SEPTIÈME LEÇON
Détermination analytique du Centre de Courbure d'une Courbe plane. Théorie des Développées et des Développantes.
Soient y le rayon de courbure d'une courbe plane correspondant au point (.V, ^), et ^ , vi les coordonnées du centre de courbure. Ce centre n'étant autre chose que l'extrémité du rayon f> , porté sur la normale à partir du point {x , y) , et du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité, les coordonnées |, y\ vérifieront évidemment les deux équations
et
(2) {^-x)clx -\-{v—y)Jy z= o ,
desquelles on déduira la formule
/ X i—.y __. g — ^ zzz-*- [^''~>')''^(^~^)'^ =-+- ^
De plus , il résulte du principe établi à la fin de la leçon précédente que, si l'on appelle ->{/ l'un des angles déterminés par la formule
(4) tang 4 = -^ »
« — y et le rapport —p^ seront des quantités de mêine signe. En ayant
égard à ce principe et à l'équation {'^t,) de la même leçon, on tirera de la formule (3)
— dy d\
102 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
et par suite
Les équations (6), comprises l'une et l'autre dans la formule (5), suflîsent pour déterminer les coordonnées du centre de courbure d'une courbe plane.
Si l'on prend .v pour variable indépendante, on trouvera, en multipliant chaque membre de la formule (5) par dx, et substituant à ■ y' ■ sa valeur tirée de l'équation (35) [sixième leçon |,
ou , ce qui revient au même ,
Si l'on cesse de prendre x pour variable indépendante , l'équation (4) donnera
d\ ,/ dy \ dxd-y — dyd'-x
, I I dx d'y — dy d'x dx d'y — dy d^ x
cos^ ,|, \ d X 1 d :
I dx d'y — dy d^ X
i-Htang^,j, d X' dx^-i~dy'
et les formules (5), (6) deviendront respectivement
11 — y ^ — X d x' -+- dy'
dx — dy dxd'y — dy d' x >
, > , dx'-t-dy' y , dx'-^dy'
(10) V — y z=z d X -j—j. -f^^ — » t — X z=: — d y —^--T-^ t^TTT-
^ ' -^ dxd-y — dy d' X ^ ^ dxd'y — dy d x
On aura par suite
(11) [l — x) d' X -^- [t—y)d'- y ^zz d x^ -h dy^=zds* , ou , ce qui revient au même ,
DU CALCUL LMFINITESLMAL. 103
(-) (a--)ii^-^(^-^)if =
Il est facile d'ctablir directement cette dernière équation. En effet , soient A, ^ les angles que la normale , prolongée du côté vers lequel la courbe tourne sa concavité, forme avec les demi-axes des coordonnées positives. On aura évidemment
(iT.) = cos A , rr: cos M,.
Concevons de plus que l'on prenne l'arc s pour variable indépendante , et qu'à partir du point [x , y) on porte sur la courbe et sur sa tangente, prolongées dans le même sens, des longueurs égales et infiniment petites représentées par /. Si l'on appelle ^ la distance comprise entre les extrémités de ces deux longueurs, la distance fc^, comptée à partir de la tangente, aura pour projections algébriques sur les axes [voyei la page 97 ] des quantités de la forme
/, y désignant des quantités infiniment petites, et formera par conséquent avec les mêmes axes , prolongés dans le sens des coordonnées positives , des angles qui auront pour cosinus
D'ailleurs [en vertu du théorème établi à la fin de la ^.* leçon] la droite sur laquelle se comptera la distance 'd , sera sensiblement parallèle à la normale ; et , comme cette distance devra être portée, à partir de la tangente, du côté où se trouvera le centre de courbure, nous sommes en droit de conclure que les limites des expressions (15) seront équivalentes aux cosinus des angles A, /a,. Cela posé, en réduisant /
et y à zéro, et substituant au rapport -; — sa limite f, on aura
lo4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
(i6) / -^-^ = cos A , f-f^ — cos^-
Si i'on cessait de prendre l'arc s pour variable indépendante, il faudrait remplacer
'77~* ds^-
par
Alors les équations (i6) deviendraient
Si l'on multiplie membre à membre les formules (13) par les formules (16) ou (17), et si l'on ajoute les équations obtenues, en ayant égard, dans le cas où Ion emploie les formules (17), à l'équation (2), on se trouvera immédiatement ramené à la formule (12).
