QUATRIÈME LEÇON

Propriétés diverses des Courbes planes déduites des Eqnatlotis de ces mêmes Courbes. Points singuliers.

Soit proposée une équation entre deux coordonnées rectangulaires X , y. Cette équation, résolue par rapport ky, en fournira une ou plusieurs autres de la forme

et chacune de celles-ci représentera une ligne ou portion de ligne dont ie;S propriétés dépendront de la nature de la fonction /(.v). Ainsi, par exemple , l'équation

qui représente une circonférence de cercle dont le centre coïncide avec l'origine, se décomposera dans les deux suivantes ,

dont chacune représentera une demi-circonférence située au-dessus ou au-dessous de l'axe des x.

Si la fonction /(.v) demeure continue entre les limites x-=x^, x=^X, ia ligne représentée par l'équation (1) sera elle-même continue entre les points correspondans aux abscisses .Vo . X. Cette ligne pourra devenir discontinue lorsque la fonction /(.v) offrira des solutions de continuité; par exemple, lorsque cette fonction deviendra infinie pour cer-; taines valeurs finies de .v , ou lorsqu'elle passera tout-à-coup du réel à

l'imaginaire, ou lorsqu'elle changera brusquement de valeur. Le premier cas se présente dans l'hyperbole

ie second, dans les courbes logarithmiques

(5) >' = -ih' ^^) > = w(^-);

le troisième, dans la ligne déterminée par l'équation

et composée de deux demi-axes parallèles à l'axe des .v, qui aboutissent aux deux points de l'axe des y auxquels appartiennent les ordonnées H- I et — I. Dans les deux derniers cas, la ligne que l'on considère s'arrêtera tout-à-coup en certains points que nous nommerons points d'arrêt. Les courbes (5) et (6) ont chacune pour point d'arrêt l'origine des coordonnées. La ligne représentée par l'équation (7) ofFre deux points d'arrêt situés sur l'axe des y, de part et d'autre de l'origine, et à l'unité de distance.

Si la fonction f [x] ne devient réelle que pour un nombre limité de valeurs de a-, l'équation (i) ne représentera qu'un point ou une suite de points isolés. Ainsi, par exemple , la formule

qui oftie l'une des valeurs de y fournies par l'équation

Cp) x' -\- y'- ^o ;

ne représente qu'un seul point qui coïncide avec l'origine. Il peut arriver que l'équation (i) fournisse en même temps un ou plusieurs points isolés et une ou plusieurs branches de courbe. Ainsi la formule

Ltiorii de AI, CaHchy. i.'* Année. r

dd APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

qui offre l'une des valeurs de y fournies par l'équation

(il) y- z=^ x- {x^ — a^) .

représente, i.° deux branches de courbe qui s'éloignent indéfiniment de l'origine en partant de deux points situés sur l'axe des x et correspondans aux abscisses xz:^ — a, xzz=.a; z." un point isolé qui coïncide encore avec l'origine.

Une ordonnée maximum ou minimum devant être supérieure ou inférieure à toutes les ordonnées voisines, il suit de ce qui précède que, si les deux fonctions/ ei / restent continues dans le voisinage d'une valeur particulière de x, cette valeur ne pourra produire un maximum ou un minimum de/ qu'en faisant évanouir/', c'est-à-dire, en vérifiant l'équation (12) ;-' — G.

Ajoutons qu'une valeur de x tirée de la formule (12) fournit effectivement un maximum ou un minimum , dans le cas où la première des quantités

qui diffère de zéro, est positive ou négative, mais d'ordre pair; et que cette valeur ne détermine ni maximum, ni minimum, dans le cas contraire.

