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qui devront toutes se vérifier pour le point de contact des courbes proposées, tandis que, pour le même point, chacune des expressions (27), ou au moins l'une d'entre elles, obtiendra une valeur différente de zéro. Si maintenant on observe qu'on peut , sans inconvénient « substituer , quand il s'agit de la seconde courbe , les ieUres x , y et s

DU CALCUL INFINITESIMAL. i ^ 7

aux lettres ^, v) et <;, on arrivera immédiatement au théorème que nous allons énoncer.

6.^ Théorème. Etant proposées deux courbes (jiii se touchent en un point, si l'on considère les coordonnées x, y de chacune d'elles comme des fonctions de l'arc s pris pour variable indépendante , et si l'on suppose cet arc compte' de telle manière qu'il se prolonge dans le même sens pour les deux courbes au-delà du point de contact , non-seulement , pour le point dont il s'agit , les

variables x , y, et leurs dérivées du premier ordre —^> —-— ne changeront

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pas de valeurs dans le passage de la première courbe h la seconde , mais il

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en sera encore de même des dérivées successives -;— •> -, — 5 ... ----, — ->...

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jusqu'à celles dont l'ordre sera indiqué par le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à l'ordre du contact. Celles-ci seront les dernières qui rempliront la condition énoncée ; en sorte que les deux suivantes , ou au moins l'une des deux, changeront de valeur, quand on passera d'une courbe à l'autre.

Corollaire iJ^ Si les deux courbes ont entre elfes un contact de l'ordre n, n désignant un nombre entier quelconque, alors, dans le passage de la première courbe à la seconde, chacune des quantités

conservera la même valeur pour le point de contact , tandis que chacune des deux dérivées