HUITIÈME LEÇON

Sur les Courbes planes qui sont Osculatrices l'une de l'autre en un

point donné.

On dit que deux courbes planes sont osculatrices l'une de l'autre en un point qui leur est commun, lorsqu'elles ont en ce point, non-seulement la même tangente, mais encore le même cercle osculateur, et par conséquent la même courbure avec leurs concavités tournées dans le même sens. Alors le contact qui existe entre les deux courbes prend le nom d'osculatioii. Cela posé, on établira facilement la proposition suivante.

I,*'' Théorème. Concevons que deux courbes planes soient représentées par deux équations entre les coordonnées rectangulaires x , y , et que l'on prenne l'abscisse x pour variable indépendante. Pour que les deux courbes soient osculatrices l'une de l'autre en un point commun correspondant â l'abscisse X, il sera nécessaire et il suffira que l'ordonnée y , relative à cette abscisse , et les dérivées de y, du premier et du second ordre, c'est-à-dire, les trois quantités

conservent, dans le passage d'une courbe a ï autre , les mêmes valeurs numériques et les mêmes signes.

Démonstration. En effet, si ces conditions sont remplies, les deux courbes auront évidemment un point commun correspondant à l'abscisse X. De plus, on conclura de l'équation (5) [ i/* leçon] que les deux

DU CALCUL INFINITESIMAL. I i j

coui-bes ont la même tangente, de l'équation (5) \6.^ leçon] qu'elles ont le même rayon de courbure, et de la remarque faite à la page 73 , qu'elles ont leurs concavités tournées du même côté. Réciproquement , si les deux courbes sont osculatrices l'une de l'autre au point dont l'abscisse est x , non-seulement les quantités y , y et le signe de y' devront rester les mêmes dans le passage d'une courbe à l'autre , mais il est clair qu'on pourra encore en dire autant du rayon de courbure f , et par suite, de la valeur numérique de /",

Concevons maintenant que, y' et /' représentant toujours des dérivées relatives à la variable .v , on désigne par

les différentielles de .v et y , du premier et du second ordre , prises par rapport à une nouvelle variable r considérée comme indépendante. On aura [voyei, dans le calcul différentiel, les formules (p) de la 12.^ leçon ]

di^]

, s. I dy II \ dx I dxd'y — dy d^x

^~' y "Z7' y dx — 17^ '

Supposons , pour fixer les idées , que la caractéristique S indiquant une fonction quelconque , la variable indépendante r soit liée aux variables s, y par une équation de la forme

En différenciant cette équation deux fois de suite , on trouvera

dâ{x,y) dx d4[x,y) dy

Or, on déduira sans peine des formules (2) et (4) les valeurs de

dy d r

dHx,

dr'

dS{x.y) d'y dy d r'

d'gix,

dx'

,y) dx'

dr'

^ d^^{x,y) dx dxdy dr

' dr'

1 I 8 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

dx dy d^ X d- y

exprimées en fonction des quantités

, „ dH^-y) d3{x,y) d^§{x,y) d'S{x,y) d-ê{x,y) .

y>y' dx ' dy ' dx^ '' dx dy ' dy-

et , puisque ces quantités conserveront les mêmes valeurs relatives au point d'osculation de deux courbes planes dans le passage d'une courbe à l'autre, il est clair qu'on pourra en dire autant des expressions (5).

Si l'on veut prendre pour variable indépendante le rayon vecteur mené de l'origine au point {x,y), les équations (j) et (4) deviendront respectivement {6) r—y'ix^-^y-),

X dx y dy

\ d^ X y d" y l ( dx dy

r' \y dr dr I

T dr"" r dr"^

et l'on tirera des formules (7) réunies aux formules (2) et (3)

dx /(x^-l-j') dy y' V{x^ -^-y^)

dr ^-t-77 ^"^ ^-*-/^

^ d^-x {y-xy'Y^yy"[>c^-^y') £y /'f/— v')'-^y'(^'-H/')

dr^ (x-H//)' dr"" {^-H//')'

Rien n'empêche , dans ce qui précède , de supposer la variable rz=i^[x , y) réduite à l'une des coordonnées x , y. Si l'on suppose, par exemple, r -=. x , les expressions (5) deviendront

I , y , o , y , et Ton se trouvera immédiatement ramené au premier théorème.

