SIXIEME LEÇON
De lu Courbure d'une Courbe plane eu un point donné. Rayon de Courbure , Centre de courbure et Cercle osculatcur.
Soit R le rayon J'un cercle qui touche une droite en un point donné. Si l'on tait croître indéfiniment le rayon R, la portion de la circonférence qui avoisine le point de contact , s'approchera sans cesse de la droite dont il s'agit , et se confondra sensiblement avec cette droite ,
lorsque le rapport -— - différera très-peu de zéro. Au contraire, la circonférence se courbera de plus en plus, si, le rayon R venant à croître, le rapport —^ diminue. En conséquence , il est naturel de prendre ce
rapport pour la mesure de ce qu'on peut appeler la courbure du cercle. Soient d'ailleurs x , y les coordonnées d'un point quelconque de la circontéren-ce, r l'inclinaison en ce point, s l'arc renfermé entre un point fixe et le point (.v,^); enfin A.v, Ay, Ar, Aj- les accroissemens que prennent ces diverses variables, quand on passe du point {x , y) à un second point assez rapproché pour que l'inclinaison croisse ou décroisse toujours dans l'intervalle. L'arc renfermé entre les deux derniers points sera précisément dzAj, et l'angle compris entre les rayons qui aboutissent aux extrémités de cet arc sera égal à l'angle zL A r compris entre les tangentes extrêmes. Cela posé, on aura évidemment
dt Ajr= =t /?.Ar , et par suite on trouvera pour la courbure du cercle
Leçons Je M. Cauchy. i .^ Aance. Mf
pO APPLICATIONS GEOMETRIQUES
Concevons maintenant que l'on désigne par x , y; a- -f- A .v , ^y -f- A y , les coordonnées de deux points situés, non plus sur une circonférence de cercle, mais sur une courbe quelconque, et assez rapprochés l'un de l'autre pour que l'inclinaison r croisse ou décroisse d'une manière continue entre les extrémités de l'arc ztAj. Le rapport
variera en général avec l'arc zhAj-, et sera ce cjue nous appellerons la courbure moyenne de cet arc. De plus, si le point (.vH— A.y, y -\- ÙL.y) vient à se rapprocher indéfiniment du point [x,y), les deux quantités drAj, drAr convergeront simultanément vers la limite zéro. Mais la limite vers laquelle convergera leur rapport, savoir,
sera en général une quantité finie, que nous nommerons la courbure de la courbe au point (.v,;i').
L'angle ±Ar compris entre les tangentes extrêmes de l'arc rtAj est ce qu'on appelle ordinairement ïangle de contingence.
Lorsque l'arc rfcAj- est très-petit, sa corde est sensiblement perpendiculaire aux deux normales menées à la courbe que l'on considère par les points (.v,^), (.yH-A.y, y-i-^y) ; et la distance du point (.v, v) au point de rencontre des deux normales est sensiblement équivalente au rayon d'un cercle cpii aurait la même courbure que la courbe. En effet, soient ;• cette distance, et f la limite dont elle s'approche indéfiniment. Dans le triangle formé par les deux normales et la corde de l'arc ±^s, l'angle opposé à cette corde sera évidemment égal à l'angle de contingence rirAr , tandis que l'angle opposé au côté r différera très-peu d'un angle droit. Donc , si l'on désigne par s un nombre infiniment petit , on aura
si"(-f — 0
sin (±At)
DU CALCUL INFINITLSLMAL.
On en conclura, en passant aux limites ,
OU, ce qui revient au même,
Or, il résulte évidemment de la formule (4) que / exprime le rayon
du cercle dont la courbure est égaie à zt — — . Ce rayon , porté à
partir du point (.v,/) sur ia normale qui renferme ce point, est ce qu'on nomme le rayon de courbure de la courbe proposée, relatif au point dont il s'agit ; et l'on appelle centre de courbure celle des extrémités du rayon de courbure que l'on peut considérer comme le point de rencontre de deux normales infiniment voisines. Le cercle qui a ce dernier point pour centre, et le rayon de courbure pour rayon, se nomme cercle de courbure ou cercle osculatcur. Il touche évidemment la courbe donnée, a la même courbure qu'elle, et tourne sa concavité du même côté. La courbure et le rayon de courbure d'une courbe peuvent être ^ré~
k^ sentées sous diverses formes qu'il est bon de connaître et que nous
K allons indiquer.
