ONZIÈME LEÇON

Sur l'usage que l'on peut faire des Coordonnées polaires pour exprimer ou pour découvrir diverses Propriétés des Courbes planes.

Dans les leçons précédentes , nous avons généralement supposé qu'une courbe plane était représentée par une équation entre cieux coordonnées rectangulaires x,y. Mais il est souvent utile de substituer à ces mêmes coordonnées les coordonnées polaires r et p déjà employées dans les Préliminaires [page 8 ] , et liées aux variables x, y par les formules

X z=: r cos p , y ^^

r sin

Nous allons indiquer ici quelques-uns des résultats auxquels on est conduit par cette substitution.

Observons d'abord que la quantité r , par laquelle on désigne le rayon vecteur mené de l'origine ou pôle à un point mobile, doit toujours être regardée comme positive. Quant à l'angle p, formé par ce rayon vecteur avec un demi-axe donné, il pourra être positif ou négatif et recevoir une valeur numérique inférieure ou supérieure à 2vr, ainsi qu'onl'a déjà expliqué \voyei les Préliminaires, pages 8 et c)]. Pour plus de commodité, le demi-axe des x positives, à partir duquel on compte l'angle p , sera nommé dorénavant demi-axe polaire.

Cela posé, il est clair, i ." que l'équation de tout cercle, qui atira l'origine pour centre, sera de la forme

R désignant une constante positive égale au rayon du cercle ; 2.'^ qile

l'cqiiation d'un demi-axe aboutissant à l'origine sera de la forme

P dcsignaiu une constante positive ou négative. On peut ajouter que l'cquation (3) continuera de représenter le même demi-axe, si la quantitc P croît ou diminue de manière que l'accroissement ou la diminution ait pour mesure un multiple de la circonférence, ou, en d'autres termes, le produit de vr par un nombre pair. Enfin le demi-axe dont il s'agit sera remplacé par un autre dirigé suivaiit la même droite , mais en sens inverse, si l'accroissement ou ta diminution de la quainiié P est le produit de la demi-circonférence vr par v\n nombre impair.

Lorsqu'up.e courbe plane est représentée par une équation entre les coordonnées rectangulaires .\ , y , on peut, à l'aide des formules (i), substituer immédiatement aux variables x, y les coordonnées polaires , et obtenir ce qu'on nomme ['équation polaire de la courbe. Ainsi , par exemple, si l'on appelle ^, r, les coordonnées rectangulaires d'un point fixe, et R , P ses coordonnées polaires liées aux premières par les formules

(4) ^=:z RcoiP , v=z R sin P ,

on reconnaîtra que la droite menée par ce point de manière à former l'angle ^ avec le demi-axe des x positives a pour équation en coordonnées rectangulaires

(5) TZrr=ïang4/, ou — •— -

X — 5 ^ ~ cos

et pour équation polaire

• P — R cos p r sin /7 — R s\n P

coi 4- sin -^

OU , ce qui revient au même ,

(7) r sin (/? — -|/) =r /? sin (P — ^|/).

Si fa longueur R s'évanouit , la droite passera par l'origine , et son

équation polaire deviendra

(8) sin (/; — 'I) rrr G.

On vérifiera celle-ci en prenant pour /; un nombre entier quelconque,

et posant '

p z=. -l^ zt: 2. n -TT ou ;5 zr= 4^ ± ( 2 // -h- I ) ?r.

Chacune de ces deux dernières formules est semblable à l'équation (3), et représente un des deux demi -axes qui sont dirigés suivant la droite • donnée, mais en sens contraires, et qui aboutissent à l'origine.

On peut aisément, dans l'équation (7), substituer l'angle/^ — P à l'angle p — 4" ^^ ^^^^ '

et par suite

sin {p-'\'] = sin [p-P) cos (P--!) H-sin (P-^) cos{P-p).

Or, si l'on a égard cà cette dernière formule, on tirera de l'équation (7)

r cos {p — P) — R rsm {p— P)

{9) cos(4, — y^) Mn(4 — /^J '

ou, ce qui revient au même ,

Au reste, pour déduire immédiatement l'équation (cp) de l'équation [6), il suffit d'observer que rien n'empêche de substituer aux trois angles p, P et X, formés par trois directions données avec le demi-axe polaire, les trois angles p—P- o et ^—P formés par les mêmes directions avec le demi-axe qui a pour équation p:=:P.