Dans le cas particulier où l'on prend l'arc s pour variable indépendante, on tire des équations (i 3) et (i 6) réunies à la formule (22) de la 6/ leçon
i^ , d^ X d x' -^ dy- ,, K — ^—r -JTT — -(d^.Y^^d^yy '^' ^ > , d\y d x^ -ï- dy"- "^ y — f' ~d^ {d^xf -^{d^-yY ^ y-
On arrive au même résultat en substituant, dans les équations (10), à dx et à — dy, les quantités d-y et d- x , qui leur sont respectivement proportionnelles en vertu de l'hypothèse admise [voyei la formule (21) de la 6.^ leçon ].
En réunissant les formules ( 1 ), (2) et ( i i ) , on obtient le système des équations
{^ — xY-h{^—yY = f'-,
i^9) { {^ — x)dx-i-{r—y)dy = o,
( ^ — .V ) ^* A- -f- {t — y) d-y — d x- — dy- = o ,
DU Calcul infinitésimal. 105
q[in suffisent pour déterminer en fonction de x les trois inconnues ^ , r et f. II est essentiel de remarquer que l'on retrouve la seconde et là troisième équation , lorsqu'on différencie la première et la seeonde , en opérant commet si les trois inconnues e'taient des quantités constantes.
Lorsque le point (**./) vient à se de'placer sur la courbe donnée) Ib ceiîfré de courbure se de'place en même temps. Si le premier point se meut d'une manière continue sur ia courbe dont il s'agît , ie second dqfrira une nouvelle courbe. Or , pour obtenir l'équation de cette d^r-nière, il suffira évidemment d'exprimer en fonction d'une seule variable^ .V, ou jf, ou s, Sec.»-. , les seconds membres des formules [6] ou (lo)/ puis d'éliminer cette variable entre les deux formules. L'équation résuI-< tant de l'élimination ne renfermera plus que les deux variables ^, r, et représentera précisément la ligne qui sera le lieu géométrique dâ tous les centres de courbure de la courbe donnée. Pour établir les principales propriétés de cette ligne, on diffi;renciera les formules (lo), ou, ce qui revient au même, les deux premières des équations (15). En opérant ainsi , et ayant égard à la remarque précédemment faite , on trouvera
(20J {x — ^)^^-4-{7 — n)dY\ ■=: fdf
eÉ (2 ij dx d^ -i^ dy dy^ =t ù.
Or il résulte de l'équation (21) [voyez ^^ 5-" ^eçon] que les tangentes menées à la courbe donnée par le point (.v, y) , et à la nouvelle courbe par le point {^,1), sont perpendiculaires entre elles. Donc le rayon dé ccfujbure , qui se compte sur la normale menée à la première courbe par le point {x,)i), et qui aboutit au point (^, >i), sera, en ce dernier point» tangent à la seconde courbe. De plus, si l'on nomme < l'arc de la nouvelle courbe compris entre un point fixe et le poiAt raobilâ' {^, ïi) , on aura
(22) d^' -H dv' ^=:di\
LeçoHs dt M. Caachy. i.« Année. O
lo6 APPLICATIONS GÉOiMÉTRIQUES
et l'on tirera des formules (2) et (21) combinées avec les formules (i)y {20) et (22) ,
\ jf I — X II — y p^ p
On trouvera par suite
(24) d f zi:z -àz. d 1^ , ou ^ (j^rp $) rz: o. Si l'on fait, pour plus de commodité ,
/ =p ç == -ar (.v) , on réduira l'équation (24) à
'Z3-'.(.v) = o ; puis, en désignant par A.v un accroissement fini attribué à la variable .V, par Aiïr(.v) l'accroissement correspondant de js rp c , et par Ô un nombre inférieur à l'unité, on tirera de la formule (8) de la 7.^ leçon de calcul différentiel
ù^'ar[x) ::=: -ar (.V -f- A x) — -zr (.v) = •ar'(.v-+-G Aa-) . Ax = o. On aura donc A (^zp $) :zzi o , ou
Il suit de l'équation (uj) que l'arc zizAç i-enfermé entre deux points de la nouvelle courbe équivaut à la différence des rayons de courbure qui aboutissent à ces deux points. Ajoutons que le signe placé devant la différence A$, dans l'équation (25), sera toujours celui qui
'de
précédera le rapport dans la fornnde (23) , et par conséquent celui
qui précédera les rapports ~ — '— ■> — — —■, dans lés deux équations
(26) 4^— d:: ^^--^ , ll^ — -±,lzzy^.