Si l'on prend x pour variable indépendante, on aura [ i.""* et 5.^ leçons]
tangrnzzty^ r =: rh arc tang /, f/r=:d:r — ^ ,^ dx, ds—±z^^{i-\-y'')dx, et par suite l'équation (4) donnera
A l'inspection de cette dernière formule, on reconnoît immédiatement que la courbure devient nulle , et le rayon de courbure infini , toutes les fois que y" se réduit à zéro. Alors le cercle osculateur se transforme
ç-2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
en une droite, et se confond avec la tangente. C'est ce qui a lieu , par exemple, pour le point d'inflexion de la courbe yz^zx^ , et en général pour tous les points d'inflexion dans le voisinage desquels les fonctions y et y restent continues par rapport à x. Si , pour un certain point, la valeur de y" devenait infinie, sans que la tangente fût perpendiculaire à l'axe des .v, la courbure serait elle-même infinie , et le rayon de courbure s'évanouirait. Enfin, si les quantités /, y" devenaient toutes deux infinies , la fraction
se présenterait sous une forme indéterminée. Mais on pourrait fixer la véritable valeur de cette fraction à l'aide des principes établis dans le calcul diflerentiei.
Quelquefois, tandis que l'abscisse -v varie d'un€ manière continue, le rayon de courbure change brusquement de valeur. Cette circonstance peut se présenter, non-seulement dans les points des courbes que nous avons nommés points saillaus , lorsque la fonction y' devient discontinue en changeant brusquement de valeur, mais encore dans le cas où, la fonction y' restant continue, la fonction /" offre des solutions de continuité. Par exemple, elle a lieu dans chacune des courbes
[6) / =: A- f I -{- arc tang — I» (7) 7 z= .vM i H- arc tang — ),
pour le point qui coïncide avec l'origine des coordonnées , lequel est tout à-la-fois un point saillant de la première courbe et un point de contact de la seconde avec l'axe des x. En effet , on reconnaîtra sans peine, à l'aide de la formule (5), qu'au moment où la variable x s'évanouit pour changer de signe, Le rayon de courbure»de la courbe (6) passe
de la valeur — [-^ ij -H-i |' à la valeur-'- f^-j-i )' H-i |^5 et
celui de la courbe (7) ,. de la valeur à la valeur
Lorsque dans la formule (5) on substitue à sec r =: |/(i'-f-/'*) le
DU CALCUL INFINITESIMAL. p,^
japport entre la normale A^ et la valeur numérique de l'ordonnée y \voyei l'équation (5) de la 2.* leçon], on trouve
(8) ' — v-ry\
et
et l'on en conclut
Oji détermine facifement , à l'aide de i'équatron (y), les rayons de courbure de plusieurs courbes , ainsi que nous allons le faire voir.
//'' Exemple. Concevons que, la constante p étant positive, on considère la courbe représentée par l'équation
(10) y- = 2px-{-(]x\
Cette courbe sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la quantité q sera négative, nulle ou positive. De plus, ou reconnaîtra sans peine, i.° que i'axe des .v coïncide avec un axe de la courbe, et l'origine avec une extrémité de cet axe ;. 2/' que, dans le cas où la constante (] surpasse la quantité — i , p représente le paramètre, c'est-à-dire, l'ordonnée élevée par un foyer de la courbe. Or, si l'on différencie l'équation (10), on en tirera
et par suite
/ y'^ z=p---\-2pqx-h -7'" -v' =p'-hqy' , y'--=z-j^-^q ; puis, en différenciant de nouveau et divisant par zy\
Cela posé, l'éq^uation (5?) donnera
Ainsi, dans la courbe (10), le rayon de courbure est égal au cube de la
normale divisé par le carré de la longueur p. Si l'on remet pour A' sa
valeur
Nz=zV{y'+f-y'^)^=^[p'-^{i-^q)y'Yy la formule (5)) deviendra
3 ; (li) / — J. — Jl
Enfin , si la courbe proposée se réduit à la parabole (13) y' — ^px.
