LES ENSEMBLES PARFAITS DI!>COMIM'S DE SINGULARITES

permises^ et, soit pour montrer que telle hypothèse ne se présente pas, soit pour voir dans quel cas elle se présente, des théorèmes généraux caractéristiques de ces hypothèses sont nécessaires. Ce sont justement les travaux de ^I. Painlevé sur les solutions à points critiques fixes des équations différentielles qui l'ont amené à élucider le premier les cas singuliers auxquels conduit la définition de la fonction analytique. Précisément^ il se trouve qu'une question importante relative aux solutions d'une équation du premier ordre qui admettent un nombre borné de branches reste en suspens^ car sa solution exigerait soit l'exactitude d'un théorème sur les ensembles discontinus^ qui, nous allons le voir^ n'est pas exact^ soit un autre théorème sur les fonctions multiformes^ dont un cas particulier est étudié à la fin de ce Livre^ qui est loin d'être démontré, et qui n'est peut-être pas exact (').

C'est M. Painlevé qui s'est donc le premier demandé s'il y avait, dans le cas d'un ensemble discontinu^ à espérer un théorème général sur l'allure de la fonction^ et notamment si le théorème de Liouville- Weierstrass s'étendait à ce cas. La méthode qu'il devait sembler tout naturel de suivre au début était basée sur l'intégrale de Cauchy. Essayons de l'appliquer^ en ne faisant des hypothèses qu'au moment où elles deviendront nécessaires.

Soit a le point donné appartenant à un ensemble discontinu. D'après le raisonnement déjà fait (p. 7 1)^ tout revient à démontrer que la fonction /'(z) ne saurait être bornée dans le voisinage de a. Supposons qu'elle le soit. Entourons a d'un contour C intérieur à un cercle de centre a et de rayon aussi petit qu'on veut et ne contenant aucun point de E^ ce qui est possible comme on l'a vu plus haut. Déformons C de façon à lui faire occuper une position C renfermant C à son intérieur et cela sans jamais rencontrer de point de E^ et soit x un point quelconque situé entre C et C On aura^ d'après le théorème de Cauchy ,

/ -. ^/ . ' f fiz)dz I r f{z)<lz

{' ) Voir la Note de M. Painlevé à la fin de l'Ouvrage de M. P. Boutroux: Leçons sur les fonctions définies par une équation différentielle du premier ordre (cette Collection, Paris, 1908).

8o CHAPITRE IV.

La fonction 'f{x) admet les points singuliers de /" qui sont hors de C et pas d'autres : elle est holomorphe à l'intérieur de C. La fonction 'i>(a;) est holomorphe à l'extérieur de C (jusqu'à l'infini). Si nous substituons au contour C un certain nombre d'autres contours tels que tous les points singuliers intérieurs à C se trouvent enfermés dans l'un d'eux^ et si nous calculons la seconde intégrale le long de cet ensemble de courbes, comme cela ne modifiera m/(x) ni 'f (^); cela laissera aussi invariable la fonction '^-^(x). Supposons alors que pour un choix convenable de ces contours on puisse faire en sorte que la somme de leurs longueurs soit inférieure à tout nombre donné^ je dis qu'il est impossible de supposer /(z) bornée.

En efïet^ supposons que dans le contour C primitif on ait \J'(z) | <CM. Le point x n'étant pas sur C^, la distance \z — x\ est supérieure à un certain nombre o lorsque^ x étant fixe, z décrit C (o est l'écart de a; à C) ; on aura donc, en désignant par L la longueur de C ou la somme des longueurs des contours substitués à C^