dç
Il en résulte [voyei les pages 10 et 80] que l'arc $ et le rayon de courbure y3 croîtront simultanément, si la tangente à la nouvelle courbe, étant prolongée dans le même sens que l'arc $ , coïncide , non pas avec le rayon/, mais avec le prolongement de ce rayon au-delà du point (^, r) , tandis que, dans l'hypothèse contraire, le rayon /venant à croître, l'arc $ diminuera. Cela posé ,- concevons qu'un fil inextensible, fixé par une de ses extrémités au point (^, v) , et d'une longueur égale à celle du rayon de courbure / , soit d'abord appliqué sur ce rayon ; puis , que le même fil , restant toujours tendu , vienne à se mouvoir de telle sorte qu'une partie s'enroule sur l'arc rtA^, compris entre les points (^, n)et (^-l-A^, n-|-Ari). L'autre partie, qui restera droite et touchera la nouvelle courbe au point (^-t-A^, :i-f-Aîi), aura évidemment la longueur du rayon de courbure qui aboutit à ce point ; et par conséquent celle des extrémités du fil qui coïncidait d'abord avec le point {x,y), se trouvera transportée au point (.vH-Aa,, y-\-Ay). Comme ce dernier point est situé sur ia courbe proposée , et que notre raisonnement subsiste quelle que soit la longueur de l'arc ± A $ , nous devons conclure qi\e le fil inextensible , pendant qu'il s'enroule sur la nouvelle courbe , décrit par son extrémité mobile la courbe donnée. La même courbe se trouvera encore décrite , mais en sens contraire, si, après s'être enroulé sur l'arc dt A ç , le fil se meut de manière à revenir à sa position primitive ; et , dans ce mouvement rétrograde, la portion du fil qui s'était appliquée sur l'arc ±A^, se développera de nouveau en ligne droite. De cette remarque dérivent quelques expressions employées généralement, et qu'il est bon de connaître. On appelle développée de la courbe proposée, la nouvelle courbe , dont les arcs se développent en ligne droite sur le rayon de courbure de la première. Au contraire , la première courbe , décrite par l'extrémité mobile du fil enroulé sur la seconde, est la développante de celle-ci.
Pour montrer une ap.plication des fijrmules ci -dessus établies , sup-
1q8 applications GÉOiMÉTRIQUES
posons qu'il s'agisse de trouver le lieu des centres de courbure de ia cycioïde représentée par le système des équations (20) [2/ leçon], ou, en. d'autres termes , la développée de cette courbe. Les formules (5) de la première leçon et (25) de la seconde fourniront l'équation
, , /?sinû) sin &i &■
tans 4/^= y ^^^ ^^^ zz: cot — »
à laquelle on satisfera en prenant (27) 4^ =^ — "'^■~*^
et désignant par ti un nombre entier quelconque. On aura par suite (a8) d-\>——^dcù,
et les formules [6) donneront
, . y dy d X
(2p) ^ = .v-H2^^, ,rzr^-2-^.
Si maintenant on substitue pour x , y, dx et dy , leurs valeurs tirées des
équations (20) et (24) [^-^ ieçoii], on trouvera
(jo) ^:=.v-t-2/?sina> = /?(6JH-sinw), fi^=—y=^—R{i — cos(i>).
Enfin , si l'on ^pose
(31) « rr: n H- vr , on obtiendra le système des formules
(32) l — vcR:i=zR[Q. — sma), r-H2/?r=:/?(i-cosa).
qui sera propre à représenter ia développée de la cycioïde. Cette développée passera évidemment par le point qui a pour coordonnées x-^izR , y=. — zR, et qui n'est autre chose que le centre de conrbure correspondant à l'ordonnée maximum de ia première branche. Si , afin
DU CALCUL INFINITESLMAL. 109
de transporter l'origiiTe à ce même centre, on remplace ^ par l-f-vr/?, et >i par n — iR, les équations (32) deviendront
(33) ^z=:R{Çl — s\v\^) , T-=: R[i — co?,£l).