on aura simplement
(>4) / — — j. — —pv-^~r)
Lorsque dans les formules (10) et (12) on pose a- ::=^ o , on en tire yz=.o , f ■=. p. La même remarque est applicable aux équations (13) et (i4)- On peut en conclure que, dans la parabole, dans l'ellipse et dans l'hyperbole , le rayon de courbure correspondant au sommet , à une extrémité du grand axe, ou à une extrémité de l'axe réel, est équivalent au paramètre.
^.'' Exemple. Considérons l'ellipse ou l'hyperbole dont a et h sont les deux axes , et dont l'équation est
En opérant comme dans le premier exemple , on trouvera X , jy' /i ^1 (>' ( t' \
DU CALCUL INFINITESIMAL. p^
puis, en remettant pour ^V sa valeur tirée des formules (12) de la seconde leçon ,
Si l'on considère en particulier l'ellipse
on trouvera, pour le rayon de courbure à l'extrémité de l'axe xa,
et, pour le rayon de courbure à l'extrémité de l'axe ib ,
Alors, SI 2 a représente le grand axe, sera le paramètre désigné
dans le premier exemple par la constante p.
j/ Exemple. Considérons la cycloïde dans laquelle l'ordonnée y et sa dérivée y' sont déterminées par les formules (23) et (^5) de la seconde leçon. On tirera de la formule (25)
puis, en différenciant et divisant par 27', et par suite
Ainsi, cidiis la cycloide , le rayon de courbure est douhk de la normale , lorsqu'on prend la base pour axe des .v. Par conséquent le rayon de courbure s'évanouit avec la normale, et la courbure est infinie, dans tous
les points où la cycloïde rencontre la base, c'est-à-dire, dans tous les points de rebroussement, tandis que, dans les points les plus éloignés de la base , le rayon de courbure devient égal au double du diamètre du cercle générateur. .,
Concevons maintenant que l'on cesse de prendre l'abscisse x pour variable indépendante. On trouvera
dy dy j , d x d- y — dyd^x
tan2r = ±— r-, r = ±: arc tang -/- , dT=± 7-: r^ — '
et la formule (4) donnera
, . ! , ■ dxd'y — dyd^x , d x d' y — dyd'-x
•^ [dx- -i- dy) '
Dans le cas particulier où l'on considère l'arc s comme variable indépendante , on peut transformer le second membre de la formule {20), de manière qu'il renferme seulement les dérivées du second ordre des coordonnées x et / par rapport à s. En effet , si l'on différencie l'équation
Ja' -t- Jy'- z= ds^ ,
en regardant ds comme une quantité constante, on aura
(21) dx d'- X -H dy d'- y :zz:. o ,
et Ton en conclura [voyez l'Auûlyse algèhrujve , note 11 ],
d~'y —d--x dxd'-y — dyd'x , [ (<y' « )=> -t- (,/' v)>]T ,
d- dy dx^^dy^ [dx^-^dy^y^
puis, en écrivant ds' au lieu de dx' -\~dy'-,
dx d^y — dy d-- X j [[d' xY -^ [d' y)'-]'^
ds' ' ds ' '
Cela posé, on tirera de la formule (20)
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 97
Ajoutons que, si, à partir du point (.v.j), on porte sur la courbe donnée et sur sa tangente, prolongées dans le même sens que l'arc s, des longueurs égales et infiniment petites représentées par /', on trouvera, pour les coordonnées de l'extrémité de la première longueiu-,
. dx ■ dy
ds ^ ds
et pour les coordonnées de l'extrémité de la seconde ,
. dx ï"- I d'-x ,\ . dy i'- I d'- v ,\
ds i \ds- I •' ds z \ds I
I, J désignant des quantités infiniment petites. Donc, si l'on nomme ^ la distance entre les extrémités de ces deux longueurs on aura
et par suite
De cette dernière formule combinée avec l'équation (20) on tire
En conséquence, pour obtenir le rayon de courbure d'une courbe en un point donné , il suffit de porter sur cette courbe et sur sa tangente , prolongées dans le même sens , des longueurs égales et infiniment petites , et de diviser le carré de l'une d'elles par le double de la distance comprise entre leurs extrémités. La limite du quotient est la valeur exacte du rayon de courbure.
