AA--4-A

En conséquence, le rapport de l'arc à sa corde sera

il 1 ±aj

Or, la formule (9) entraîne l'équation

± d s V^*) ' V[dx- -+- dy') ^'

dont le premier membre [en vertu du principe établi à la page 16 da calcul différentiel] est précisément la limite de l'expression (13). Ainsi, lorsqu'un arc de courbe plane devient infiniment petit , le rapport de cet arc à sa corde devient égal à l'unité.

Désignons à présent par a et h les angles que la corde ou sécante menée du point (-v,/) au point (.v4- A.v^ y-\-ùi>.y) forme avec les

8o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

demi-axes des x et ^ positives , chacun de ces angles. étant supposé compris entre zéro et 200 degrés. Soient de plus et , /3 , les limites vers lesquelles convergent les angles û, h, tandis que le point [x-\-ù^x, y-+-ù>.y) se rapproche indéfiniment du point [x , y) , c'est-à-dire, en d'autres termes, les angles formés par la tangente prolongée dans le même sens que la corde avec les demi-axes des coordonnées positives. Les formules (4) des Préliminaires donneront

(Ml cos û =: — r, T- > ces ù :3i: — j

et l'on en conclura, en passant aux limites, "

(16) cosaL=:z-—-- 7— r ' cos /3 :=: ,, , , ' — :rTV

* ' y(dx'-t-d^-) ' V {d x'- -i- dy' )

Si dans les équations {16) on substitue au radical -[/{J x'' -\- rly-) sa valeur tirée de l'équation (14)» on obtiendra l'un des deux systèmes de formules

(i 7) cos et :

(l 8) cos CL = —

Le premier système devra être adopté, si la tangente à la courbe a été prolongée dans le même sens que l'arc s, et le second système, si la tangente a été prolongée en sens inverse. En effet , le rapport — — >

étant la limite de — ~ ■> sera positif si l'arc s croît avec .v, ou , en

d'autres termes, si la tangente, prolongée dans le même sens que l'arc, forme avec le demi - axe des .v positives un angle aigu, et par conséquent un angle dont le cosinus soit positif. Si cet angle devient obtus,

son cosinus et le rapport — — deviendront en même temps négatifs.

Donc les formules (17) ou (18) devront être préférées suivant que l'on

ds ' dx

ds '

désignera par et l'angle dont ii s'agit , ou le supplément Je cet angle , c'est-à-dire, suivant que la tangente à la courbe aura été prolongée dans le sens de l'arc s, ou en sens inverse.

Les angles que nous avons représentés par et et /3 , sont évidemment égaux, le premier à l'angle r qui mesure l'inclinaison de la courbe, ou au supplément de l'angle r, c'est-à-dire, à tt — r , le second à l'un

des angles r, ht, qui sont encore supplémens l'un de l'autre.

On aura donc

et , par suite ,

(20) cos et =z ztz cos r , cos ,3 = rir sin r.

Si de ces dernières formules on élimine cos r et sin r à l'aide des équations (10), on retrouvera les deux valeurs de cos st., et les deux valeurs de cos/8, fournies par les équations (17) et (18). Seulement, le calcul n'indiquera pas comment ces valeurs devront être combinées entre elles. Considérons maintenant deux courbes planes tracées dans le plan des x,jy. Soient Xj y les coordonnées de la première courbe, et s l'arc de cette courbe compris entre un point fixe et le point mobile {x , y). Soient de même ^ , n les coordonnées de la seconde courbe , et ^ l'arc de cette seconde courbe compris entre un point fixe et le point mobile (^, r). On trouvera

(21) iis'=zJx'-^Jf, Jç' — ^^^ -f-//r,\

De plus , si les tangentes menées à la première courbe par le point {x,jf) et à la seconde courbe par le point (^, r) sont prolongées dans les mêmes sens que les arcs s çt ç , elles formeront avec les demi-axes des coordonnées positives des angles dojit les cosinus seront respectivement égaux, pour la première tangente, à

Leçons de M. Cauchy. i ."^ Aonée.

