/ J IJ
Il en résulte évidemment que le rapport
IJ
aura une limite nulle pour k -^1 <a-\-b , et une limite infinie pour j^4/>^4-(^. Donc le produit IJ sera une quantité infiniment petite de l'ordre a-^b.
Nota. Si l'un des facteurs /, J se réduisait à une quantité finie et
cessait de s'évanouir pour / zn o , le produit serait évidemment du
même ordre que l'autre facteur.
Corollaire. Dans un système quelconque, le produit de plusieurs quantités infiniment petites dont les ordres sont désignés par a, h, c, ... est une autre quantité infiniment petite de l'ordre a-{-h -k-c-\- . . .
Lemme 4- ^' ^''^'^ quantités infiniment petites sont telles que , lu première e'tiVit prise pour hase , la seconde soit de l'ordre a , et que , la seconde étant prise pour hase , la troisième soit de l'ordre h , celle-ci , dans le système qui a pour base la première , sera cfun ordre équivalent au produit ab.
Démonstration. Soient /, I et. J les trois quantités données; en sorte que les deux rapports
aient des limites nulles quand on suppose à-la-fois k< a , l <h , et des limites infinies quand on suppose à-la-fois k>a, l > b. 11 est clair que le produit
aura une limite nulle dans la première hypothèse, et une limite infinie dans la seconde. Il est aisé d'en conclure que le rapport
aura une limite nulle pour kl<ab, une limite infinie pour kl>ab; et par suite, que, si l'on prend / pour base, J sera \\\\q quantité infiniment petite de l'ordre ab.
Corollaire i." Le rapport entre les ordres de deux quantités infiniment petites J tt I reste le même , quelle que soit la hase du système que l'on adopte, et ce rapport est équivalent au nombre b , qui indique l'ordre de la première quantité, quand on, prend pour base la seconde. Donc, si, après avoir déterminé pour une certaine base les ordres de
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. I 27
plusieurs quantités infiniment petites, on vient à changer de base, les * nombres qui indiquent ces divers ordres croîtront ou décroîtront tous à-Ja-fois dans un rapport donné.
Corollaire 2/ Si l'on suppose, dans le lemme 4> que la quantité /
se réduise à la quantité /' , on aura évi<Iemment ahznz i , b ^=::
Donc, si, dans le système dont la base est /, la quantité / est un infiniment petit de l'ordre a, i sera de l'ordre — dans le système qui
aura pour base la quantité /. Ainsi, par exemple, lorsque /, considéré, comme fonction de /, est un infiniment petit du premier ordre, on peut en dire autant de i considéré comme fonction de /.
Le second corollaire , réuni au premier , entraîne évidemment le suivant.
Corollaire j.' Si deux quantités infinimeiit petites sont telles que,
l'une étant prise pour base, l'autre soit du premier ordre, le nombre
• qui exprimera l'ordre d'une quantité quelconque restera le même dans
les deux systèmes qui auront pour base les deux quantités données.
En revenant aux deux courbes que nous avons déjà considérées, on
(déduira immédiatement du lemme i .^'' et du principe établi à la page 2, la proposition suivante :
1." Théorème. Si deux courbes se touchent en un point donne' [P], et ^ue l'on marque sur ces deux courbes deux points [Q) , [R] , situe's a la distance infiniment petite i du point de contact , le rapprochement entre les deux courbes , dans le voisinage de ce dernier point , sera d'autant plus considérable que l'ordre de la quantité infiniment petite u , destinée a représenter f angle compris entre les rayons P Q, PR , sera plus élevé.
Démonstration. En effet , si la forme des deux courbes ou de l'une d'entre elles vient à changer, de telle manière que l'oidre de la quantité infiniment petite cù s'élève, la valeur numérique de co , dans le voisinage du point de contact, diminuera, en vertu du lemme i,", et par
suite ie rapprochement entre les deux courbes deviendra plus grand
qu'il n'était d'abord.
Le théorème i .^'' étant démontré, il est naturel de prendre l'ordre de la quantité infiniment petite où , considérée comme fonction de la base /., pour indiquer ce qu'on peut appeler {'ordre de contact des deux courbes planes. Soit a cet ordre. Puisque le rapport
a l'unité pour limite, le produit
sin -j ffl . &)
u — ; ::=r 2 sin —
sera encore une quantité infiniment petite de l'ordre a , tandis que les expressions (i) et (2) seront, en vertu du lemme 3 , des quantités infiniment petites de l'ordre a~\- i. On peut donc énoncer la proposition suivante :
2.^ Théorème. Lorsque deux courbes se touchent en un point donne' [P] , l'ordre du contact est inférieur d'une unité a l'ordre de la quantité infiniment petite qui représente la distance entre deux points [Q) , {P), situés sur les deux courbes , également éloignés du point de contact, et dont la distance à ce point est un infniment petit du premier ordre.