Si, du point (^, n) comme centre, avec le rayon f, on décrit un cercle, ce cercle, représenté par la formule

DU CALCUL INFINITÉSIMAL. I^ç

aura évidemment pour équation polaire

[rcosp — Rcos Py -h {rslnp — RsïnPy zzz f^ ,

(12) r' — 2R rcos{p — P) -i- R'=: f'.

Dans le cas particulier où le centre coïncide avec i'origine , R s'évanouit, et l'équation (12) se réduit à

r'- zzz j>^ ou r rr: / ;

c'est-à-dire qu'elle reprend la forme de l'équation (2).

Il est encore facile de s'assurer que les deux paraboles et l'ellipse ou hyperbole représentées par les trois équations

(13) y'=:iax. (i4) / = — 2 ^; x , (15) Ax^ -V- zBxy^Cy =: K ,

ont pour équations polaires

^ K ZK^

\ / Acos-p-t-zBiinpcoip-i-Csin'p A-^C-i-:iBi\(i2p-^-{A—C)co;zp

Si la formule (15) se réduit à l'une des suivantes , l'équation (18) deviendra

(21j r a^ s'm'' p -^ b' cos^ p ' ^~~^ t'coi' p — a' i\i-\- p

Concevons, pour fixer les idées, que les constantes û, b soient positives, et que l'on ait a > h. La constante a représentera dans les paraboles (13) et (i4) Je double de la distance du foyer au so:nmet, dans

l6o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

leliipse (ip) la moitié du grand axe, et dans. l'hyperbole (20) la moitié de Taxe réel. Cela posé, si l'on transporte l'origine au foyer de la parabole (i4), et si l'on fait—;;- =z R , l'équation de cette parabole en coordonnées rectangulaires prendra la forme

(23) / — -4/?(.v-/?). ou .x'^yz={2R-xy; puis on en conclura , en observant que la quantité

et, à plus forte raison, la quantité 2/? — .v, doivent toujours rester positives,

(24) i/{x'-^f-) = 2R-x, ou .V-f-|/(x=-4-/*)3=2/?

Si maintenant on substitue les coordonnées polaires aux variables .v, >., on trouvera pour l'équation polaire de la parabole

(2s) r -\- r CCS p z:=. 2. R , ou r :=z ~

\ ■> ' ' \ ■+- COS p

Lorsqu'on effectue la même substitution dans la formule (23) , on en

lire

(26) r'i=(2/?— rcos/j)', ou [r(i-i-cos/')— 2/?][r(i— cos/')-+-2/t'] = o.

De plus, les quantités r, R étant essentiellement positives , et la quantité I — cosp étant positive ou nulle, il est clair que le facteur

r ( I — COS p) -f- 2 i?

a toujours une valeur finie différente de zéro. On peut donc supprimer ce facteur dans la formule (26), qui par ce moyen se trouvera évidemment ramenée à l'équation (25).

Dans une ellipse, ou dans une hyperbole, on appelle excentricité le rapport entre la distance d'un foyer au centre et la moitié du grand

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. l6l

axe ou de i'axe réeL Soit £ ce rapport. La distance du centre à l'un des foyers sera, pour i'eliipse (icj) ,

(27) de = -/{a'- — I>') , et pour l'hyperbole (20) ,

(28) ae = i/{d'-hb').

Cela posé, si l'on transporte l'origine, dans l'ellipse, au foyer situé du côté des .Y positives, et dans l'hyperbole, au foyer situé du côté des .v négatives, les équations de ces courbes en coordonnées rectangulaires se présenteront sous les forn)es

[x-t-ai)- y'- (x — ai)' y'^

Si dans ces dernières on remet au lieu de h sa valeur tirée de la formule (27) ou (28), elles deviejulront respectivement

(2p) x'--^y- — {a[x-i-)-îx\\ et (30) x'^y' — {a[e — \)-ex\\

Enfin si, dans les équations (25)) et (30), on substitue les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires , on trouvera pour l'équation polaire de l'ellipse

(3^1) [r — a{\ — e'j-f-ercos/;] \r -\-a[\ — £*) — £rcos/;] = o,

et pour l'équation polaire de l'hyperbole ,

(32) [/• — â(g' — i)-|-Êrcos/>] [/■-h<^(£' — i) — £rcos/^]=:o.

