DIXIEME LEÇON

Sur /es diverses espèces de coniact que peuvent offrir deux Courues planes représentées par deux. Equations dont l'une renferme des Constantes arbitraires. Points de contact dans lesquels deux Courbes planes se traversent en se touchant.

Considérons deux courbes pfanes représentées par deux équations entre des coordonnées x , y, rectangulaires ou obliques; et supposons que, la forme et la position de fa première courbe étant complètement déterminées , la forme et la position de la seconde puissent varier avec les valeurs de plusieurs constantes arbitraires a, h , c , ... comprises dans son équation. Soient

l'équation de la première courbe, et

l'équation de la seconde. Concevons , de plus , que l'on prenne l'abscisse .V pour variable indépendante, et que l'on choisisse sur la première courbe un point (v,^') dans lequel la tangente ne soit pas parallèle à l'axe des x. On pourra disposer des constantes arbitraires a, h , c ... , ou de quelques-unes d'entre elles , de manière que les valeurs de plusieurs termes consécutifs de la suite

restent les mêmes , pour l'abscisse ,v , dans le passage de la première

Leçons de M. Cauchy, i .'♦ .\iméc. 2*

îj^ô APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

courbe à fa seconde. Alors la seconde courbe renferniera le point {x,r) de Ja première, et aura en ce point avec elle un contact dont l'ordre sera inférieur d'une unité au nombre des termes qui n'auront pas changé de valeurs. Soit maintenant h le nombre des constantes a , l^ , c, ... Comme on établit entre elles une équation de condition toutes les fois qu'on égale les deux valeurs d'un terme de la série (3) relatives aux deux courbes, il est clair que ces constantes seront toutes déterminées si l'on assujettit les // premiers termes de la série à conserver les mêmes valeurs dans le passage d'une courbe à l'autre. Mais si l'on garde seulement quelques-unes des équations ainsi formées , en commençant par celles qui se rapportent à l'ordonnée y et à ses dérivées des ordres inférieurs , plusieurs constantes resteront arbitraires , et la seconde courbe pourra varier de forme et de position, sans cesser toutefois de renfermer le point (a-, y) et de toucher la première courbe en ce point. Dans le premier cas, l'ordre du contact est au moins égal à « — i , et en même temps cet ordre est le plus élevé possible. Dans le second cas , l'ordre du contact est généralement inférieur à 11 — I .

On arriverait à des conclusions semblables , si l'on prenait y pour variable indépendante, et si l'on considérait sur la première courbe wd point dans lequel la tangente ne fût pas parallèle à l'axe des;'. On peut, en conséquence, énoncer la proposition suivante.

i.^'' Théorème. Pûrnii les systèmes de valeurs qu'on peut attrihuer à n constantes arbitraires a, h , c . . . renferme'es dans l'équation

il existe ge'ne'ralement un système pour lequel la courbe rcpre'sente'e par cette équation acquiert avec une courbe donnée , au point dont l'abscisse est x, un contact d'un ordre au moins égal au nombre n — i, et une infnité de systèmes pour lesquels le contact entre les deux courbes est d'un ordre inférieur au même nombre.

Corolhnre i." Pour trouver, parmi les systèmes Je valeurs de a, h , c ... , celui qui détermine un contact d'un ordre au moins égal à « — r, dans le cas où l'on prend l'abscisse -v pour variable indépendante , il suffit évidemment de combiner entre elles les formules qu'on obtient en substituant les valeurs de

tirées des équations de la courbe donnée, dans l'équation finie de la seconde courbe et dans ses équations dérivées d'un ordre inférieur à //.

Si l'on prenait pour variable indépendante, à la place de l'abscisse .V, une fonction quelconque des coordonnées x,y, ou l'arc s compté sur chaque courbe à partir d'un point fixe, alors, pour obtenir le système demandé, il faudrait employer \yoyei\a ^.^ leçon] les formules que l'on trouve quand on substitue les valeurs des quantités

(5) x,y, dx, dy, d^x, d'-y, J"-.v, d"-' y

relatives à la courbe donnée dans l'équation finie de la seconde courbe et dans ses équations différentielles d'un ordre égal ou inférieur à h, c'est-à-dire , dans les équations successives

(6) F[x,y,a.h,c.)-:=LO , dF[x,y,û,h,c..):=:o , ...d"'' F{x,y,û,l),c..)=:o , lesquelles, étant développées, se présentent sous les formes

dF{x,y,a,b,c...) j^ . dF [x,y, a, b, c. . .)

dx

dy

dy=.o i

dF[x,y,a,b,c...) dF[x,y,a,b,c...) j„,

d X dy ^'

Les formules (7) , dont le nombre est égal à //, suffisent évidemment

l48 APPLICATIOxNS GÉOMÉTRIQUES

pour déterminer les constantes û,h, c ... Elles renferment d'ailleurs, comme cas particuliers , les équations auxquelles on arrive quand on prend l'abscisse .v pour variable indépendante.