Quand on prend pour variable indépendante l'arc s renfermé sur chaque courbe entre un point fixe et le point mobile [x, y) , et quand on suppose cet arc compté de manière qu'il se prolonge dans le même

DU CALCUL LNFINITESLMAL. i 19

sens pour les deux courbes au-delà du point de contact , alors les équations (4) doivent ctre remplacées par les suivantes

(p) dx^ -\- dy- zzz ds' , dx d' X -+- dy d- y rzz o.

En combinant ces dernières avelî les équations (2), on obtient les formules

ds' ■■ (i H j,'a)2 '

ds^ (i-+-/'^r

le double signe dtz devant être réduit au signe -\- , toutes les fois que l'arc s croît avec l'abscisse x , et au signe — , dans le cas contraire. En ayant égard à cette remarque, on conclura des formules (10) et du théorème i.^"" que, pour un point d'osculation de deux courbes planes, les quatre quantités

/ V d X d y d' X d' y (il) ^' -^' ^-r-> ^-

conservent les mêmes valeurs numériques et le même signe, tandis que l'on passe de la première courbe à la seconde.

Lorsqu'on se propose de décider si un point commun à deux courbes planes est un point d'osculation , on peut, sans inconvénient, substituer aux fractions (5) ou (i i) les numérateurs de ces mêmes fractions, c'està-dire , les différentielles (l 2) dx , dy , d- X , d- y ;

et l'on établit de cette manière la proposition suivante.

2.^ Théorème. Deux courbes planes étant repre'sente'es par deux équations entre les coordonnées x , y , pour savoir si ces deux courbes sont oscuîatrices l'une de l'autre en un point donné , il suffira de prendre pour variable indépendante, ou une fonction déterminée des variables x,y , ou l'arc- s compté sur chaque courbe , à partir d'un point fxe , et d'examiner si , pour le point donné , les mêmes valeurs de

(13) X , y , dx , dy , d'- X , d"- y

peuvent être tirées des équations des deux courbes.

Si, dans le théorème i ou 2, on suppose la seconde courbe réduite à un cercle dont l'équation soit de la ^x\wq (i4) [x-lY-^[y—,Y-=zf,

les conditions propres à exprimer que le point {x , y) est un point d'osculation suffiront pour déterminer le rayon du cercle et les coordonnées du centre, c'est-à-dire, les trois inconnues ^ , n et ^. En effet, si l'on prend x pour variable indépendante, les valeurs de /, y , y" tirées de l'équation finie de la première courbe et de ses équations dérivées devront satisfaire , en vertu du théorème i ."" , à l'équation finie du cercle et à ses équations dérivées du premier et du second ordre, c'està-dire , aux trois fi)rmules

Lorsqu'on déduit de ces dernières formules les valeurs des trois inconnues ^, n et ^ , on retrouve, comme on devait s'y attendre , l'équation (5) de la sixième leçon, et les équations (8) de la septième.

Si l'on cessait de prendre x pour variable indépendante , alors l'équation finie du cercle et ses deux équations différentielles du premier et du second ordre pourraient être présentées sous la forme

j (-v — ^r-t-(/ — >i)^ = /, (16) I (.V — 'i^)dx~\-{y — r^)dyz=.o,

( (.Y — %)d-x-\-{y — fs) d^ y ->r- dx'- -^- dy- ^z. o ,

et devraient être vérifiées par les valeurs de .v, y, dx , dy, d"- x , d'- y tirées des équations de la première courbe. II importe d'observer que les formules (i-6) qui suffisent pour déterminer les valeurs des inconnues ^ , vi ei f , c'est-à-dire , les coordonnées du centre de courbure , et le rayon de courbure , coïncident avec les formules ( ip) de la septième leçon.

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