibles^ sauf deux au plus [F infini compris).

La démonstration de M. Picard tient en quelques lignes. La démonstration directe donnée par M. Borel en 1 8()() est plus compliquée. Si l'on veut déduire la démonstration de la théorie du prolongement analytique, c'est naturellement à l'étude des singularités de la fonction inverse z{w) qu'il faudra s'attacher. Et c'est ce qui permet d'affirmer que le théorème de M. Picard ne doit pas pouvoir^ au moins actuellement^ être démontré ainsi (') : en efïet, si les valeurs exceptionnelles (c'est-à-dire que w ne prend pas au voisinage du point essentiel) fournissent certainement des points singuliers de la fonction z{w)y cette fonction peut a<^oir, et a en effet d'autres points transcendants, comme je le montrerai plus loin [voir p. i o4 et suivantes) ; et la distinction paraît assez subtile entre ces différents points singuliers qui sont les uns et les autres transcendants ordinaires.

On sait quelle direction ont prise à la suite du Mémoire de ^L Poincaré (-) les recherches sur les fonctions entières. Elles rentrent bien dans le cadre de cet Ouvrage, puisqu'il s'agit en somme de préciser de plus en plus l'allure de la fonction au voisinage d'un point singulier isolé ; mais^ vu leur développement^ et étant donné d'une part que certains des Ouvrages de cette Collection s'occupent spécialement de ces questions ( ')^ d'autre part que les méthodes utilisées jusqu'ici ne ressemblent en rien à

(') Cela ne fait qu'augmenter son importance. Le théorème de M. Picard réalise une approximation tellement grande des propriétés d'une fonction entière, qu'il établit entre les points transcendants de la fonction inverse des nuances cjui nous échappent encore dans l'état actuel de la théorie des fonctions. Je rappelle qu'il date de 1880. Je ne veux pas abandonner ce sujet sans signaler l'important ^lémoire de M. Lindel "'f [Congrès des Mathématiques y Stockholm, 1909) sur le théorème de M. Picard.

(-) Bulletin de la Société Mathématique, i883.

(^) E. Borel, Leçons sur les fonctions entières, sur les fonctions méromorphes, sur la croissance. — O. Blumenthal, Sur les fonctions de genre infini.

jr) CHAPITRK lU.

celles employées dans ce Livre^ je ne veux pas m'y étendre davantage^ sauf pour préciser le point où en est la théorie. On a aujourd'hui des renseignements très précis sur les relations entre la croissance et la densité des zéros d'une fonction entière^ c'està-dire entre le nombre des branches de la fonction inverse et la façon dont la fonction tend vers une de ses valeurs exceptionnelles. Cette étude^ qui n'a porté pendant longtemps que sur les modules (des zéros ou de la fonction)^ se précise encore par l'intervention des arguments. Enfin, toute la théorie se rajeunit par l'étude nouvelle dont je parlerai plus loin^ à sa place {^^oir p. loo)^ de l'indétermination dans une direction d'une fonction entière.

Il est très facile de généraliser les résultats relatifs aux fonctions entières pour une fonction qui admet un nombre fini de points essentiels ou pour une fonction qui admet un point essentiel isolé avec d'autres singularités quelconques qui n'ont pas pour point limite le point donné. M. Maillet s'est longuement étendu sur ces généralisations dans plusieurs Mémoires ('). Je signale également l'extension^ moins évidente^ faite par M. Rémoundos (-) du théorème de M. Picard à certaines fonctions multiformes du type suivant. Il démontre que l'équation

^^n{ll)^n(z)

où les T et les A sont des fonctions entières^ définit une fonction multiforme u(z) qui a une infinité dénombrable de valeurs exceptionnelles. Plus spécialement^ l'équation

définit une fonction u{z) quia 2 p valeurs exceptionnelles au plus, à moins qu'elle ne soit algébrique.

Revenons au théorème de Weierstrass et demandons-nous s'il n'est pas susceptible d'extension à des points singuliers non

(') Annales de Toulouse, 1902; Journal de M. Jordan, 1902; Bulletin de la Société Mathématique, 1908.

LES FONCTIONS ENTIKRES. 77

isolés. Il est facile d'établir le théorème suivant : Si on a une infinité de points singuliers^ a, tVune fonction {uniforme) w = f{z) en chacun desquels le domaine d^ indétermination est un domaine D, si les points a ont un point limite^ h, le domaine d' indétermination en h comprend au moins tous les points qui sont limites de tous les D.

En efîet, dans un cercle entourant b^ il y a des points a intérieurs. Par suite^ l'ensemble des valeurs w prises par la fonction dans le cercle comprend le domaine d'indétermination de ces points a.

En particulier^ un point limite de points d'indétermination complète est lui-même point d'indétermination complète. Pour qu'un point soit tel^ il suffit donc qu'on puisse trouver une file (dénombrable) de points isolés ayant le point donné pour point limite.

Naturellement il peut se faire qu'un point a appartienne à une coupure, à un ensemble quelconque de points singuliers, et que la condition précédente soit remplie. On voit donc que le théorème de Weierstrass s'applique dans un grand nombre de cas.

Supposons que^ dans une aire A^ une fonction uniforme admette un ensemble dénombrable de points singuliers. Cet ensemble renferme des points isolés, car sans cela il serait dense en lui-même, et^ comme il est fermé^ il serait parfait, c'est-à-dire non dénombrable. Donc, dans l'aire en question, la fonction présente des points d'indétermination complète.

Un point a sera donc certainement point d'indétermination complète si l'on peut l'entourer d'une aire (dont il peut même être point frontière) à l'intérieur de laquelle il n'y ait qu'un ensemble dénombrable de points singuliers tendant vers a; car, en diminuant l'aire, elle ne cessera pas de contenir un ensemble dénombrable de points singuliers; le point a sera donc limite de points d'indétermination complète.

Je dirai en abrégé, pour caractériser ces cas, que le point a est limite d'un ensemble dénombrable de points singuliers.

Le seul cas qui reste donc à étudier est celui où, dans une aire quelconque attenante à a, il y a toujours un ensemble non dénombrable de points singuliers. Les circonstances sont bien différentes suivant que cet ensemble est discontinu ou continu.