NEUVIÈME LEÇON

Sur les divers Ordres de contact des Courbes planes.

Considérons deux courbes planes qui se touchent en un point donné. Si du point de contact comme centre, et avec un rayon infiniment petit, désigné par /, on décrit une circonférence, elle coupera les deux courbes en deux points très-voisins l'un de l'autre, et le rapprochement plus ou moins considérable des deux courbes, à la distance i du point de contact, aura évidemment pour mesure ia distance infiniment petite comprise entre les deux points dont il s'agit , ou , ce qui revient au même , la corde de l'arc de cercle renfermé entre les deux courbes. Ajoutons que les rayons menés aux extrémités de cet arc seront dirigés suivant des droites qui formeront des angles très -petits avec la tangente commune , d'où il résulte que l'angle compris entre ces rayons sera lui -même une quantité très -petite. Soit u ce dernier angle. L'arc de cercle compris entre les deux courbes aura pour mesure le produit {0 i Où ,

et la corde de cet arc sera équivalente à

(2) 2 i sin

Si les deux courbes changent <le forme, de telle manière que, se touchant toujours au point donné, elles se rapprochent davantage l'une de l'autre dans le voisinage de ce point, les valeurs de l'expression (2) correspondantes à de très -petites valeurs de / diminueront nécessaire-

Liioas de AL Cauchji, i ."^ Année. q

ment, ce qui- suppose que la fonction de /, représentée par u diminuera elle-même. Si au contraire, en vertu du changement de forme, le rapprochement des deux courbes devient moindre , les valeurs de « correspondantes à de très-petites valeurs de;, croîtront nécessairement. On peut donc affirmer que, dans lé voisinage du point de contact, le rapprochement des deux courbes sera plus ou moins conside'rable , et leur contact plus ou moins intime , suivant que les valeurs de cù correspondant à de très - petites valeurs de i seront plus ou moins grandes. Ce principe étant admis, il fiiut évidemment, pour se former une idée des diverses espèces de contact des courbes planes , rechercher les divers états de arandeur dans lesquels peut se trouver l'angle infiniment petit u , considéré comme fonction du rayon /, Pour y parvenir, il est d'abord nécessaire de généraliser la définition que nous avons donnée de l'ordre d'une quantité infiniment petite, dans l'addition placée à la suite des leçons sur le calcul infinitésimal.

Désignons par a un nombre constant, rationnel ou irrationnel; par / une quantité infiniment petite, et par k un nombre variable. Dans le système de quantités infiniment petites dont / sera la base , une fonction de /', représentée par /(/'), sera un infiniment petit de l'ordre a, si la limite du rapport

est nulle pour toutes les valeurs de k plus petites que a, et infinie pour toutes les valeurs de k plus grandes que a.

Si l'on adopte cette définition , et si l'on désigne par /; le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à l'ordre de la quantité infiniment petite f{i), le rapport

fin

i" sera le premier terme de la progression géométrique

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. l 2 3

qui cessera d'être une quantité infiniment petite; doù l'on conclut, en raisonnant comme dans l'addition ciice, que /'"'(/) sera la première des fonctions

qui cessera de s'évanouir avec /".

Quant au rapport ^

que l'on déduit de l'expression (3) en posant k:z:zd, il peut avoir une limite finie, ou nulle, ou infinie. Ainsi, par exemple,

sont trois quantités infiniment petites de l'ordre a , et les quotiens qu'on obtient en les divisant par i'^ , savoir,

ont pour limites respectives

I , o , et -i-.

Cela posé, on établira sans peine les propriétés des quantités infiniment petites , et en particulier les différens lemmes que nous allons énoncer.

Lemme i. Si, dans un système (juelcoiitjue , l'on considère deux quantite's infiniment petites d ordres différens , pendant que ces deux quantités s'approcheront indéfiniment de léro , celle qui sera d'un ordre plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.

Démonstration. Concevons que, dans le système dont la base est i , l'on désigne par I=.f[i) et par J::=.F[i) deux quantités infiniment

petites, la première de l'ordre a, la seconde de l'ordre b; et supposons a<b. Si l'on attribue au nombre variable k une valeur comprise entre a et l) , les deux rapports

auront pour limites respectives, le premier -^ , le second, zéro; et par suite, le quotient de ces rapports, ou la fraction

aura une limite nulle. Donc la valeur numérique du numérateur J décroîtra beaucoup plus rapidement que celle du dénominateur /, et cette dernière finira par devenir constamment supérieure à l'autre.

Lemme 2. Soient a, h, c ... les nombres qui indiquent, dans un système déterminé , les ordres de plusieurs quantités infiniment petites , et a le plus petit de ces nombres. La somme des quantités dont il s'agit sera un infiniment petit de l'ordre a.

Démonstration. Soit toujours / la base du système adopté. Soient de plus /, J , &c. . . . les quantités données, la première de l'ordre a , la seconde de l'ordre b, &c. . . . Le rapport de la somme /-l-7-f-&c. . . à la quantité l, savoir,