Au reste , il peut arriver que certaines valeurs de x, prises parmi celles qui rendent discontinue l'une des fonctions/,/', produisent des maxima ou des minima de l'ordonnée, sans vérifier la formule (12). Ainsi, en particulier, si la fonction y=iif[x), après avoir cru ou diminué pendant que l'on faisait croître ou décroître la variable x , passe tout-àcoup du réel à l'imaginaire, la courbe représentée par l'équation (t) aura un point d'arrêt, et l'ordonnée correspondante à ce point d'arrêt pourra être considérée comme un maximum ou un minimum. Par exemple , la valeur zéro correspondante à a"=::o est une sorte de minimum rela-

DU CALCUL INFINITESIMAL. d'j

tivement à l'ordonnée de la courbe

^'^^ ^^[tT^]^

Pour obtenir des maxima ou minima d'ordonnées correspondans à des solutions de continuité dans la fonction y' ■:=:/' [x] , il suffit de considérer les trois lignes représentées par les équations

(■4) /=/(-V), (15) y^-l±Il^f±^, (.6) y = x''.

Ces trois lignes, dont la première se compose de deux demi -axes perpendiculaires entre eux et aboutissant à l'origine des coordonnées , et la seconde de deux portions de paraboles qui viennent se rencontrer sur l'axe des^, ont pour ordonnée minimum , la première et la troisième

t:=o, la seconde y r^ — . Or, pour la valeur xrrro qui produit ces

minima, les dérivées des fonctions (i4). (15) et (16), savoir,

deviennent discontinues , la première et la seconde en passant tout-àcoup de la valeur — i à la valeur -i- i , la troisième en passant par l'infini.

Nous avons remarqué, dans la première leçon , que la valeur numérique de la fonction dérivée y représentait la tangente trigonométrique de l'inclinaison de la courbe par rapport à l'axe des x. Donc, si l'on a, pour un point donné,

l'inclinaison sera nulle en ce point; c'est-à-dire que la tangente à la courbe deviendra parallèle à l'axe des x. Si l'on a, au contraire,

68 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

l'inclinaison sera équivalente à un angle droit; c'est-à-dire que la tangente à la courbe deviendra parallèle à l'axe des y. Enfin , si la fonction dérivée^' change brusquement de valeur, il en sera de même de l'inclinaison. Concevons que, dans cette dernière hypothèse, la fonction / reste continue : alors les deux branches de la courbe viendront se réunir au point donné , de manière que leurs tangentes forment entre elles un certain angle , et ce point sera ce que nous appellerons un point saillant. Tel est, par exemple, le point correspondant à Ar=:o, dans la courbe représentée par la formule (i4) . et dans celles que déterminent les équations

(21) ^ irr -v arc tang — > (22) y ■=: 7- •

Supposons maintenant que deux branches d'une même courbe s'arrêtent en un point donné, de manière à toucher l'une et l'autre un demiaxe aboutissant au point dont il s'agit. Ce point sera ce qu'on nomme un point de rebroussement. Le rebroussement sera de première espèce , si le demi-axe passe entre les deux branches de courbe; et de seconde espèce ^ si le demi-axe laisse les deux branches d'un même côté. L'origine est un point de rebroussement de première espèce pour la courbe représeatée par la formule (15), et pour celle qui répond à l'équation

En effet, chacune de ces courbes se compose de deux branches tangentes l'une et l'autre au demi -axe des y positives, et situées des deux côtés de ce demi-axe. La cycloïde représentée par l'équation (23) de la 2.* leçon offre une infinité de points de rebroussement de première espèce, .tous situés sur l'axe des x , et correspondans aux abscisses

.v = o, .Y = zh27r/?, x^z^^-kR , &c....

Lorsqii'en un point de cette espèce le demi - axe tangent aux dç\ix

DU CALCUL INFLNITESIMAL, 60

branches de la courbe n'est pas perpendiculaire à l'axe des .v , les valeurs de y correspondantes à ces deux branches sont nccessairement déterminées par deux équations distinctes , comprises l'une et l'autre dans l'équation unique de la courbe donnée. C'est ce qui a lieu, en particulier, pour la courbe

composée de deux branches qui touchent à l'origine le demi -axe des ,v positives , et qui repondent aux deux équations

C'est aussi ce qui arrive toujours pour les points de rebroussement de seconde espèce. Nous citerons comme exemple la courbe

(27) (y — X sin .v ) ^ z=: x^ sin " x ,

composée de deux branches qui touchent à l'origine le demi -axe des X positives, et qui, près de cette origine, sont situées l'une et l'autre du côté des y positives.

