LA NOTION DE FONCTION ANALYUQLI

choisissons une des branches de log:;o et une des branches de log log;:,, ; la branche choisie est analytique ; prolongeons-la jusqu'au point :: = i (suivant un chemin quelconque) ; la fonction logz prendra l'une des valeurs de logi, c'est-à-dire a ni-. Si n est différent de zéro^ le logarithme de log 2 reste développable en série suivant les puissances de ;: — i^y est réguHère. Donc, une seulement des valeurs de log s donnera une infinité de branches de y admettant z = 1 pour point singulier; les autres branches sont régulières en ce point.

Une objection se présente : sont-ce là les branches d'une même fonction analytiqi|H, c'est-à-dire peut-on passer de l'une à l'autre par prolongement analytique? Cela n'est pas douteux. Par des lacets issus de ::,, et tournant autour de z = o (sans tourner autour de ;: = I ), on échangera entre elles deux branches quelconques de logs sans que leurs logarithmes cessent jamais d'être réguHers. Posons de même log:; = w: on a donc y = logu et z= e". On peut toujours faire décrire à u dans son plan un chemin qui échange deux quelconques des branches de \ogu', quand u décrit ce chemin, z en décrit un autre, et inversement, z décrivant ce second chemin, on pourra (par un choix convenable de la détermination initiale de u) échanger les deux valeurs de y données.

On verra tout aussi simplement, en considérant la fonction

^' = lo- log/( J),

dont les points singuliers sont les points pour lesquels /{z) est égale à o, à l'infini, ou à 1, que ces derniers points (qui peuvent être en nombre infini) sont singuliers pour un certain nombre seulement de branches de y, tandis que les points pour lesquels f{z) est nulle ou infinie sont singuliers pour toutes les branches.

Voici d'autres conséquences du même fait qui vont nous montrer la possibilité d'une autre particiflarité des fonctions multiformes. Il s'agit de fonctions qui ont un nombre de branches variable avec le point qu'on choisit; il suffit de supposer pour cela que le long de toute une ligne la singularité précédente a lieu : tous les points de la ligne sont singuliers pour certaines branches et pas pour d'autres, en sorte que les dernières seules peuvent être prolongées au delà de la ligne.

Pour en donner un exemple, soit y = g (u) une fonction uni- ZoR. 3

forme admettant une ligne singulière,, par exemple^ une droite D {fie- 0 parallèle à l'axe complexe dans le plan des u, la droite u^ I + ^^^ 0^ réel) pour préciser^ et supposons g(u) définie à gauche de cette droite.

Considérons la fonction y = g(\/2) =./(^)^ qu'on définira par prolongement analytique à partir d'une valeur initiale quelris. I.

conque. Quand le point u décrit la droite D^ il est facile de voir que le point

■lil

décrit la parabole P

{z = \-~iX).

A une valeur de z répondent deux valeurs de u symétriques. L'une de ces valeurs, au moins^ est dans la portion du plan des u où g est définie, et l'on voit sans peine que, suivant que z est extérieur ou intérieur à P, l'un seulement des deux points u ou les deux se trouvent dans cette région. Donc la fonction y[z) a deux branches quand z est intérieur à P et une seule quand z est extérieur à P. La coupure P est coupure pour une seule branche. Quand z tend vers un point de P, sjz tend soit vers un point de D (qui est singulier), soit vers un point de la droite symétrique par rapport à l'origine, (qui est régulier), et dans ce dernier cas, on ne rencontre aucun obstacle au prolongement analytique de la branche que l'on poursuit, tandis que dans le premier cas on était arrêté. Les