SECONDE LEÇON

Des Longueurs appelées Sous-tangentes, Sous normales , Tangentes et Normales des Courbes planes.

Les équations (8) et (i i) de ia leçon précédente , quand on considère ^ et 5? comme seules variables, représentent, ainsi qu'on l'a fait voir, les droites tangentes et normales menées à une courbe piane par le poiiU ( v,j). Si, dans ces mêmes équations, on pose ^ :^ o, on tirera de la première

et de

la

seconde

yy-

11 en

résulte

que les

val

eurs

numériques

des

expressions

yy'

expriment les distances comptées sur l'axe des x, entre le pied de l'ordonne^ y et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale à la courbe. Ces distances sont ce qu'on appelle la sous-tangente et la sous-normûlc de la courbe, relatives au point (a-, >•). Donc, si l'on désigne la sous-normale par U et la sous-tangente par V, on aura

(3) U=zd-y/, (4)' V =

les signes étaiit choisis de manière que les valeurs de U et de F soient positives.

On peut remarquer que l'ordonnée y est équivalente, URigne près, à la moyenne géométrique entre les deux distances U et V , puisque celles-ci, étant multipliées l'une par l'autre, donnent/" pour produit.

Les longueurs comptées sur les droites tangente et normale , entre la courbe et l'axe des .v, sont ce qu'on appelle la longueur de la tangente et la longueur de la normale , ou, plus simplement, la tangente et la normale de la courbe. Elles servent d'hypothénuses à deux triangles rectangles qui ont pour côtés l'ordonnée y réduite à sa valeur numérique et la sous-tangente ou la sous-normale. Donc , si l'on désigne la tangente par T et la normale par A^, on aura

et par suite

(5) .Vz=±;'i/(i+/'), [6) rzr:d:;"/(.H--^);

le signe -+- ou le signe — devant être préféré suivant que l'ordonnée / sera positive ou négative.

Les équations (3) , (4). (5) et (6) peuvent encore être facilement déduites dès formules (6) de la leçon précédente , dans lesquelles r désigne l'inclinaison de la courbe proposée au point [x , y) , c'est-à-dire, l'angle aigu formé par la tangente avec l'axe des .v. En effet, dans les triangles rectangles qui ont pour hypothénuses les longueurs appelées tangente et normale, le côté commun , c'est-à-dire, l'ordonnée/ réduite à sa valeur

numérique , forme évidemment avec la tangente un angle égal à r ,

et avec la normale un angle égal à r. Cela posé, si l'on construit un cercle qui ait le sommet de l'ordonnée pour centre et l'ordonnée ellemême pour rayon , on reconnaîtra immédiatement que les rapports de la sous-normale , de la sous-tangente , de la normale et de la tangente au rayon du cercle ont pour valeurs respectives

tang r , cot r , séc r , coséc r.

DU CÂÎCUL INFINITÉSIMAL. ^g

En consé(]uence, la sous-noi-male , la soifa-tangente , la normale et la tangente seront représentées par les valeurs numériques des produits

(7) }• tang r , y cot t , / séc r , y coséc r ;

ou , si l'on a égard aux formules (6) de la leçon précédente, par les valeurs numériques des expressions

(8) y/, jr, 7i/(«+y'). yi/ ^^-jh-)'

I." Exemple. Si la courbe donnée coïncide avec le cercle représenté par l'équation

les valeurs de U, V , N , T deviendront respectivement

(10) U—±x, F=dL:(^— A-), 7V=:/?, r=±4(^*-^')''

La sous-normale se réduira donc à la valeur numérique de l'abscisse, et ia normale au rayon , ce qu'il était facile de prévoir.

2.' Exemple. Si la courbe donnée coïncide avec l'ellipse ou l'hyperbole représentée par l'équation

(lO

on trouvera

Il suit des équations précédentes, i." que, dans l'ellipse et dans l'hyperbole, le rapport de la sous- normale à l'abscisse est une quantité constante; 2." que la sous-tangente est indépendante du demi-axe désigné par ^.

Lffoni de M. CaKchy. i .™ Année. q

^O APPLICATIONS GEOMETRIQUES

Par conséquent, la sous-tangente conserve la même valeur dans l'ellipse qui a pour équation ,

et dans le cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon a. Ces remarques fournissent le moyen de construire facilement les sous-normales et les sous-tangentes des courbes représentées par les équations (il) et (13)- Si l'on veut obtenir en particulier le point de rencontre de l'axe des x, et de la normale correspondante au point dont l'abscisse est -v , il suffira de porter sur l'axe il>, et à partir de l'une des extrémités de cet axe , une longueur égale à — — ^> puis, de mener par l'extrémité de cette longueur une parallèle à la droite qui joint l'extrémité de l'axe et le pied de l'ordonnée y. Cette parallèle rencontrera l'axe des .Y au point demandé.

j/ Exemple, Si la courbe donnée coïncide avec la parabole (i4) f-z^^px;

on trouvera

(15) u=p, v=ix, N=p^p-\-zxy, r=2.v'(x-f-'^]'-

Ainsi, dans la parabole, la sous - normale est constante, et la soustangente double de l'abscisse. Ces remarques fournissent les règles connues pour la construction de la normale et de la tangente.