Lorsque les fonctions

y—f{x) et y'=/'(.v)

restent l'une et l'autre continues pour toutes les valeurs de .v comprises entre les abscisses de deux points donnés, la corde qui joint ces deux points est nécessairement parallèle à l'une des tangentes menées par les points intermédiaires de la courbe. En effet, si l'on représente par x et x-|-Aa- les abscisses des deux points dont il s'agit, on aura [ en vertu de la formule (8) de la 7.^ leçon de calcul différentiel]

(28) -^ — ISl^^l±ll:ZL:n. — /'(.VH-GA.V)

â désignant un nombre inférieur à l'unité. Or, il résuite évidemment de l'équation précédente, jointe aux formules (i) et (5) de la première

yo APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

leçon, que la corde menée du point {x, y) au point {x -i~Ax, y-\-Ay)

est parallèle à la tangente menée par le point qui a pour abscisse .y-hG Aat.

On arrivera encore à la même conclusion en transportant la corde dont il s'agit parallèlement à elle-même, avec un mouvement continu, de manière à faire décroître indéfiniment l'arc sous -tendu par cette corde. A l'instant où cet arc s'évanouira, la corde se changera en une droite tangente à la courbe, et l'on peut remarquer que le point de contact sera évidemment distinct des points (.v,^) et {x-\-Ax, y-\-Ay).

Concevons à présent que, la fonction dérivée y' ^=:f'[x) étant continue entre deux limites données , l'on fasse croître .v entre ces limites. La fonction y elle-même ira en croissant , toutes les fois que sa dérivée y" zzzf" [x) aura une valeur positive, et en décroissant toutes les fois que la valeur de y" sera négative. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que, si la fonction y' zzzf'^x) croît ou décroît sans cesse entre deux valeurs de .v correspondantes à deux points de la courbe proposée , l'ordonnée de cette courbe dans l'intervalle sera constamment supérieure ou constamment inférieure à l'ordonnée de chaque tangente, de part et d'autre dn point de contact. Admettons, par exemple, qu'après avoir assigné à la variable x une valeur déterminée , on attribue à cette variable un accroissement A,v, et que l'expression

croisse constamment, depuis la limite Axzr: — h jusqu'à la limite Ax-=z!i. La différence

sera toujours, entre ces limites, affectée du même signe que A.v; d'où il résulte que le produit

(30) [/'(,. ^A.v)-/'(.v)]Ax

sera nécessairement positif. Il en sera de même, a fortiori , de tout produit de la forme

DU CALCUL INF1NITÉSL\L\L. 7 r

(3x) [/'(.v-f-GA.v)-/(.v)]^-v.

ô désignant un nombre inférieur à l'unité. Or, si par le point {x , y) on mène une tangente à la courbe proposée , l'ordonnée de cette tangente relative à l'abscisse

? = .Y -H A .V sera [en vertu de l'équation (8) de la première leçon] (32) .=y-^f'{x).Ax,

tandis que, pour la même abscisse, l'ordonnée de la courbe pourra être [voyei la formule (8) de la 7/ leçon de calcul différentiel] présentée sous la forme

{33) y~hAy=y-\~/'{x-+-^Ax).Ax.