Corollaire ^/ Pour obtenir des systèmes de valeurs de. a , h , c . . . qui établissent entre la courbe donnée et la courbe représentée par l'équation (2) un contact d'un ordre inférieur à /; — i, il suffit de conserver quelques-unes des formules indiquées dans le corollaire précédent, en commençant par celles qui renferment y et ses dérivées ou ses différentielles des ordres inférieurs. Ainsi, par exemple, le contact sera, en général, du second, du troisième ... ordre, si l'on assujettit les constantes a , h , c . . . à. vérifier les deux premières, les trois premières, &c... des équations (7). Or, on trouvera une infinité de systèmes qui satisferont à de semblables conditions.

Corollaire j.'^ Lorsque l'équation (2) renferme trois constantes arbitraires, et se réduit à

(S) F{x, y, a, h, c)^=zo ,

on peut attribuer aux constantes a, h, c une infinité de systèmes de valeurs pour lesquels la courbe (8) soit tangente à une courbe donnée ; et, pour obtenir ces systèmes, il sufîit de combiner les deux équations

( F[x , y, a , h, c)^izo ,

(9) { dF{x, y, a. b , c) cïFix, y, a, b, c) ,

-, dx H ' -^ ' — —^ dy=.o;

f:près y avoir substitué les valeurs de x, y, dx, dy relatHes à la courbe donnée. En vertu de ces équations, deux constantes se trouveront exprimées en fonction de la troisième, qui pourra rester arbitraire. Il n'en sera plus de même, si l'on veut que la courbe (8) ait avec la courbe donnée, au point (v,/), un contact d'un ordre au moins égal à 2, ou, en d'autres termes, si l'on veut que le point (a,/) devienne pour les deux courbes un point d'osculation. Alors les trois constantes a , h, c ... se trouveront déterminées par le système des trois équations

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. l49

F{X , V, il , l) , c) = o ,

dF{x. V, a, l\ c) , 'i !'{", V, a, b, c) ,

■- dx H dy ■=. O ,

il X ii y ■'

(lo) { d^F{x,y,a,b,c) d'-F{x,y,a,b,c) . , , d^- F[>c, y , a, h , c) , , 7-T dx' -h 2 ; dx dy H --—^ dy

dF{x,y,a, b, c) j^ dF{x,y,a,b,c) .

d X dy -^

CorcUaire ^/ Si l'on remplace, tlans îe corollaire 3.^, les constantes arbitraires a, h, c parles constantes arbitraires ^, r, f, et si l'on réduit la courbe {%) au cercle qui a pour équation

(i.) {x — lY-^[y—-,Y = f,

la seconde des formules (c^) .deviendra

et elle fera coimaître la relation qui doit exister entre les coordonnées ^, v\ pour que le cercle touche la courbe donnée au poiiit [x , y). Or les coordonnées ^, -n étant celles du centre du cercle, et l'équation (12) étant du premier degré, on est en droit de conclure, non - seulement qu'il y aura une infinité de cercles qui toucheront la courbe au point [x , y) , mais encore que tous les cercles tançens auror.t leurs centres siuuiie même droite, à laquelle appartiendra réquation (12) , si l'on considère ^ et >i comme seules variables. Effectivement, il est clair que les centres de tous les cercles tangens sont situés sur la normale, laquelle est représentée par l'équation dont il s'agit.

ISi l'on veut que le cercle représenté par la formule (11), au lieu de toucher simplement la courbe donnée, ait avec cette courbe nw contact d'un ordre égal ou supérieur à 2 , et devieime par conséquent oscu'atfur de la courbe, il faudra joindre aux formules (i i) et (12) l'équaiion différentielle du second ordre

I r o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

(^3) {x — ^)cl\x-i- {)> — ■/)) ^l'y-^^x- -i-i^y^^^^o ,

qui remplacera la dernière des formules (lo). Alors les coordonnées P, 11 et le rayon f se trouveront complètement déterminés par le moyen des formules (i i), (12) et (13), qui coïncideront avec les équations (ip) de la 7.^ leçon et avec les équations (16) de la 8.^

Corollaire jJ Concevons que la courbe (2) soit une courbe parabolique dont l'ordonnée y se réduise à une fonction entière de x du degré /; — I , c'est-à-dire, à un polynôme de la forme

donneront

bx-

2 ex

(i4) y :=z a -\- h X -V- c x'' -{- -\-px'' * -f-'/-

Alors, si l'on prend x pour variable indépendante, les équations (7)