Dans la formule (3 i), le nombre e zrzi/f i ^j étant plus petit que

l'unité , le facteur

r-\-a[\ — i-) — ercosp zn r{i — ecosp) -+- û{i — è') aura toujours une valeur positive différente de zéro. On peut donc le

Lefom de AI. Cauchy. i,« Année. X

l62 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

supprimer, et réduire i'cquation polaire de l'ellipse à la forme

(??) rfn-ecosw) — <7 (i— e") :=r o , ou r=. ^^'~^

Si, dans cette dernière, on pose successivement

p =z o , p =z 'n- , on en tirera

r=zû[i — g), rz=.û[i-\-î).

Ces deux valeurs, dont la somme est égale à za, exprimeront les distances du foyer pris pour origine aux deux extrémités du grand axe.

Quant à l'équation (32), dans laquelle le nombre iz:=.-t/ {\-\ ^j

est évidemment supérieur à l'unité, elle se décompose en deux autres, savoir,

[■^4.) r(i-f-fcos/?) — a [i^ — \)z=: o , ou r

(35) r{i—icosp)-^a[i'--i) = o, ou r ^^^^^,

Or il est facile de s'assurer que chacune de celles-ci représente une seule des deux branches de l'hyperbole , et en particulier que l'équation (34). '^^ laquelle on tire

r =. û [i — I ) pour p ■=. o ,

et r ■= 00 pour ;? = lii' arc cos ( j»

appartient à la branche dont le foyer coïncide avec l'origine, tandis que l'équation (35), de laquelle on tire

r-=.û[i-\-\) pour p z=: o ,

et r =z 00 pour ^ =1: zb arc cos (—1 »

appartient à l'autre branche. Les deux valeurs de p aifxquelles corres-

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. 163

pondent, dans chaque branche, des valeurs infinies de r, indiquent les directions des deux demi-axes qui servent d'asymptotes à cette branche. Q,uunt aux deux longueurs

dont la différence est égale à za, elles expriment les distances du foyer j)ris pour origine aux deux extrémités de l'axe réel de l'hyperbole.

On pourrait établir directement et par des considérations géométriques la plupart des formules qui précèdent, en exprimant à l'aide de coordonnées polaires les propriétés connues des lignes que ces formules représentent. Concevons, par exemple, que, P, R désignant les coordonnées polaires d'.m point fixe, et ^|/ un angle quelconque, positit ou négatif, on cherche l'équation polaire de la droite menée par le point {P, R) parallèlement au demi-axe représenté par la formule

Si de l'origine on mène un rayon vecteur /■ à un point quelconque de la droite, et si l'on nomme «A l'angle aigu ou obtus que forme ce rayon vecteur indéfiniment prolongé avec le demi -axe (36), la valeur de p correspondant au rayon vecteur dont il s'agit sera évidemment donnée par l'une des formules

(37) /7 = 4-f-JV, p=:^-+-S^ztl2n'7r, ou

(38) ;? = ^ — J\, ;)z=:^|/ — J^zLlz/vr,

« étant un nombre entier quelconque. Ajoutons que les formules (37) devront être préférées , si un rayon vecteur mobile assujetti à tourner autour de l'origine en partant de la position dans laquelle il coïncidait avec le demi-axe (36) , est obligé, pour décrire l'angle J^ , de prendre un mouvement de rotation direct, tandis que les formules (38) devront être' préférées dans le cas contraire. Si maintenant on projette le rayon

"vecteur r sur un axe perpendiculaire à la droite donnée, on obtiendra pour projection la plus courte distance de l'origine à cette droite , et cette plus courte distance se trouvera exprimée par le produit

r sin cA ,

qui se réduit, en vertu des formules (37), à

r sin [p — 4^ ) ' et en vertu des formules (38), à

r sin (-sj^ — p).

Or, la plus courte distance dont il s'agit étant évidemment une quantité indépendante des coordonnées variables r et p , nous sommes en droit de conclure que le produit rsin^p — r^) ou isin{-\^—p) ne changera pas quand on y remplacera p par P et r par R. On aura donc

rsin(^— 4-) = /? sin (P— -<]/), ou rsin{^ —p) z=i Rsin{'\^ — P).

Chacune de ces dernièi'es formules coïncide avec l'équation (7).