Donc la différence entre l'ordonnée de la courbe et l'ordonnée de la tangente , savoir,

(34) y-hAy — ^,

sera l'une des valeurs du produit (31), et par conséquent une quantité positive. On prouvera pareillement que, si la quantité {^p) diminue constamment depuis la limite A.vzrr — // jusqu'à la limite A.vzrr//, les produits (30), (31) seront positifs entre ces limites, ainsi que la différence {}}), et qu'en conséquence l'ordonnée ^ H- A/ sera inférieure à celle de la tangente. Enfin, si la quantité (25?), à l'instant où l'on pose Ay=o, cessait de croître pour diminuer, ou de diminuer pour croître, c'est-à-dire, en d'autres termes, si la valeur de la fonction f'{x) correspondante à la valeur donnée de x devenait un maximum ou un mifiimum, l'ordonnée y H- A^ de la courbe serait inférieure d'un côté du point de contact, et supérieure de l'autre coté, à l'ordonnée de la tangente. Comme il suffit d'ailleurs, pour décider si la fonction y'z:=/'{x) croît ou diminue, de consulter le signe de y" , nous devons conclure qu'entre deux valeurs données de l'abscisse, l'ordonnée de la courbe

j Z APPLICATIONS GEOMETRIQUES

sera constamment s\ipérieure à celle de ia tangente, si dans i'intervaile y" prend toujours une valeur positive ; que l'ordonnée de ia courbe sera constamment inférieure à celle de la tangente, si la valeur de y" reste toujours négative; enfin, que la courbe et la tangente se traverseront mutuellement, si, dans le passage d'un côté du point de contact à l'autre, la valeur de y" change de signe. Dans ce dernier cas , le point (.v,^) de la courbe sera ce qu'on nomme un point d'infexioii. Cela posé, l'origine sera évidemment un point d'inflexion pour la courbe

qui touche et traverse en ce point l'axe des x , ainsi que pour les courbes

W /:=A-/(.v'). (37) ^• = .v/(^sin.v),

qui touchent et traversent en ce même point l'axe des y. De plus , comme on tirera de l'équation (5)

ia courbe représentée par l'équation {5) aura évidemment un point d'inflexion dont l'abscisse x se déduira de la formule

et sera équivalente au carré de — •

Lorsque la fonction y et ses dérivées successives restent continues dans le voisinage d'une valeur particulière de .v^ cette valeur ne peut produire un point d'inflexion , par conséquent un maximum ou un mitiîmum de y , qu'en vérifiant l'équation

Il faut en outre que , parmi les quantités

DU CALCUL INFJNITESLMAL. 7^

la première de celles qui ne s'évanouissent pas soit une dérivée d'ordre pair de la fonction /.

On dit qu'une courbe ou une portion de courbe continue est fOWJ'^A'^ entre deux points donnés , lorsque entre ces points elle ne peut être rencontrée plus de deux fois par une incme droite. Cela posé , il est clair qu'une courbe qui renferme un point d'inflexion ne saurait être convexe. Concevons, en effet, qu'après avoir tracé la tangente qui passe par le point d'inflexion, on mène de ce point deux rayons vecteurs à deux points très-voisins situés sur la courbe, l'un au-dessus, l'autre au-dessous de la tangente. Celui de ces rayons qui formera le plus petit angle aigu avec la tangente, ira évidemment, si on le prolonge en sens contraire, rencontrer de nouveau la courbe proposée. Donc la droite dont ce rayon vecteur fait partie aura trois points communs avec la courbe. On peut démontrer encore que, si, pour une portion de courbe comprise entre deux points donnés , l'ordonnée y et sa dérivée /' sont deux fonctions continues de l'abscisse x , dont la seconde croisse ou décroisse constamment, tandis que l'abscisse augmente, cette portion de courbe sera convexe. En effet, si elle' pouvait être coupée par une droite en trois points différens (/4), (5), [C) , on pourrait aussi mener deux tangentes parallèles à cette droite par deux points ^E), {F) de la courbe, situés l'un sur l'arc sous-tendu par la corde AB , l'autre sur farc sous-tendu par la corde BC; et par conséquent y' reprendrait au point [F) la même valeur qu'au point {F), ce qui est contre l'hypothèse admise. Ajoutons que , dans cette hypothèse , la courbe tournera sa convexité du côté des / négatives ou du côté des y positives, suivant que l'ordonnée de la courbe sera supérieure ou inférieure à l'ordonnée de chaque tangente, avant et après le point de contact, c'est-à-dire, en d'autres termes , suivant que la valeur de y" sera positive ou négative entre les deux points donnés.