^/ Exemple. Concevons que dans l'équation (4-) de la leçon précédente, on échange entre elles les deux coordonnées a-, y, et faisons toujours L{e)zi=.û. L'équation que l'on obtiendra, savoir,

(i(5) x:=L{y), ou x=:ûl{y),

représentera la logarithmique dans une nouvelle position. Or, on tirera

de l'équation (i 6)

DU CALCUL LNFINITÉSIMAL. 5 I

et par suite y =z — e ,

Ainsi, dans la logarithmique représentée par i'éqiiation (16), la soustangente est constante , et la sous-normale proportionnelle au carre de 1 ordonnée.

j".' Exemple. Supposons qu'à partir de l'origine des coordonnées on porte sur l'axe des y , et dans le sens des y positives , une longueur égale à R. Concevons de plus qu'après avoir décrit de l'extrémité de cette longueur, et avec le rayon R, une circonférence de cercle, on fasse rouler le cercle sur l'axe des x. Le point de la circonférence qui coïncidait au premier instant avec l'origine des coordonnées , décrira une courbe que l'on nomme cycloide , et dont l'équation pourra être facilement établie par la méthode suivante.

Pendant que le cercle roulera sur l'axe des .v , le centre se mouvra parallèlement au même axe , et le rayon qui aboutissait , dans le premier instant, à l'origine, tournera autour du centre, en décrivant un angle qui croîtra sans cesse. Désignons par cù cet angle; par ^, >i, les coordonnées du centre; et par .v, y, les coordonnées de l'extrémité du rayon mobile, qui seront aussi les coordonnées de la cyclo'ide. L'arc de cercle compris entre l'extrémité dont il s'agit et le point où le cercle touchera l'axe des x , aura évidemment pour mesure le produit Ra; et, puisque les diverses parties de cet arc se seront appliquées l'une après l'autre sur des parties égales de l'axe des .v, comprises entre l'origine et le point de tangence, la droite qui joint ces deux derniers points, ou, ce qui revient au même, l'abscisse du centre du cercle, aura elle-même une longueur équivalente à Ra. Cela posé, on trouvera, en suppo-

r2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

sant , pour plus de commodité , que le cercle se soit mu du côté des

.Y positives,

De plus, il est clair que les projections algébriques du rayon vecteur mobile sur les axes des x et des y pourront être également représentées , ou par

ou par

— R sin cù , — R cos u.

On aura donc

( 1 c)) X — ^-zz: — R sin «, y — vim — 7?cosw,

et par suite

X m: ^ — R sin a , ^ := n — R cos « ; puis, l'on en conclura, en remettant pour ^ et n leurs valeurs, (20) X :=z R [cù — ûn Cù) , y z^ R [i —cos u).

II suffira d'étendre les deux formules qui précèdent au cas où a devient négatif, pour obtenir les coordonnées x, y des points de la cycloïde situés du côté des .v négatives, c'est-à-dire, des points avec lesquels coïncide successivement l'extrémité du rayon mobile quand le cercle se meut de ce côté. Si maintenant on lire la valeur de co de la seconde des équations (20) pour la substituer dans la première, on trouvera, i," en supposant l'angle ce renferme entre les limites o , vr ,

{21) A- rzz /? arc cos — ^ -[/{iRy — 7');

2.° en prenant pour « un nombre entier , et supposant l'angle a renfermé entre les limites zhiivr, dtziiTT -\-rr ,

(22) .V r= i^farc cos — —^zt: tivrl — cos«7r.-|/(2 Ry—y').

On peut remplacer les formules (21) et (22) par la suivante,

(23) Ar:=/?arccos((^^))±/(2/?;— /),

le radical devant être atîecté du signe -H ou du signe — suivant que le rapport

arc cos l( — = — Il — arc cos |

se réduit à un nombre pair ou à un nombre impair. L'équation (23) représente (a cycloïde entière, tandis que les formules (21) et (22) représentent seulement des portions de cette courbe correspondantes à des valeurs de a comprises entre certaines limites.

La bûse de la cycloïde est la droite sur laquelle on fait rouler le cercle générateur, et que nous avons prise pour axe des'jc.

Quand on se propose de rechercher fes propriétés de la cycloïde ; on peut employer ou l'équation (23), ou le système des équations (20), On reconnaîtra sans peine, à l'aide de ces équations, que la cycloïde est composée d'une infinité de branches, toutes pareilles les unes aux autres, dont les points extrêmes, situés sur i'axe des a-, répondent aux abscisses

.v:=o, xz^dzivrR, az=:±4 '^r/? , x=^lt:6vrR, Sec...,

et dont chacune est divisée en deux parties symétriques par une ordonnée correspondante à l'une des abscisses

.v = rb-7r/?, A- = ±37r/?, x^^dz^vrR, &c

De plus, en différenciant les équations (20), et prenant x pour variable indépendante , on trouvera

(24J dx z=: R[i —cosu) d(jù-=izydcù , dy=. Rûnoodoo ,

r^ APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

On aura par suite

Enfin, on tirera de la formule (25), combinée avec la première des formules (i p) ,

{27) \ — .\ zzz R sin « ^=-yy' >

^ étant l'abscisse du centre du cercle générateur , ou , ce qui revient au raéme , l'abscisse du point de tangence de ce cercle avec l'axe des a-. Or, cette abscisse ne différant pas de celle que détermine l'équation (2), le point de tangence dont il s'agit se confondra nécessairement avec le point où l'axe des .v es't coupé par la normale à la cycloïde. Il est aisé d'en conclure que si l'on trace un diamètre parallèle à l'axe des y "dans, le cercle générateur de la cycloïde , les directions de la normale et de la tangente à cette courbe seront indiquées par les droites menées du point (.Y, y) pris sur la courbe aux deux extrémités du diamètre. Ajoutons que la longueur appelée normale sera précisément la corde qui sous-tendra, dans le cercle, l'angle a», et que, pour obtenir la sousnormale de la cycloïde , il suffira de projeter le rayon mobile mené du point (^, y\) au point (.v,/) sur l'axe des .v.

DU CALCUL LNFINITÉSIMAL. ^-