Lorsqu'on veut appliquer les formules (5), (20) ou (22) à la détermination de la courbure d'une courbe, il faut commencer par exprimer les différentielles du premier et du second ordre des coordonnées x ,y
Lefcai de AI. Caiichy. i." Année. yy
en fonction de ces coordonnées et de la différentielle de la variable indépendante. On se trouvera dispensé de refaire dans chaque cas particulier un calcul de cette espèce, si l'on emploie la formule générale que nous allons établir.
Soit
l'équation de la courbe donnée , u désignant une fonction des coordonnées rectangulaires x , y. En différenciant cette équation deux fois de suite , on en tirera
du
du
dy z=z o ,
(^7) -^-^à x^^^d^y=.— \^-J-Jx--^^-J-^dxdy■
dx dy
d'^u 'dy
dy^\
et par conséquent
, n\ d.y — '^Jt dyd^x — dxd^y
^~ ' /ViTv /^«\ "du
On aura donc
{dx"- -^dy-\-
im-nm
m-mv
[dx^ -^dy'']
y^]' rd'u , , d-u j . d'u j j-j
-diTyyX^^'^'"^^^/''^^"^^^'^^ J
De cette dernière formule combinée avec l'équation (20) on conclura
d X- -+- 2 ri V /i V — J-
dy"-
z-^-^dxdy~h-—dy
dx dy
puis, en remplaçant les différentielles
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 09
par les quantités
du du
et — ,
d y dx
qui leur sont respectivement proportionnelles, on trouvera dcfinitivement
I du\^ d^u du du d- u ( du \» d'- u
, . I , \ d yj d x'- dx d y dx dy \ dx j dy-
Si les variables s ,y étaient séparées dans l'équation (25), c'est-à-dire, si la fonction u se composait de deux parties, dont l'une renfermât la seule variable .v et l'autre la seule variable y , on aurait
et la formule (30) se réduirait à
,. I — -j- ^^^^ ^^^ -^ i"7r/ dx-
Si l'on applique la formule (30) ou (31) aux courbes représentées par les équations (10), (13), (15). &c.,. , on obtiendra de nouveau les valeurs
de f que fournissent les équations (12), (i4)> (17). &c
En terminant cette leçon, nous ferons observer qu'on peut dans la formule (4) substituer à l'angle r l'une quelconque des valeurs de -X propres à vérifier l'équation (5) de la première leçon, c'est-à-dire, une valeur de la forme
{32) ^ r= rt // TT H- arc tang y 1=: ztz n tt ± r ,
n désignant un nombre entier quelconque. Alors la formule (4) devient
Nous ajouterons que k centre de couThure correspondant au point {x , y) sera
placé, par rapport à ce dernier point, du côté des y positives ou du côté des y négatives , suivant que la valeur du rapport
sera elle -même positive ou négative. En effet, le centre de courbure étant le point d'intersecrion de deux normales infiniment voisines , il est clair que la courbe tournera toujours sa concavité vers ce même centre. On en conclut, en prenant .v pour variable indépendante, et ayant égard à la remarque de la page 73 , que le centre de courbure sera situé, par rapport au point [x,y), du côté des y positives, si la valeur de y" est positive, et du côté des / négatives dans le cas contraire. D'ailleurs, en prenant toujours x pour variable indépendante, on tire de l'équation (32)
v3 5/ dx I -i-y"" >
et comme, en vertu de la formule (35), les quantités
seront toutes deux positives ou toutes deux négatives , on pourra évidemment consulter le signe de la première au lieu du signe de la seconde. Si, de plus, on observe que la valeur et le signe du rapport -'^'^- restent les mêmes, quelle que soit la variable indépendante, on
se trouvera immédiatement ramené au principe qu'il s'agissait d'établir.
- DU CALCUL INFINITESLMAL. i o i