II suit encore de ces principes que , pour décider si une courbe tourne sa convexité ou sa concavité vers l'axe des x, en un point pour

LeçoKi de Ai. Caiidj. i ."^ Amjce. j^

y 4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

lequel y et y" obtiennent des valeurs différentes de zéro , il suffit d'examiner si ces valeurs sont des quantités de même signe ou de signes contraires, c'est-à-dire, si le produit

est positif ou négatif.

On appelle points multiples ceux dans lesquels viennent se rencontrer deux ou plusieurs branches de courbes qui ne s'arrêtent pas toutes à ces mêmes points. On peut nommer encore points multiples ceux auxquels aboutissent pour s'y arrêter au moins trois branches différentes. L'origine est évidemment wn point muhiple pour chacune des courbes

En effet, la courbe (39) est formée de deux branches représentées par les équations

y=z — xy/[i — x^), y=ix\/{i — x'-) ,

et qui se croisent à l'origine en touchant les droites

Quant aux deux branches de la courbe (^o), représentées par les équations

;. = — .vV(i-A"). 7=:.vV(i-A^).

elles se rencontrent encore à l'origine, mais elles ont en ce point une seule et même tangente qui coïncide avec l'axe des .v. Si , après avoir tracé le cercle

on construit une courbe dont l'ordonnée y soit à l'abscisse x dans le rapport qui existe entre l'ordonnée du cercle, savoir, 'dz\/{R'' — x^), et le rayon /?, cette courbe sera ce qu'on appelle une Jemniscate , et son équation

comprendra comme cas particulier la formule {}^)- Cela posé, les différentes lemniscates qu'on obtiendra en faisant varier le rayon R, seront évidemment des courbes semblables entre elles , dont chacune aura sensiblement la même forme que ie signe 00, et présentera un point multiple coïncidant avec l'origine des coordonnées.

L'origine est encore un point multiple où viennent s'arrêter quatre branches de chacune des courbes

(42) (/ — -varctang-j r= a* cos a- ,

{4}) (y ^^—r y = A* cos .V ,

{44) (/— x')'=:x^s\nx ,

(45) {y — -Y^ sin* .y)* = A* sin* A-.tang A-.

Ajoutons que les demi-axes tangens aux quatre branches sont distincts les uns des autres pour les courbes (42) et {4}), tandis qu'ils se réduisent à deux pour la courbe (44) > ^^ ^ un seul pour la courbe (45)- Ces demi-axes coïncident, pour les deux branches de la courbe (42) situées du côté des x positives, avec les droites

et pour les deux branches de la même courbe situées du côté des x négatives , avec les droites

pour les deux branches de la courbe (4]) situées du côté des .r positives, avec les droites

j6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et pour les deux branches de la même courbe situées du côté des x négatives , avec les droites

pour les quatre branches de la courbe [44] , toutes situées du côté des X positives , avec les droites

enfin pour les quatre branches de la courbe (45). avec le demi-axe des .V positives.

Les points d'arrêt, les points saillans, les points de rebroussement et d'inflexion, les points multiples, &c. . . . , et en général tous les points qui se trouvent situés sur certaines courbes , de manière à offrir quelques particularités dignes de remarque, inhérentes à la nature de ces mêmes courbes , et indépendantes de la position des axes coordonnés, sont désignés sous le nom commun de points singuliers. Ainsi, par exemple, on devra ranger parmi les points singuliers d'ime courbe ceux dans lesquels la direction de la tangente deviendrait indéterminée. Tel est, pour la courbe

(4^) y -zrz X sin

le point qui coïncide avec l'origine des coordonnées. Les points singuliers, et particulièrement ceux que nous avons nommés points d'arrêt et points saillans , ont fourni le sujet d'un mémoire assez étendu , présenté en 1824 à l'Académie royale des sciences, par M. Roche, ancien élève de l'école polytechnique.

DU CALCUL INFINITESLMAL.