$2 APPLICATIONS GÉOxMÉTRIQUES

et , pour la seconde tangente , à

rfg d H

"TT' d( '

Par suite , si l'on nomme J^ l'angle que les deux tangentes forment entre elles, on aura [en vertu de la formule (30) des préliminaires]

, \ r. d X d ^ d y d K d x d 'i,-\- d y dii

(22) cos <A = —. -f^ -\- -/- — — = ^—j-^

Les deux tangentes deviendront parallèles, lorsqu'on aura

dl dx

dç ' d s ''

(/ n dy d ç ' ' ds '

ou bien

dl dx d; ds '

dtf dy

Il faut observer, d'ailleurs, que les formules (23) et (24) peuvent être remplacées par la seule équation

dl dy, d X dy

de laquelle on déduit

dl ^«

H- ^[dl^-^

dx dy ' \^{dx^ -^ dy') ds

Ajoutons que les deux tangentes comprendront entre elles un angle droit, si Ion a cos J^ 1=: o , et par conséquent,

{26) dx d^ -\- d y dy\ -^=2 o.

Si dans la formule (22) on substitue pour ds et dç leurs Naleins tirées des équations (21), on obtiendra la suivante

/ \ r i dxdt-\-dydin

(27) cos i^ m ZÏZ ~ •

Lorsque, dans cette dernière, on ne détermine pas le signe du second

membre, elle fournit deux valeurs Je S^ renfermées entre zéro et tt , qui représentent i'angie aigu et l'angle obtus compris entre les deux tangentes prolongées indéfiniment de part et d'autre des points (-v,/) et (^. ^).

Lorsque les deux courbes se rencontrent en un même point , elles sont censées former entre elles les mêmes angles que les tangentes menées par le point dont il s'agit. Alors on a pour le point de rencontre (2S) ^ = X , r = y;

et les angles que les deux courbes forment entre elles ont évidemment pour mesure les valeurs de S^ , renfermées entre zéro et vr, qui vérifient l'équation (27}.

On dit que deux courbes sont normales l'une à l'autre, lorsqu'elles se coupent à angles droits; et qu'elles sont tangentes çniie elles, ou qu'elles se touchent, lorsqu'elles ont, en un point qui leur est commun , une tangente commune, c'est-à-dire, lorsque l'angle aigu compris entre les deux courbes s'évanouit. Dans le second cas, l'équation (25), ou

est vérifiée pour le point de contact. Dans le premier cas , l'équation (26), ou

est vérifiée pour le point d'intersection.

11 est essentiel d'observer que, dans les diverses formules ci-dessus établies, les différentielles disparaîtront toutes en même temps, quand on aura éliminé ds, de,, dy et dr à l'aide des équations (21) réunies aux équations différentielles des courbes proposées. Les calculs deviendront plus simples, si les équations finies des deux courbes se présentent sous la forme

Alors, en vertu des formules (28) et (2^) , les deux courbes auront un point commun correspondant à l'abscisse x , si cette abscisse vérifie l'équation

et elles se toucheront au même point, si l'on a de plus

Au contraire elles deviendront normales l'une à l'autre, si l'on a pour le point commun

Si l'on représentait les équations finies des deux courbes par

(35) /(■^■'7) = o. F{^,r)=zo, et leurs équations différentielles par

(36) (p[x,y)(ix-+-x{X'}')^y = o ' '^{x,y)(lK -\-X{x,)')J)':=o , on trouverait , à la place de la formule (33) ,

et, à la place de la formule {^4) >

On peut, sans inconvénient, substituer, dans la seconde des équations (3 i) ou (35), les lettres x,y aux lettres ^,y\, et supposer, par exemple, que les deux courbes soient représentées par les deux équations

Alors , pour que les deux courbes se touchent au point dont l'abscisse est

.V, il suffira, en vertu des formules (3 2) et (3 3) , que les valeurs Je y et de y correspondantes à ce point, restent les mêmes dans ie passage de la première à la seconde courbe. Au reste , cette proposition est évidente. Car, si les conditions qu'on vient d'énoncer sont remplies, il est clair que, pour l'abscisse x , les deux courbes auront non-seulement la même ordonnée, mais encore la même tangente.

Exemples. Les deux paraboles du second et du troisième degré, représentées par les équations

se touchent à l'origine , et ont en ce point l'axe des x pour tangente commune, attendu que les deux équations

{4 0 .V* =z: .Y^ et 2.x nir ^ x-

sont vérifiées l'une et l'autre par la valeur .vrrro, à laquelle répondent des valeurs nulles de l'ordonnée y et de sa dérivée y .

