TT

ou au moins l'une des deux, prendra une valeur nouvelle. Corollaire 2.' Soit -

(31) r=Hx,y)

Ltfons de Al, Cauchy. i ." Année. g

ds ' dy

ds^ ' '■•■

• • • ds"

• • ' ds"

] ^ 8 APPLICATIONS GEOMETRIQUES

une. fonction quelconque des deux variables x , y. Si ion considère ces variables elles-mêmes comme des fonctions de s , propres à représenter les coordonnées de la première ou de la seconde courbe, r deviendra pareillement fonction de s , et l'on trouvera

dr d^{x,y) dx d^{x,y) dy

d s'- dx d s' dy d s^

(32) / d'^{x,y) dx' d'^jx^y) dx dy d'ê{x,y) dy'

~^ dx' ds' dx dy ds ds dy' d s' '

d s" dy d s" dy d s"

Or, de ces dernières équations, jointes au premier corollaire, il résulte évidemment que , si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre //, chacune des quantités

^ . dr d.f{x,y) d'y d'ê{x,y) d' r d"§{x,y)

[II) r — é[x,y),-jj- ^^ 'Vl^- ds' '-'dT^- ds"

conservera la même valeur pour le point de contact , dans le passage de la première courbe à la seconde. C'est ce qui arrivera, par exemple , si l'on prend pour r le rayon vecteur mené de l'origine au point {x , y), et déterminé par la formule

Ajoutons que la dérivée •

déterminée par l'équation

(36) -77^ — d X 17^ -^ Ty jT^n- -+- &c. . . ,

changera ordinairement, de valeur , quand on passera de la première

courbe à la seconde, parce que chacune des expressions {30) , ou au moins l'une des deux , prendra une valeur nouvelle. Néanmoins le contraire pourrait avoir lieu dans certains cas particuliers, par exemple, si les valeurs de .v et y relatives au point de contact réduisaient à zéro, dans le second membre de la formule (36), les coefficiens des expressions (30) , savoir,

^37J — T^ — ' —Ty — '

ou du moins le coefficient de celle dont la valeur changerait. La même remarque s'applique aux dérivées

/ ON d'*'r d'-^r -

13 Oj ^^n-.. » ^^.-.i > &C, ...

Si , pour fixer les idées, on considère les deux courbes"

(13) y=zx', y^:^x\

qui se touchent à l'origine, et si l'on prend

on reconnaîtra que, pour le point de contact, non - seulement r et

—. — » mais encore — ; — , conservent les mêmes valeurs dans le passage

as as- 1 i.»

d'une courbe à l'autre , quoique le contact soit du pi;emier ordre seulement.

Corollaire j.' Concevons maintenant que l'on veuille prendre, au lieu de s, r:^=.^[x, y) pour variable indépendante. Alors on pourra concevoir que, les coordonnées x,y étant toujours fonctions de s, j> devienne fonction de r ; et l'on tirera de l'équation (31), différenciée plusieurs fois par rapport à r ,

dS{x,y) ds

dg{x,y) d^s d'^jx.y) ( ds Y

" ds dr^ ds'

. s ! dÉ{x,y) d^s ^ ^ d'S(x,y) ds d^ s d^J(x^ I d s Vi

^^ M °— ds 771 ~^ 3 ds' dr~d7~^~J? V77J '

Or, des formules {\o) , réunies au corollaire 2, il résulte évidemment que, si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre n , les quantités

(40 -Z7' -71^' -TrT' ^^■'•- -J7-

conserveront les mêmes valeurs relatives au point de contact , quand on passera de la première courbe à la seconde. En substituant ces valeurs dans les équations

dx dx ds d y dy ds

dr ds dr dr ds dr

d' X dx d' s d' X / d s Y d'y dy d' s d'y

d^xfdsY ^ y '^y ""' -f 'i'y l '^^ Y

dl^\77) ' dr' 17 'dr' ds' [171

dr" ds dr" dr" d s d r"

et ayant égard au corollaire i.^"", on parviendra aux conclusions suivantes. Si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre /;, et si l'on prend vz=.^[x ,y) pour variable indépendante, jion- seulement les coordonnées x,y, mais encore leurs dérivées, jusqu'à celles de Tordre n , savoir ,

dr *

dr' '

^drT' •••

' ' dr^

dy dr '

d'y dr' '

dr^ ' • • •

d'y ■ ■ dr"

conserveront les mêmes valeurs relatives au point de contact , quand on passera de la première courbe à la seconde. II est donc permis de substituer à la variable s, dans le corollaire i .^'' , la variable r, lice par une équation finie quelconque aux deux coordonnées x , y. Seulement , après cette substitution , l'on ne pourra pas affirmer que , pour le point de contact, l'une au moins des deux dérivées

change de valeur dans le passage de la première courbe à la seconde.

