LES EN S I^: M BLES PARFAITS DISCONTINUS DE SINGULARITÉS

La classification du début nous conduit maintenant à étudier le cas d'un ensemble partout discontinu de points singuliers^ ou encore le cas d'un point singulier appartenant à un ensemble discontinu; le sens de ces mots a été précisé (ro?7'p. 5.)). Ce cas est intermédiaire entre celui du point isolé (et les cas qui s'y rattachent) et celui de la coupure. Pendant de nombreuses années on l'a cependant laissé entièrement de côté, et les quelques études qvi'on en a faites sont très loin d'apporter une lumière définitive sur la question. Un historique de ces études me semble nécessaire^ et je vais le faire brièvement.

Tout d'abord, il est bien naturel de se demander si^ outre l'intérêt de la question en elle-méme, elle n'a pas d'importance dans les applications^ si ces études ont été ou non rendues indispensables pour la résolution d'autres questions. Or^ à ce point de vue^ la question s'est posée naturellement tout au début des travaux de Weierstrass. Les travaux de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes sont en effet presque contemporains de la définition de la fonction analytique^ et toute une catégorie de fonctions fuchsiennes possède justement un ensemble discontinu de points singuliers. Tout récemment encore, M. Fatou (') a indiqué l'existence de telles singularités dans la résolution d'une équation fonctionnelle dont M. Kœnigs s'était déjà occupé en 1884. Quand bien même^ d'ailleurs^ on n'aurait pas rencontré de telles fonctions^ leur étude ne s'en imposerait pas moins^ à un autre point de vue : quand on étudie une catégorie de fonctions définies par un procédé analytique déterminé^ on ne connaît pas à l'avance la généralité de la solution; à son sujet toutes les hypothèses sont

( ) Comptes rendus, t. CXLIII, 1906, p. 746.