TROISIÈME LEÇON

Centres , Diamètres , Axes et Asymptotes des Courbes planes.

On nomme centre d'une courbe plane un point tel que les rayons vecteurs menés de ce point à la courbe soient deux à deux égaux et dirigés en sens contraires. Lorsqu'une courbe plane a un centre , et qu'on y a transporté l'origine des coordonnées , on n'altère point l'équation de la courbe en y remplaçant .v par — .v, et y par — y. Lorsque le centre coïncide avec le point qui a pour coordonnées a qi h , alors , en posant / — h z=z t [x — ^ ) , ou

yz=zb-\-t[x — a),

on tire de l'équation de la courbe, pour chaque valeur de t, plusieurs valeurs de .y — a, dont quelques-unes peuvent se réduire à zéro, tandis que les autres sont deux à deux égales et de signes contraires.

Exemples. Les courbes

A x' -h iB xy -+■ Cf- = K , >■ n= A.-' , ;'5 z=: a- , &c. . .•

ont pour centre commun l'origine des coordonnées , tandis que les courbes

[x-ay--^[y-hY — R\ y-h — {x-a)\ [y~h)^ — [x-ay, 8cc...

ont pour centre commun le point [a, h).

Une courbe peut avoir un nombre infini de centres. Ainsi , par exemple , la courbe

(0 ^ y zi=z sin a- ,

composée d'une infinité d'arcs semblables les uns aux autres , et situés

r6 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe des .v , a pour centre non -seulement l'origine des coordonnées, mais encore chacun des points où elle coupe l'axe des .v. En effet , l'équation de cette courbe ne changera pas de forme si l'on transporte l'origine en un de ces points , c'est-à-dire , si l'on fait croître ou diminuer .v d'une quantité égale à //vr, « désignant un nombre entier quelconque.

Toute droite menée par le centre d'une courbe plane est un diamètre de cette courbe.

On appelle axe d'une courbe une droite qui partage cette courbe en deux parties symétriques. Lorsqu'une droite de cette espèce est prise pour axe des abscisses ou des ordonnées, à chaque valeur de x ou de y répondent deux valeurs de/ ou de x, égales et de signes contraires.

Exemples. La parabole

y-' — zpx

a un seul axe qui coïncide avec l'axe des x. L'ellipse ou l'hyperbole X^ , v' ^

a deux axes qui coïncident avec les axes des coordonnées. La courbe représentée par l'équation (i) a une infinité d'axes parallèles à l'axe des r, et qui correspondent à des abscisses de la forme

H désignant un nombre entier quelconque.

Toutes les fois que deux axes d'une courbe se coupent à angles droits, leur point d'intersection est un centre de la courbe. Car, si on les prend pour axes des .v et des y , on pourra, sans altérer l'équation de la courbe, remplacer , i.° / par —y , 2.° x par — x. Par suite , on

pourra changer à-Ia-fois les signes Jes deux coordonnées x,y , ce qui sufîîra pour établir l'existence d'un centre coïncidant avec l'origine.

On appelle asymptote d'une courbe plane une droite de laquelle cette courbe s'approche indéfiniment , sans pouvoir jamais la rencontrer. II est facile de trouver les asymptotes d'une courbe représentée par une équation entre deux coordonnées rectangulaires x , y. En effet, considérons d'abord les asymptotes non parallèles à l'axe des y , et soit

l'équation de l'une d'entre elles. L'ordonnée correspondante à l'abscisse .V dans la courbe proposée devra se réduire sensiblement, pour de trèsgrandes valeurs numériques de .v , à l'ordonnée de l'asymptote , et se présenter sous la forme

(3) y — hx-\-l±2,

ztze désignant un terme qui deviendra nul avec — . Cela posé, si l'on fait converger — vers la limite zéro, on tirera successivement de l'é-

h quation ( j)

lim -^— :=

Donc

/im{y — kx) = lim{Id=s) = /.

pour déterminer la constante k, il suffira de poser dans l'équa-

iio]i de la courbe ■ — = s , ou (6) y — SX,

puis de chercher la limite ou les limites vers lesquelles convergera la variable s, tandis que la valeur numérique de .v croîtra indéfiniment. De plus, après avoir trouvé la constante k, on obtiendra la constante / en posant dans l'équaiion de ia courbe y — kx ■=:zî , ou

Leçons de M. Cauchy. i .'' Année. jj

(7) yz=zkx~\-t,

et clierchant la limite Je laquelle t s'approchera sans cesse , pour Jes valeurs numériques croissantes de la variable .v, A chaque système de valeurs finies des quantités k ci 1 correspondra une asymptote de la courbe proposée.

En raisonnant de la même manière, mais échangeant Tune contre l'autre les variables .v et v , on trouverait évidemment les asymptotes non parallèles à l'axe des .v.

Exemples. Considérons la logarithmique

On aura , dans cette hypothèse ,

puis, en faisant converger a- vers la limite — 00, on en conclura

k zzz Uni z= o.

On trouvera par suite

î = y =^ A'' , l=z liiii A" = o.

Donc la courbe proposée aura pour asymptote l'axe des .v , ddnt elle s'approchera indéfiniment du côté des .v négatives. On prouvera de mcme cjue Ja logarithmique

a pour asymptote l'axe des y.