Cherchons à présent l'équation polaire du cercle décrit du point {P, R) comme centre avec le rayon f. Si l'on nomme p, r les coordonnées d'un point quelconque de la circonférence, et <A l'angle compris entre les rayons r, R, on aura

p=.P-àzS^ , ou /7=r/'di:^±2/."7r,

et par suite

(3p) zt: S^ =z p — Pzpinvr;

M désignant un nombre entier qui pourra se réduire à zéro. De plus, l'angle J^ étant opposé au rayon f dans le triangle dont les côtés sont r, R et f , on aura, en vertu d'un théorème connu de trigonométrie ,

(4o) cos J^ nr

DU CALCUL INFINITESIMAL. i 6 5

Si, dans cette dernière formule, on remet pour S^ sa valeur p—P^^mi-Tr, on obtiendra l'équation

(41) cos[p-P) — ^-^-^ ,

qui coïncide avec la formule (12).

Cherchons encore l'équation polaire d'une parabole dont le sommet coïncide avec le point [P, R), et le foyer avec l'origine. Si l'on désigne par p, r les coordonnées d'un point quelconcjue de la courbe, et par J^ l'angle compris entre les rayons r, R, la formule (39) continuera de subsister. De plus la projection du rayon vecteur r sur l'axe de la parabole aura pour mesure la valeur numérique du produit

r cos tA = r cos [p — P) ;

et, comme la distance du foyer à la directrice sera égale à 2/?, la distance du point {p , r) à la directrice sera évidemment équivalente à

zR — rcos{p — P).

Mais, d'^après la propriété connue de la parabole, cette distance doit aussi être égale au rayon vecteur r. On aura donc

(42) r ■=. 2 R — r cos {p~ P) , ou r=r: —

l -h cos (p — P)

Pour faire coïncider cette dernière équation avec la formule (25), il suffit de prendre pour demi -axe polaire celui qui, partant du foyer de la parabole , se dirige vers le sommet de cette courbe , et de poser en conséquence Pzzzo,

On obtiendrait avec la mcme^ facilité l'équation d'une ellipse dans laquelle un foyer coïnciderait avec l'origine , et l'une des extrémités du grand axe avec le point (P , R). En effet, soient toujours p, r les

1 dd APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

coordonnées polaires d'un point quelconque de la courbe, et <^ l'angle compris entre les rayons vecteurs r et R. Désignons en outre par a le demi -grand axe, et par g l'excentricité. Dans le triangle formé avec ies foyers et le point (/j, r) de la courbe, l'un des côtés , savoir, 1« distance des foyers, aura pour mesure le produit du grand axe par l'excentricité ou la quantité zm , et les deux autres côtés, dont la somme, en vertu d'une propriété connue de l'ellipse, devra être équivalente au grand axe, seront représentés par r et %a — r. Ajoutons que, dans ce même triangle, l'angle opposé au côté 2a — r sera égal à ^^, si le point (P, R) coïncide avec l'extrémité du grand axe la plus éloignée de l'origine, et au supplément de l'angle J^, c'est-à-dire, à tt—S^, dans le cas contraire. Si, pour fixer les idées, on adopte la seconde hypothèse, on trouvera

[i.) cos(vr-J^):= -'^(--)'-(---- 0' ^ i J!(!z:llL , ou

I H- i COS é^

puis, en remettant pour J^ sa valeur tirée de la formule (39),

Cette dernière équation renferme, avec l'angle fixe P, deux autres constantes ^, £, dont l'une pourrait être remplacée par le rayon vecteur R:z::z a [i — ê]. Remarquons de plus que l'on réduira l'équation (44) à la formule (33), si l'on prend pour demi-axe polaire celui qui, partant de l'origine, se dirige vers l'extrémité la plus voisine du grand axe de l'ellipse, et si l'on pose en conséquence P=:o. -

Considérons enfin une branche d'hyperbole dont le foyer coïncide avec l'origine, et le sommet avec le point {P, R). Soient p, r, les coordonnées d'un point quelconque de cette branche, et <A l'angle compris entre les rayons vecteurs r, R. Désignons en outre par 2 a l'axe réel

DU CALCUL INFINITESLVIAL. 167

de l'hyperbole, et par ê l'excentricité. Dans le triangle formé avec les foyers et le point (/), r), l'un des côtés, savoir, la distance des foyers, sera égal au produit zae, et les deux autres côtés, dont la différence devra être équivalente à l'axe réel, seront représentés par r et la-^-r. Ajoutons que, dans ce incnie triangle, l'angle opposé au côté lû-^r sera précisément l'angle <^. On aura donc

cos J^

r^-^izai)' — {2(7-t-r)^

2 (2ai)r

puis, en remettant pour J^ sa valeur tirée de la formule (jp), on trouvera