Comme ces dernières sont toutes pareilles aux équations {20) de la deuxième leçon , nous devons conclure qu'une cycloïde a pour développée une autjie cycloïde de même forme et de mêmes dimensions , dont les points de rebroussemenf coïncident avec les centres de Courbure correspondans aux points milieux des diverses branches de la première. Ajoutons que les points de rebroussement de la première sont en même temps les points milieux des diverses branches de la seconde, et que, la seconde cycloïde étant représejitée par les formules (32) , sa base se confond avec la droite qui a pour équation
(34) y = —zR.
Il serait facile cTétablir les équations (30), en partant do principe établi dans la sixième leçon ^ savoir, que le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale > quand la base est prise pour axe des .v. En effet, en vertu de ce principe, le milieu du rayon de courbure, c est-àdire, le point qui a pour coordonnées
coïncide avec le point dans lequel la base est touchée par le cercle générateuï , et dont l'abscisse est R cù z=z x -{- Rs'mtù. On a donc les équation^
\ — nr .V -{-/^sin«, •=— — := o ,
desquelles on déduit immédiatement les formules {)o). On peut même, sans recourir à ces formules, et à l'aide du seul principe que nous venons de rappeler, déterminer la nature de la courbe qui sert de développée à la cycloïde. Pour y parvenir, décrivons avec le ravon R
j 1 o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
deux cercles égaux , qui aient leurs centres placés sur l'axe des y , l'un au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des x, et qui touchent ce dernier axe à l'origine des coordonnées. Concevons ensuite que l'on fasse rouler ces deux cercles, le premier sur l'axe des .v , le second sur la droite parallèle vz=z— ^R , de manière qu'ils ne cessent pas d'avoir l'axe des X pour tangente commune. Les rayons, qui, dans le premier instant, aboutissaient à l'origine des coordonnées, tourneront autour des centres des àçvi\ cercles et décriront en même temps des angles égaux; d'où il résulte, i ." que ces rayons seront toujours parallèles ; 2.° que la droite , qui joindra leurs extrémités , passera par le point de contact et sera divisée à ce point en deux parties égales. Or la partie comprise dans le premier cercle sera évidemment la normale de la cycloïde proposée que décrira l'extrémité du premier rayon. Donc le rayon de courbure de cette courbe, égal au double de la normale, coïncidera nécessairement avec la droite entière, et le centre de courbure avec l'extrémité du second rayon. Donc le lieu des centres de courbure, ou la développée de la même courbe, sera précisément la seconde cycloïde décrite par cette
extrémité.
Les équations (6) et (10), dont nous avons indiqué l'usage dans la recherche des développées , peuvent être remplacées par d'autres qui renferment seulement les quatre variables ^, r, .v et 7. En effet, soit
l'équation d'une courbe plane , u désignant une fonction des deux coordonnées -v, y. On tirera des formules (2) et (i i) , jointes aux équations
(26) et (27) de la leçon précédente ,
, y I — X n — y (I — x)d'x-\-[i\ — y)dy dx'-i-dy^
^j'-fdu\ ldu\ du j du . du . d- u , , d- u , ""
t) \Ty) Tx^'^^Ty'^y TJ'^'-17dy^^^y-^17^='
puis, en substituant aux différentielles
DU CALCUL INFINITESLMAL. T I i
les quantités
du du
dy ■> Jx '
qui leur sont respectivement proportionnelles, on trouvera
I du Y I û^" y-
^^7l ( du\ ( ^"\ ldu\^d'u du du d'- u l du y d' u
\"Zrj Xdy) \7^} 'dy- ^Txdydxdy \dy] d x-
Cette dernière formule équivaut à deux équations entre les coordonnées X ,y de la courbe que l'on considère et les coordonnées ^, >i de ia développée.
Lorsque dans l'équation (35) les variables s, y sont séparées, on a
et la formule (3 y) se réduit à
/ du Y I du Y / \ | — ^ "—7 \ <ix j \ dy I
/ du\ M" \ 1 <i'^ y d- u f du y d' u •
\d7) Vdj) \ dx 1 dy- ~^\d'y) dx'~
Pour obtenir la développée de la courbe (35), il suffit évideminent d'éliminer .v et y entre l'équation (35) et celles qui sont comprises dans la formule i^y) ou (39). Dans plusieurs cas, il est facile de résoudre les deux dernières équations par rapport aux variables .v, y , et d'en déduire les valeurs de ces variables exprimées en fonction des coordonnées ^, r. Alors, en substituant ces valeurs dans l'équation (35), on trouvt immédiatement l'équation de la développée.