II importe d'observer que la droite QR menée du point [Q) au point (/?), étant la base d'un triangle isocèle, et opposée dans ce triangle au très-petit angle co , sera sensiblement perpendiculaire aux rayons vecteurs P(2 , FR , et par suite à la tangente commune aux deux courbes.
Concevons maintenant que par les points [Q) et (/?) on mène deux droites parallèles dont chacune fi)rme avec la tangente commune un angle fini A De ces deux parallèles , l'une se trouvera plus rapprochée que l'autre du point de contact. Supposons, pour fixer les idées, que ce soit la droite menée par le point [Q) pris sur la première courbe,
DU CALCUL LNFINITÎSLMAL. 129
et que cette droite coupe la seconde courbe en [S). Dans fe triangle QRS , le côté RS, sensiblement parallèle à la tangente commune , puisqu'il représentera une corde dont les extrémités situées sur la seconde courbe seront très-voisines du point de contact, formera évidemment avec les côtés <9 A' , QS, des angles finis, dont le premier différera très-peu d'un angle droit , et le second de l'angle J^. Qn aura donc, en désignant par / et J des quantités infiniment petites ,
sin(-f-H/) • sin(^-f-/) ^
De plus , comme le rapport entre la perpendiculaire abaissée du point {P) sur la droite QS , ou sur son prolongement, et le rayon vecteur
PQz=:i, sera sensiblement égal à cos (-^ J\jz=sin J^, cette perpendiculaire pourra être représentée par un produit de la forme (8) /(sin^Aztê),
iz £ désignant encore une quantité infiniment petite. Cela posé, admettons que, les deux courbes ayant entre elles un contact de l'ordre û, l'on considère le rayon vecteur /comme infiniment petit du premier ordre. Il est clair que l'expression (8) sera encore un infiniment petit du premier ordre, tandis que l'expressioii (7) sera de l'ordre û-i-i. Ajoutons que l'ordre de cette dernière ne variera pas \voyez le 3.^ corollaire du lemme 4 ] si l'on prend pour base l'expression (8), ou une quantité telle que l'expression (8) reste infiniment petite du premier ordre. Ces remarques suffisent pour établir un nouveau théorème que nous allons énoncer.
3 .^ Théorème. L'ordre de contact de deux courbes /jiii se touchent eu un point donne' [P) est inférieur d'une unité' à l'ordre de la distance infitiiment petite comprise entre les points ((2). [■S), où les deux courbes sont rencontre'es par une sécante qui forme un angle fini et sensiblement digèrent Ae léro avec la tangente commune , dans tout système où la distance du
Leçons Je M. Cauchy. i ."^ Année, p
1^0 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
point de contact a la sécante dont il s'agit est un infiniment petit du premier ordre.
Si les deux courbes sont représentées par deux équations entre des coordonnées rectangulaires x , y , et si la tangente commune n'est pas parallèle à l'axe des y , alors, en supposant la sécante parallèle à ce même axe, on déduira du théorème 3 la proposition suivante :
4.* Théorème. Pour obtenir l'ordre de contact de deux courbes planes ^uî se touchent en un point où la tangente commune n'est pas parallèle à l'axe des y , il suffit de mener une ordonnée très-voisine du point de contact , et de chercher le nombre qui représente l'ordre de la portion infiniment petite d'ordonnée comprise entre les deux courbes , dans le cas où l'on considère la distance du point de contact à l'ordonnée comme infiniment petite du premier ordre. Ce nombre , diminué d'une unité , indique l'ordre de contact.
Corollaire //'' Soient
les équations des deux courbes planes. Elles auront un point correspondant à une valeur donnée de .y, et en ce point une tangente commune, non parallèle à l'axe des 7, si, pour la valeur donnée de x , \q?> équations des deux courbes fournissent des valeurs égales et finies , non-seulement de l'ordonnée y , mais encore de sa dérivée y , en sorte que les équations
et
soient vérifiées, et que les deux membres de chacune d'elles conservent des valeurs finies. Dans cette hypothèse , la différence
(la) F{x)-f{x),
qui s'évanouira pour la valeur de v relative au point commun, deviendra infiniment petite quand ,v recevra un accroissement infiniment petit;
DU CALCUL INFINITESL\L\L. I 3 i
et si I on considère cet accroissement comme étant du premier ordre , l'ordre de la quantité infiniment petite qui représentera la nouvelle valeur de F{x) — f{x), surpassera d'une unité l'ordre de contact des deux courbes.