Corollaire ^.'^ Supposons que , l'ordre du contact des deux courbes données étant égal à n , l'on prenne toujours r pour variable indépendante , et que l'on désigne par

de nouvelles fonctions des coordonnées x , y. On aura

dp dp dx

d- p dp d' X

d x^ d r- dx dy d r d r dy^ d r'

dr '

d^y ■ dr'-'

d' ^dx

p d X dy d r

dy dr

d" p d p d" X dp d" y

dr" ■ d X dr" dy d r"

et, comme les expressions [4:}) conserveront les mêmes valeurs relatives au point de contact dans le passage de la première courbe à la seconde, il est clair qu'on pourra en dire autant, non -seulement des fonctions dérivées

(■i5J -77 ' -ZP"' -77^'

dont les valeurs seront déterminées par les formules [i^) , mais encore

des différentielles

(46) dp, d' p , d" p.

On arriverait à des conclusions semblables en substituant ia fonction ^ à la fonction p. Enfin on pourrait échanger entre elles les fonctions p, q , r, ... de toutes les maHières possibles, et affirmer, par exemple, que, dans le cas où le contact est de Tordre //, les dérivées

(47) Tf' -rp-' -rp'

prises par rapport à ia variable p considérée comme indépendante , et les différentielles

^^ . \ dr. d^ r, d" r,

prises par rapport à la variable q considérée comme indépendante , conservent les mêmes valeurs relatives au point de contact , tandis qu'on passe d'une courbe à l'autre.

Corollaire j/ Rien n'empêche de supposer , dans les corollaires 2 et 3,

r zzz X.

Alors celles des expressions (43) qui renferment la variable x se réduisent, la première à l'unité, les autres à zéro, et celles qui renferment y deviennent respectivement

dy d^ y ■ di y d" y

dx ' dx^ ' dx'> ' ~dlF

Donc-, si les deux courbes proposées ont entre elles un contact de l'ordre //, et si l'on prend x pour variable indépendante, non -seulement l'ordonnée y, mais encore ses dérivées successives jusqu'à celle de f ordre v , conserveront les mêmes valeurs relatives au point de contact , dans le passage de la première courbe à la secondé. Ajoutons

DU CALCUL INFINITÉSLVIAL. " 143

que , dans ce passage , la de'rivée de l'ordre « -4- i et les suivantes prendront ordinairement des valeurs nouvelles. Ne'anmoins le contraire pourrait avoir lieu dans certains cas particuliers. Ainsi , par exemple , si l'on considère les deux courbes

qui se touchent à l'origine des coordonnées et qui ont l'axe des y pour tangente commune, on reconnaîtra que, pour le point de contact, chacune des quantités

dy d'y d^ y

d X d x' d xi

, Sic.

conserve la même valeur dans le passage d'une courbe à l'autre , savoir, la quantité y une valeur nulle , et chacune des dérivées —/- j —r^ » &c. ,.

une valeur infinie , quoique le contact soit du premier ordre seulement.

Lorsque la tangente commune aux deux courbes données ne coïiî-

citle pas avec l'axe des y ou avec une parallèle à cet axe , —r— est la dernière des dérivées de / qui conservent les mêmes valeurs pour les deux courbes [voyei le corollaire 5 du 4-* théorème], et par suite la dérivée de l'ordre « H— i , savoir ,

change nécessairement de valeur dans le passage d'une courbe à l'autre.

Corollaire (fJ Deux: courbes qui ont entre elles un contact du second ordre , ou d'un ordre plus élevé , sont toujours osculatrices l'une de l'autre, puisqu'elles doivent fournir les mêmes valeurs de y, y , y" relatives au point de contact , dans le cas où l'on choisit l'abscisse x pour variable indépendante. Réciproquement , deux courbes osculatrices , d vant satisfaire à cette condition, quelle que soit la droite que l'on

prenne pour axe des .y, ont nécessairement, au point d'osculation, un contact du second ordre, ou d'un ordre supérieur à 2,

En terminant cette leçon , nous ferons observer que les théorèmes A et 6 , avec leurs ditférens corollaires et ceux du théorème 5 , continuent évidemment de subsister dans le cas où l'on désigne par x , )/ , non plus des coordonnées rectangulaires , mais des coordonnées obliques. Seulement, les formules (20) et {^i) devront alors être remplacées par les deux suivantes ,

(51) ^z=^[{x-^Y-h{y-r^y-^2{.x-h){y-v)cos^],

(52) r := 1/ [x'' -\- y- -h 2 X y cos S^] ,

et l'expression (21) par la somme

j {x-^Y-^{y-TnY~h2[x-^){y-yt)cosJ^ \ = [j-»i -+- (-v-^) cos J\]» -t- [(at-^) sin J\]* ,

J\ représentant l'angle compris entre les demi -axes des coordonnées positives.

DU CALCUL INFINITESLMAL.