L'origine est encore un point de contact pour les deux courbes

(42) y ^=1 x\ 7 = AT*

dont la tangente commune coïncide avec l'axe des x , et pour les deux courbes

dont la tangente commune se confond avec l'axe des y.

On nomme en général parabole du degré a ou - une courbe dont

l'équation en coordonnées rectangulaires peut être présentée sous la forme

{Ai) y = Ax\ ou x=[-^)'y\

a désignant une constante positive. Cela posé, il est clair que les paraboles

s 6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

(45) y = A.x\ y=zBx'

se toucheront à l'origine, si les quantités a, b sont toutes deux supérieures ou toutes (Jeux inférieures à l'unité , et qu'elles auront pour ian"ente commune, dans le premier cas, l'axe des .v , dans le seconil cas , l'axe des y.

Nous terminerons cette leçon en établissant un théorème qui est fort utile dans la théorie des contacts des courbes planes , et que l'on peut énoncer comme il suit.

Théorème. Etant données deux courbes pleines qui se touchent , si, à partir du point de contact, on porte sur ces courbes proJonge'es dans le même sens des longueurs égales , mais très-petites , la droite qui joindra les extrémités de ces longueurs sera sensiblement parallèle ii la normale commune aux deux courbes.

Démonstration. Supposons que les longueurs égales, portées sur la première et la seconde courbe à partir du point de contact, aboutissent, d'une part au point {x,y), de l'autre au point (^, r). Soient de plus, j et $ les arcs renfermés , i .° entre un point fixe de la première courbe et le point (-v.>'); z." entre un point fixe de la seconde courbe et le point (^,i). Tandis que les coordonnées x ,y; ^, r, varieront simultanément, la différence

restera invariable, et l'on aura en conséquence c,^i=^s-\- const. ,

(46) d^ = ds.

Soient d'ailleurs <i,/3 les angles que forme avec les demi -axes des coordonnées positives la tangente commune aux deux courbes , prolongée dans le même sens que les arcs j et ^ ; H la longueur de la droite menée du point (^, r) au point {x,y); enfin A, a les angles que forme cette droite avec les demi -axes des coordonnées positives. On trouvera

DU CALCUL iNFINITLSIAUL. S 7

(47) ^-os ot r=: — rzr -/^- , cos /3 rr: -^ - -^ ,

(4p) cos A ^=: - ■> cos /.(. zrz — — ^ ,

et l'on tirera des formules (21) réunies à ieqiiation (4(j)

ou , ce qui revient au mcme ,

{50) (ri' A- -h^^) (dx — J^) --h {Ay-\- dr) {dy — dr,) z= o.

Or, les équations (47) donneront

(51 ^-z=^-^ — y~-r=zds-^ dc,:=^zds.

^' ' cos a. cos (S

De plus, en faisant converger // vers la limite zéro, dans la formule (3) de l'addition placée à la suite des leçons de calcul infinitésimal , on en conclut que dans h voisi/iûge d'une valeur particulière de x ^jui fait évanouir deux fondions donne'es , le rapport entre ces fonctions diffère très-peu du rapport entre leurs dc'rive'es , et par conse'quent du rapport entre leurs différentielles ; fjuand même ces différentielles et ces de'rive'es s'évanouiraient à leur tour pour la valeur particulière dont il s'agit. En appliquant ce principe aux seconds membres des équations (4^) , on reconnaîtra que les quantités cos A, cosf. peuvent être déterminées approximativement par les formules

, , ^ dx- — dp dn — d y

(S 2) COS A ^1= ; ) cos /X, r:r ; — ^^—'

On aura donc à très-peu près

, > d X — dp dy — dif , ,

^' J I cos A COS fJ.

8 g APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Cette dernière équation sera d'autant plus exacte que les points {x>y) et (^, Yi) se trouveront plus rapprochés du point de contact des deux courbes. Si maintenant on remplace, dans la formule (50), les différences

J X -i- ii^ , Jy -+- Jr ,

par les quantités coset, cos^ô qui sont entre elles dans le même rapport , et les différences

iix — J^, dy — d y^

par des quantités proportionnelles à ces différences, savoir, cos A et cos^M-, on trouvera définitivement

(5 4) '^o^ °^ '^os A -f- cos /3 cos /M. :r= o.

Donc la droite menée du point {^,yi) au point (x.y) sera sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes, ou, ce qui revient au même, sensiblement parallèle à la normale commune.