Corollaire 2.^ Si les deux courbes se touchent en un point de l'axe des/, mais sans avoir cet axe pour tangente commune, il suffira, d'après ce qu'on vient de dire, pour déterminer l'ordre du contact, de chercher le nombre qui indiquera l'ordre de la différence
en considérant l'abscisse .v comme une quantité infiniment petite du premier ordre, et de diminuer ce nombre d'une unité. En opérant ainsi , on reconnaîtra que les paraboles
ont à l'origine des coordonnées un contact du premier ordre , tandis qu'au même point les deux courbes
(i4) 7 = A-"-, /zr^.v"-^
auront un contact de l'ordre ;; , et les deux courbes
(15) j = .vS y^zzx^,
un contact de l'ordre -\ i !=:-{-.
Corollaire ^.' Supposons que les courbes (p) aient un point commun correspondant à l'abscisse .v, et en ce point june tangente commune non parallèle à l'axe des y . avec un contact de l'ordre a. Soit d'ailleurs n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a, La différence
sera nulle ; et si l'on désigne par i un accroissement infiniment petit
du premier ordre attribué à l'abscisse x , l'expression
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
{ï6) Fix-^})—f{x-^-i)
sera [en vertu du corollaire i-^'], un infiniment petit de l'ordre <2-|-i. Or, les dérivées de cette expression par rapport à / étant respectivement
il résulte de ce qui a été dit ci-dessus [page 4] que
F'"-^'^{x-hi) —/*'""*■ "(.v + O
sera la première des expressions
^(^'-^')-/(-v+'). r(.v+/)-/'(^^-0. fix-^o-fix-^i), &c...
qui cessera de s'évanouir avec /. En d'autres termes ,
sera la première des différences
qui obtiendra une valeur différente de zéro. On aura donc pour le point commun
(17) F{x)=f{x) , F'ix)=:/'{X) . F"{x)=r{x) , ... F^''-'{x)=:f-'{x).
Par conséquent , lorsque deux courbes se touchent en un point où la tangente commune n'est pas parallèle à l'axe des y, non -seulement pour le point dont il s'agit l'ordonnée y et sa dérivée / ne changent pas de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde, mais il en est encore de mêi^ie des dérivées successives y", y" , ... , jusqu'à celle dont l'ordre coïncide avec le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à l'ordre du contact.
Corollaire ^.' Si , les deux courbes ayant un contact de l'ordre a, la tangente commune devenait parallèle à l'axe des y, alors , en attribuant à l'abscisse du point de contact un accroissement infiniment petit du premier ordre , on ne trouverait pas généralement pour la valeur cor-
respondante de la différence -^(v)— /(.v) un infiniment petit de l'ordre <ri H- I . Néanmoins on pourrait encore déterminer l'ordre du contact par la méthode dont nous avons fait usage, pourvu que l'on substituât la variable j à la variable .v, et réciproquement. Ainsi, par exemple, pour montrer que les deux courbes
(18) y = xU }'=x',
qui touchent à l'origine de l'axe des /, ont en ce point un contact de l'ordre -^ , il suffira d'observer que leurs équations, résolues par rapport à .V , prennent tes formes
et que la différence ^+ — y' est un infiniment petit de l'ordre
quand on considère y comme un infiniment petit du premier ordre» Quant à la différence F{x)~-f[x), elle se réduit, dans cet exemple, à
et lorsque l'on considère x comme un infiniment petit du premier ordre, elle est une quantité infiniment petite, non plus de l'ordre—» mais
de l'ordre — seulement.