//''Exemple. Concevons que , les constantes a, h étant positives, on considère l'ellipse représentée par l'équation
Mo) ■f-Hi- = ,.
Dans ce cas particulier , on pourra prendre
qf ion tn conclura
du !( du y
dx ~ * dy b"- '
IIF' ^â»~' dy^ '~ h-
On afira par suîîe
/du y- d'u , (du Y du: ' / "" ... y\ — __!
et l^ formule (35?) donnera Ort tirera de cette dernière
puis, en désignant par A et B des quantités positives, choisies de .manière à vérifier la formule
oi; tjotivera
câli ce qui revient au même ,
'Si rDâlntenant on substitue dans i'équation (4o) les valeurs de — et de -^ tirées des formules [4^), on obtiendra une équation entre les seules
DU CALCUL INFINITÉSIMAL. I i 3
variables ^, m, savoir,
Cette équation , qui représente la déveioppée de l'ellipse , peut être facilement transformée de manière à ne plus renfermer que des puissances entières des variables. En effet , après avoir élevé chacun des deux membres à la troisième puissance, on en tirera
et par suite
On conclut aisément de l'équation [4-^) ou {44) ^"^ ^^ déveioppée de l'ellipse est une courbe fermée , divisible en quatre parties superposables par deux axes qui coïncident, comme ceux de l'ellipse, avec les axes coordonnés, et qui rencontrent cette développée en quatre points dont les distances à l'origine sont A et B. Ajoutons que chacune des parties de la développée touche les axes en les rencontrant, et qu'en conséquence chacun des points de rencontre est un point de rebroussement de cette courbe.
2.' Exemple. Considérons l'hyperbole représentée par l'équation (45) ^-f=±,.
En opérant comme dans l'exemple précédent, et désignant par A, B deux quantités positives choisies de manière à vérifier la formule
on reconnaîtra que l'équation de la développée se réduit à
Leçons de M. Cauchy. i .'° Année. p
ou , ce qui revient au même , à
,48) [,^(ll^)]>^.7ll.^.
On conclut aisément de la formule (47) ou (48) que la développée de l'hyperbole est une courbe qui s'étend à l'infini , qui se trouve divisée en quatre parties semblables par les axes coordonnés, et qui se compose de deux branches séparées , dont chacune a un point de rebroussement situé sur le prolongement de l'axe réel xa ou zh de l'hyperbole, à la distance A ou à la distance B de l'origine.
j/ Exemple. Concevons que, la constante p étant positive, on considère la parabole représentée par l'équation
(49) y' = 2px.
Dans ce cas on pourra prendre
u=-^{2px—y^), et l'on en conclura
ti u du
= P' ■-jir — —y'
dx ^ ' dy
Par suite, la formule (35)) donnera
On aura donc
ou, ce qui revient au même.
l—p^ix,
Les valeurs de .v et de y, tirées de ces deux dernières formules, sont respectivement
En substituant ces valeurs dans l'équation (4p), et supprimant le facteur p commun aux deux membres, on trouvera
L'équation (5 i), qu'on peut aussi mettre sous ia forme
appartient à la développée de la parabole. Il est facile de reconnaître que cette développée s'étend à l'infini du côté des .v positives, qu'elle a pour axe l'axe de la parabole, et qu'elle rencontre cet axe, en le touchant, au point dont l'abscisse est p. Ce point, qui se trouve placé à la même distance du foyer que le sommet de la parabole , est tout à-lafois le sommet de la développée , et le seul point de rebroussement qu'elle présente. Si, afin de transporter l'origine au point dont il s'agit, on remplace ^ par ^-f-/> dans la formule (5 1) ou (52), on en tirera
et
Les équations (53) et (54) étant comprises comme cas particuliers dans les formules (44) de la 5 .^ leçon, il en résulte que toute parabole du second degré a pour développée une autre parabole du degré — ou — ■
1 i 6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