■\r-cx^-+- -\-p x"-' H- ^ A-"-' ,

-f- . . . -H (/; - z)px"-' -î- («-i) -/ -v"-* .

et pour déterminer les constantes û,b,c, ...p,<jde manière que la courbe (i4) ait avec une courbe donnée, au point (v,^), un contact d'un ordre égal ou supérieur à // — i , il suffira d'employer les équations (15), après y avoir substitué les valeurs de .v, y, y, ... /"'"", y^"~'^ relatives à la courbe donnée et au point dont il s'agit. Si, pour plus de commodité, on désigne par ^, n les coordonnées d'un point qui soit situé sur la courbe cherchée, sans coïncider avec le point (.y, y), cette courbe pourra être représentée par l'équation en ^ et n qui résultera de l'élimination des Constantes a, b, c . . . p, q entre les formules (15) et la suivante [16) >i=r ,z -f-/»^-Hf ^' H- . , . ~\-pP''-^~^ql'*-'.

Or, si l'on développe le second membre de l'équation (16) suivant les

DU CALCUL INFINITÉSIMAL. i 5 i

puissances ascendantes de ^— v, en observant qu'on a, pour une valeur quelconque du nombre entier /;/ ,

on trouvera

r r= û -\- bx —h c x- -\-

/• -+- 2 f Af -4- -V- (il — 2 ) p ;

puis, en ayant égard aux formules (15),

Telle est l'équation de la couibe parabolique du de^ré // — r qui a, en un point donné (v,;'), w\\ contact de l'ordre n — i ou d'un onlre supérieur avec une courbe donnée. On parvient encore à la même équation, quand on chercbe à déterminer les constantes B, C . . . P, Q de manière que la courbe parabolique qui est représentée par la formule

et qui passe évidemment par le point (-v, r), acquière en ce point avec la couibe proposée un contact de l'ordre // — i. En effet, pour que cette condition soit remplie, il suffit, en vertu des principes établis dans Ja fj/ leçon, que les valeurs de

di'—-

I j 2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

tirées de fa formule (ip) et correspondantes à ^zzzx , savoir, (21) B, z.iC, ... 1.2.3... (/; — 2)/^, U2.^...{ii—i)Q, soiejit respectivement égales aux valeurs de

tirées de l'équation iie la courbe donnée. Or, en égalant les quantités (21) aux expressions (22), on en conclut

(23) B:=y' , Cz=^^, ... P = ■-— r' Q —

et, en substituant les valeiiis précédentes de B , C, .... P , Q dans l'équation (15)), on retrouve précisément l'équation (18).

Dans le cas particulier où l'on prend ti:z=zi, la courbe cherchée se change en une droite, et l'équation (18), réduite à la forme

représente, comme on devait s'y attendre, la tangente menée par le point ('V;>') à la courbe qui renferme ce même point.

Si l'on suppose /7Z=3 , l'équation (18), réduite à la forme

représentera une parabole du second degré, qui sera osculatrice de la courbe donnée, et qui aura pour axe une droite parallèle à l'axe des j-.

Pour terminer ce que nous avons à dire sur le contact des courbes planes, il nous reste à établir une proposition digne de remarque, qui se rapporte au cas où l'ordre du contact est un nombre entier, et que l'on peut énoncer comme il suit.

z.^ Théorème. Considérons deux courbes planes dont les équations en coordonnées rectangulaires ou obliques se présentent sous les formes

Concevons, de plus , que l'on désigne par n un nombre entier quelconque , et que , les deux courbes ayant an contact de l'ordre n en un point donné , les deux fonctions

restent continues par rapport à x , dans le voisinage de ce même point. Les deux courbes se traverseront en se touchant , si n est un nombre pair. Au contraire , si n est un nombre impair, l'ordonne'e de l'une des courbes demeurera constamment supérieure à l'ordonnée de l'autre , dans le voisinage du point de contact i Enfin, dans l'une et l'autre hypothèse , celle des ordonnées f[x), F{x), qui deviendra la plus grande, quand on passera au-delà da point de contact en avançant da côté des x positives , sera celle dont la dérivée de l'ordre « H- 1 obtiendra la plus grande valeur au point dont il s'agît.