Concevons maintenant que l'équation de la courbe donnée se présente sous la forme

La recherche des asymptotes sera très-facile, si l'on parvient à décomposer f{x, y) en plusieurs parties dont chacune soit une fonction

DU CALCUL INFINITESIAL\L. -ç

homogène Jes variables .v, v. En ellet , nommons m, n , ... les Jerrés Jcs fonctions homogènes tournies par la Jccomposition dont il s'agit, et soit en censcfqiience

(II) /(x,;0 = v"'F(^)-Hx''r(-f)-f-&:c....

les nombres m , n... c'iant ranges de manière à offrir une suite Jccrolasante. La valeur de J z::: ^— sera dctermince par rc'quation

ou

de laquelle on tirera , en posant — rz: o , et ^ zi:r k ,

De plus, si l'on attribue à k l'une des valeurs propres à vérifier i'cqnation (13), la valeur correspondante de ^=7 — k x sera donnée par la formule

et comme, en vertu de l'équation (13), on aura

G dcoiijnant un nombre inférieur à l'unité, on trouvera encore

;,— ■ rF'(/^-4-ô^)-f-A-''f(Â-f-^)H-&c... = o, ou {.5) .'F'(Â-HÔ^)-f-^.i..-f(^-t-'-f) + &c... = o.

Si F'(/;) et f [k] ont des valeurs finies différentes de zéro, alors, en

6o APPLICATIOiNS GÉOMÉTRIQUES

pQ53,-,(; L :;:^ o et i::zi:I , on conclura de l'équation précédente,

il .° pour !i < m — I / z=: q , 1." pour II =m — I / = F]!)"' 3 ." pour « > m — i / = zt: oc.

Par conséquent , à la valeur adoptée de k correspondra , dans la première hypothèse, une asymptote passant par l'origine, ou de la forme

et dans fa seconde hypothèse , une asymptote de la forme

Dans la troisième hypothèse, l'asymptote, s'éloignant à une distance infinie de l'origine, disparaîtra entièrement.

L'élimination de la constante k entre les équations (13^) et (17) produit la formule

qui fournit, dans la première hypothèse, toutes les asymptotes non parallèles à l'axe des v, et qui peut être remplacée par l'équation

On arriverait encore à celle-ci en cherchant, dans la première hypothèse, les asymptotes non parallèles à l'axe des .v. Donc, lorsque le premier membre de l'équation (10) est décomposable en plusieurs fonctions homogènes, et que le*degré m de lune d'entre elles surpasse de plus d'une unité les degrés de toutes les autres, non -seulement les diverses asymptotes passent par l'origine, mais elles sont toutes repré-

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. él

sentces par la fonnuie qu'on obtient en égalant à zéro la fonction hor. mogène du degré ///.

Exemples, l^'hyperbole a pour asymptotes ies deux droites représentées par la formule ou , ce qui revient au même , par les deux équations

De même, si l'on suppose B- — AC>q, on reconnaîtra que l'hyperbole

(23) Ax^ -\-^Bxy-^Cy-^=iK

a pour asymptotes les deux tiroites représentées par la formule

(24) Ax^-\-^Bxy-^Cf-^^o.

De même encore la courbe

(25) v' -f-/' -+- sin — = 0

aura pour asymptote la droite

dont l'ordonnée est la seule valeur réelle de y qui vérifie l'équation

Dans le cas où l'on suppose n tiz ni ■— i , la formule (ly) représente toutes les droites menées par l'origine parallèlement aux asymptotes de la courbe proposée. Ainsi, par exemple, la courbe nommée foliuni de Descdrtes , et représentée par l'équation

(28) .V' -i~y'' = 3ûxy ,

a une asymptote parallèle à la droite .v -+- r =:: o , dont l'ordonnée se déduit touioiirs de la formule

Lorsque les quantités F'(/;). ( ( k) deviennent nulles ou infinies, la quantité / peut obtenir des valeurs différentes de celles que nous lui avons assignées ci-dessus [voyei les formules (i^)] ; mais, pour la déterminer , il suffira toujours de chercher la limite ou les limites vers

lesquelles convergera la variable t, pendant que — s'approchera de

zéro. Quelquefois, en opérant ainsi , on trouvera, pour une seule valeur de kj plusieurs valeurs de /, C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on considère la courbe représentée par l'équation

Alors, on aura /; rr= o ; et, comme l'équation en t deviendra

î- =: cos [-) ,

on en tirera, en posant — nz: o ,

En conséquence, la courbe proposée aura deux asymptotes parallèles à l'axe des .v, savoir,

On pourrait encore, suivant la remarque de M. Ampère , trouver les asymptotes d'une courbe plane en cherchant les positions que prend la tangente quand le point de contact s'éloigne à une distance infinie de l'origine des coordonnées. Concevons , pour fixer les idées , que l'on considère l'hyperbole

DU CALCUL LXFINITESIAL^L

L'équation de la tangente à cette hyperbole sera

f -r ] , et SI ion

ou , si l'on substitue à ^ sa valeur rt — 1/

multiplie ensuite par —

^ . / a'' \ - ri a

Pour faire passer le point de contact à une distance inhnie Je l'origine , il suffira de poser .v = ± 00. Alors la formule précédente deviendra

et comprendra les équations des deux asymptotes de l'hyperbole proposée.

Au reste, il peut arriver qu'une valeur de k propre à vérifier l'équation

fournisse une seule aymptcte. Ainsi la courbe représentée par l'équation

n'a qu'une seule asymptote qui coïncide avec l'axe des .v , quoique la valeur /;=zo vérifie pour cette courbe l'équation (31).