Corollaire jj Lorsque la tangente commune n'est pas parallèle à l'axe des/, et que l'ordre de contact est un nombre entier, il suffit, pour déterminer cet ordre , de chercher quelle est la dernière des équations
(ip) f{x)=.F[x),f'[>c) = F'{x), f"{x) = F"{x), &c...
qui se trouve vérifiée par l'abscisse du point de contact. L'ordre des dérivées comprises dans cette dernière équation sera précisément le nombre demandé.
jW ■ APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Pour établir le 3.^ théorème, il n'est pas nécessaire de supposer que la sécante menée à une distance infiniment petite du point de contact des deux courbes données reste parallèle à elle-même pendant que cette distance diminue; il suffit que l'angle formé par cette sécante avec la tangente commune ne devienne pas infiniment petit et converge vers une limite finie différente de zéro. C'est ce qui arrivera , par exemple , si la sécante dont il s'agit passe par les extrémités de deux longueurs éc^ales et infiniment petites portées sur les deux courbes à partir du point de contact. Dans ce cas particulier, l'angle fiarmé par la sécante avec la tangente commune aura pour limite un angle droit. Il est aisé d'en conclure que la distance du point de contact à la sécante sera un infiniment petit du même ordre que chacune des longueurs ci -dessus mentionnées. Cela posé, on déduira immédiatement du 3.^ théorème la proposition suivante :
5.^ Théorème. Pour obtenir l'ordre de contact de deux courbes tjui se touchent en un point donne', il suffit de chercher le nombre qui représente l'ordre de la distance infiniment petite comprise entre les extrémités de deux longueurs égales portées sur les deux courbes a partir du point de contact , dans le cas oïl ces mêmes longueurs deviennent infiniment petites du premier ordre. Le nombre dont il s'agit , diminué d'une unité , indique toujours l'ordre du contact.
Corollaire i." Soit / la quantité infiniment petite qui représente chacune des deux longueurs. Désignons en outre par x,y Q\.^,-t\ les coordonnées des points auxquels ces longueurs aboutissent sur la première et la seconde courbe, et par
(20) ^—^{[x-lY^[y-^Y-\
la longueur de la droite menée du point (^,1) au point {x,y). Si l'on considère i comme un infiniment petit du premier ordre , et si l'on appelle a l'ordre de contact des deux courbes, la distance is', comprise entre les deux points {^x,y) et (^, >i) , sera [en vertu du 5.^ théorème]
DU CALCUL INFINITÉSIiMAL. I^^
un infiniment petit de l'ordre u -+~ \ . Par suite, le carré de cette distance , ou la somme
sera un infiniment petit de l'ordre 2[a-{-i); ce qui exige que les deux diffcrences
soient de l'ordre û-i-i ; ou que du moins l'une soit de cet ordre, l'autre étant d'un ordre plus élevé. On arriverait à la même conclusion en observant que les valeurs numériques des expressions (22) représentent les projections de la distance i< sur les axes des x et des y. En effet , il est aisé de reconnaître c^uu/ie distance wjiiiimeiit petite et ses projections sur les axes coordonne's sont en général des quantités de même ordre. Seulement , l'ordre de la projection sur l'un des axes peut surpasser l'ordre de la distance , dans le cas où celle-ci devient s.nsihlement parallèle à l'autre axe. Mais il est clair que cette dernière condition ne saurait être remplie à-la- fois pour les deux axes des .v et des y.
Corollaire 2.' Conservons les mêmes notations que dans le corollaire précédent. Soit toujours a l'ordre de contact des deux courbes données , et désignons par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à a. Puisque, la quantité / étant regardée comme infiniment petite du premier ordre, les deux différences
doivent être Tune et l'autre de l'ordre a~\-\ , ou l'une de cet ordre eé l'autre d'un ordre plus élevé, il résulte de ce qui a été dit ci -dessus [page 4] que, si l'on prend / pour variable indépendante, les expressions
y ^' di ' di^ *■ •• dT^
s'évanouiront avec / , tandis que chacune des dérivées
ou du moins l'une d'entre^lies, cessera de s'évanouir pour irzo. Soient d'ailleurs j et 4 les arcs renfermés, i." entre un point fixe de la première des courbes données et le point mobile {x,)') ; 2.° entre un point fixe de la seconde courbe et le point (^, n). Comme les trois variables i , s et ç différeront entre elles de quantités constantes, on aura
(25) di z= ds :=: dç. ;
et l'on pourra prendre pour variable indépendante , quand il s'agira de la première courbe , s au lieu de i ; quand il s'agira de la seconde courbe, ç au lieu de /- Cela posé, les expressions (23) et (24) deviendront respectivement
et
y dx dl d'x d--l d' X ^^
■^ *~ ^ ' ~dl lu ' ~T7 dç- ' ~d7~ d ç" '
d y dn d' y d^ >t d' y d" rt
•' ds d i ds^ ds d ç
(^7) ds'*' " dç"*' ' d s"*' d ç"*'
En éo^alant les expressions (26) à zéro, on formera les équations
^ dl dx d'I d'-x d" l d^
j ^~^'1l1 — TT'' TF 77"' d c ds'