Démonstration. En effet , le contact étant de l'ordre n , si , dans les diffcrences

on substitue pour x l'abscisse du point donné ,

sera la première de ces différences qui cessera de s'évanouir avec ï ; et; puisque les fonctions /"<'""+■'-' (.v), F^""^'^ [x) restent continues par hypothèse dans le voisinage du point de contact, il est clair que la différence

(30) irc--^(,.)/^--'(.v)

n'obtiendra pour ce point ni une valeur nulle , ni une valeur infinie , et se réduira nécessairement à une quantité finie différente de zéro. D'ailleurs, en désignant par G un nombre inférieur à l'unité, on tirera de la formule (8) de l'Addition au calcul infinitésimal

et comme, pour de très-petites valeurs de /, les expressions

F'^r>-^y^[x)~f''^'^[x) et i^^r'^(x-^e;)— /^"^"(.v-HÔ/)

Leçvas de M. Cauchy. i .« Année. y

seront des quantités de même signe, on peut évidemment affirmer que, si l'abscisse .v-Hi diffère très-peu de l'abscisse x , le second membre de la formule (3 i) sera une quantité affectée du même signe que le produit

Donc l'expression F[x-^ï)— fi^x-\-i) , équivalente à ce second membre , changera de signe avec / et /""^' , si n est un nombre pair. Alors celle des ordonnées f{x-i-i) , i^(.v-+-/) qui était la plus petite avant le point de contact, du côté des x négatives, deviendra la plus grande de l'autre côté; d'où il résulte que les deux courbes se traverseront en se touchant. Le contraire aura lieu si // est un nombre impair. Alors , i"'*" étant une puissance paire de i, le produit (32) aura toujours le même signe que le facteur fC'^" [x] — f^"^'^ {x) , et, par suite, l'ordonnée F{x-^i) sera constamment supérieure ou constamment inférieure, dans le voisinage du point de contact, à l'ordonnée /"(.y h-/), suivant que ce factem- sera positif ou négatif, c'est-à-dire, en d'autres termes, suivant que la quantité F'^"'*''- [x) sera supérieure ou inférieure à la quantité f'"^'-'{x). Ajoutons que, pour des valeurs positives de /, les expressions (30) et (32) seront, dans la première hypothèse comme dans la seconde, des quantités de même signe, et qu'en conséquence celle des ordonnées y(-v), F{x) qui deviendra la plus grande au-delà du poirt de contact, correspondra toujours à celle des dérivées /'""^''(.v), F^"'^'\x) qui obtiendra la plus grande valeur au même point.

CorùJlûire /."" La tangente menée à une courbe par un point donné n'ayant en général avec cette courbe qu'un contact du premier ordre , l'une de ces deux lignes restera pour l'ordinaire supérieure à l'autre avant et après le point de contact. Elles pourront néanmoins se traverser mutuellement dans certains cas particuliers; et c'est ce qui arrivera pour une valeur donnée de .v , si les valeurs correspondantes de

tirées de l'équation de la courbe forment une suite dans laquelle le premier des termes qui ne s'évanouissent pas conserve une valeur finie, et si ce terine est une dérivée d'ordre impair, qui reste fonction conti-

DU CALCUL INFINITESLMAL. I j j

mie de x , dans le voisinage du point donné. En effet, désignons par n un nombre pair quelconque, et supposons que, les formules

étant vérifiées pour uwq certaine valeur de .v , la valeur correspondante

de y'""*"- demeure finie et diffère de zéro. Soit d'ailleurs

(35) y=za-^bx

l'équation de fa tangente. Comme on tirera généralement de cette

équation

il est clair qu'en passant de la courbe à la tangente, on retrouvera pour le point de contact les mêmes valeurs, non-seulement de/ et de y , mais encore de /', /", ... y^"' ; et comme, dans ce passage, y^"'^'^ changera de valeur, nous pouvons conclure que la courbe et sa tangente auront un contact d'ordre pair. Par suite, si la valeur de y'''^'' tirée de l'équation de la courbe est une fonction continue de .v , dans le voisinage du point que l'on considère , la courbe et sa tangente se traverseront mutuellement , en vertu du ^.^ théorème. Alors le point de contact sera im point d'inflexion de la courbe proposée.

Corollaire 2/ Le cercle osculateur d'une courbe, en un point donné, ayant en général avec cette courbe un contact du second ordre, ces deux courbes se traverseront pour l'ordinaire. Néanmoins il peut arriver que, dans certains cas particuliers, l'ordre du contact s'élève, et se trouve indiqué par un nombre impair. Alors le cercle osculateur et la courbe pourront cesser de se traverser mutuellement. Ainsi , par exemple, si la courbe proposée devient une parabole, une ellipse ou ime hyperbole, le cercle osculateur aura un contact du troisième ordre avec cette courbe, et cessera de la traverser, quand on fera coïncider le point de contact avec le sommet de la parabole, avec les extrémités des axes de l'ellipse, ou avec les extrémités de l'axe réel de l'hyperbole.