COS T

tandis que la portion d'ordonnée comprise entre la tangente et fa courbe sera équivalente, au signe près [ voye^ la leçon précédente], à un produit de la forme

(4) [/'(.• H- ÔA.v)— /'(.-)] A.v,

ô désignant un nombre inférieur à l'unité.

Supposons maintenant le point (.v-4-A.y, y-^Ay) assez rapproché du point (.V/^) pour que, dans le passage de l'un à l'autre, les deux fonctions y j y' soient continues, et la dernière toujours croissante ou toujours décroissante. Dans le triangle curviligne , formé par la courbe , la tangente et l'ordonnée correspondante à l'abscisse a-hAa', le second et le troisième côté seront des portions de lignes droites , et le premier une ligne convexe. Donc chaque côté de ce triangle sera inférieur à la somme des deux autres , et la différence entre les deux premiers côtés aura une valeur numérique inférieure au troisième. Donc les valeurs numériques des expressions (2) et (3) différeront d'une quantité plus petite que la valeur numérique de l'expression (4). et, en divisant ces trois expressions par A.v, on devra

conclure que la différence entre dt— — et sec r , savoir,

' w ^^ ~-. sec r ,

a une valeur numérique plus petite que celle de l'expression

[6] /'(.v-hGAx)-/'(.v).

D'ailleurs, si l'on fait converger A.v vers la limite zéro, l'expression (6) convergera évidemment vers la même limite. On pourra donc eii dire autant de l'expression (5). Or, en égalant à zéro la limite de cette dernière , on trouvera

(7) ~ -j^ sec r z= o ,

ou, ce qui' revient au même,

(8) Js = ±:sccT.Jx=:i±i/{i-hy'').Jx , et par suite

(9) ds' =z{i'+-y'')^x' =ilx''-+'dy\

Il est bon d'observer que dans la formule (5) , et par conséquent aussi

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. ^ç

dans les équations (-) et (8), on doit réduire le signe dr au si^me -f- , lorsque l'arc s croît avec l'abscisse .v, et au signe — dans le cas contraire. De plus, on tirera des équations (7) et (p),

cos r =zzri — — , sjn r >- -^

ds ds

sec r =. zïz —, — ■> cosec r

En substituant les valeurs précédentes de séc r et de coséc r dans les expressions (7) de la seconde leçon, ou reconnaîtra que les longueurs désignées sous les noms de normale et de tangente peuvent être présentées sous la forme

(.1) N^±y±L, T=:±zy ''

dx ^ dy

La corde qui sous-tend l'arc ±:Aj- compris entre les points (v,^) et [x -\- i\ X , y -\- ^ y) , a évidemment pour mesure le radical