I -H s cos (p — P
On pourrait, dans cette dernière équation, remplacer l'une des constantes il, e, par le rayon Rz=zû[e—i). Remarquons de plus qu'on réduira l'équation (4<5) à la formule (34). si l'on prend pour demi -axe polaire celui qui , partant de l'origine, se dirige vers le sommet de la branche que l'on considère, et si l'on pose en conséquence P=.o.
Si l'on plaçait l'origine, non plus au foyer de la branche d'hyperbole dont on demande l'équation polaire, mais au foyer de l'autre branche, il faudrait évidemment, dans la formule (45) > remplacer la longueur za-^r par r—ia. On aurait donc alors
(47 COS d^ =. -, -T '
\^ / ' 2 {2 ai)
OU
ecos<) — 1
et par suite
i COS {p P) I
En réduisant, dans cette dernière formuie , la coiTstante P à zéro, on retrouverait l'équation (35).
On peut se servir avec avantage des coordonnées polaires , nonseulement pour exprimer , mais encore pour découvrir "les diverses propriétés des courbes planes, et pour déterminer leurs centres, leurs
axes, leurs diamètres, leurs points singuliers, &c Concevons, par
exemple, que l'on se propose de trouver les deux axes ou l'axe réel de l'ellipse ou hyperbole représentée par l'équation (18). II suffira évidemment, pour y parvenir, de doubler la valeur maximum ou minimum du rayon vecteur r. De plus, il est clair que cette valeur maximum ou mir.imum correspondra au minimum ou au maximum de l'expression
(49) 2. B un zp -^ [A — C] COS 2p ,
et par conséquent à une valeur de p déterminée par la formule
(50) zB COS zp — [A — C)ûn2p :=z o , ou tang a/» =:-j^-^5
qu'on obtient en égalant à zéro la dérivée de l'expression (49)- Oi" on satisfait à l'équation (50) en désignant par 11 un nombre entier quelconque, et prenant
(51) /^ — -j- arc tang ^" ^ ± « tt , ou
(52) ;> — ^ arc tang J-^ ±(/;H-^)
vr.
Ces deux dernières formules, semblables à l'équation (3), représentent deux droites qui se coupent à angles droits et qui coïncident avec les axes de la courbe que l'on considère. Ajoutons que l'on tire de la formule (50)
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 1 69
3in2;7 C052P , I 2Bs\r]2p-{-{A—C]cosip
~TB~ A — C ' V[liB^-^[A-CY] ^B^-^[A — CY '
et qu'en conséquence la valeur maximum ou minimum de l'expression [4,^) sera
(53) ±^{iB^-^{A-CY].
On arriverait encore à celte conclusion en partant Je l'cquation
[zBsin ip^{A—C)coszpY^^iBcos2p—{A-C)s\\MpY=iB'^[A—C)\
de laquelle il résulte que la valeur numérique de l'expression (4c>) est toujours inférieure à la racine carrée de la somme ^B- -h[A — CY , quand la différence zBcosip — {A — C)slnip a une valeur différente de zéro , et devient égale à cette racine carrée , dans le cas où la même différence s'évanouit. Si maintenant on substitue successivement dans la formule (18), au lieu de l'expression {49), sa valeur minimum — \/[4B'-h{A—CY], et sa valeur maximum -^y/[4B'- -^[A—CY] , on obtiendra les deux équations
Il est facile de s'assurer que les valeurs précédentes de r* sont les deux racines de l'équation
déjà obtenue dans la 11.* leçon de calcul différentiel. Comme leur produit, savoir ,
est toujours une quantité affectée du même signe que la différence AC—B-, il est clair qu'elles seront toutes deux positives, si, AC—B''
Levons Je M. Cauchj. i." Année. y
] jo APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
ctant positif, A, C ci K sont des quantités de même signe. Alors les valeurs nuiximum et minimum de /"" fourniront deux valeurs réelles maximum et minimum du rayon vecteur r. Au contraire, la valeur minimum de r- restera seule positive, et la valeur correspondante de ;• restera seule réelle, si AC—B'' devient négatif. On sait effectivement que la condition AC—B^ > o est vérifiée pour l'ellipse, qui a deux axes réels; et la condition AC—B'' <o pour l'hyperbole, qui a un seul axe réel.
Parmi les courbes dont les diverses propriétés peuvent être plus aisément reconnues quand on fait usage de coordonnées polaires , nous citerons tes spirales , qui forment ordinairement un grand nombre, souvent même une infinité de révolutions autour de l'origine, cfe manière à s'approcher ou à s'éloigner de plus en plus de cette même origine. Les spirales qui ont particulièrement fixe l'attention des géomètres, sont la spirale d'Arclnmède , la spirale hyperbolique et la spirale logarithmique.
Dans la spirale d'Archimède , le rayon vecteur r croît proportionnellement à l'angle p. Elle a donc pour équation polaire
(56) r = ap ,
a désignant une quantité constante. Lorsque cette constante est positive, on ne peut attribuer à p que des valeurs positives, puisque r ne doit jamais devenir négatif. Dans la même hypothèse, si l'on désigne par R la valeur de r correspondant à pzizi^TC , on aura
R zzz. z a -K ,
et si l'on fait croître l'angle p depuis zéro jusqu'à l'infini positif, le rayon vecteur r variera entre les mêmes limites. En conséquence , la courbe pourra être considérée comme décrite par un point mobile qui, partant de l'origine des coordonnées, tournerait une infinité de fois, avec un mouvement de rotation direct, autour de cette origine, et s'en éloignerait indéfiniment. Si , dans l'équation {56) , on substitue à fa constante a le rayon vecteur R , cette équation deviendra
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. I 7 i
et si l'on prend, avec Archimède, le rayon R pour unité de longueur, on aura simplement
La spirale hyperbolicjue est celle dont on obtient l'équation polaire en écrivant les coordonnées polaires r et p à la place des coordonnées rectangulaires at et ^ dans l'équation xy:zzzii, qui représente une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes. Cette spirale sera donc représentée par la formule
{59) rp — a , ou '■— "7*
Si l'on suppose la constante a positive, p devra l'être pareillement; et si l'on fait varier p entre les limites o, 00, r variera entre les limites 00, o, de manière que l'oii ait
r —z 00 pour p ziz o ,
et
r = o pour p rz: 00.
En conséquence la courbe pourra être considérée comme décrite par un point mobile qui , partant d'une position dans laquelle il se trouverait placé à une distance infinie de l'origine des coordonnées, tournerait une infinité de fois , avec un mouvement de rotation direct , autour de cette origine, et s'en approcherait indéfiniment sans pouvoir jamais l'atteindre, r ne pouvant s'évanouir que dans le cas où ie nombre des révolutions deviendrait infini. Ajoutons que la spirale hyperbolique a pour asymptote la droite parallèle à l'axe des x , et dont l'équation en coordonnées rectangulaires est {60) y ■=:: a.
En effet , on tire de l'équation (jp) combinée avec la seconde des formules (1)
172 APPLICATIONS GEOMETRIQUES
sin V
et par conséquent y=^û, pour une valeur nulle da p , k laquelle correspond, comme on l'a déjà remarqué, une valeur infinie de r.
La spirale logarithmique est celle dans laquelle l'angle p se réduit au logarithme du rayon vecteur r. Si les logarithmes sont pris dans le système dont la base est A , et indiqués par la caractéristique L, alors, en posant
on trouvera pour l'équation polaire de la spirale logarithmique
(6.) \ p — L{r]=ial{r),
ou
Si le nombre A est supérieur à l'unité, la constante û sera positive^ Alors , tandis que p variera entre les limites
r sera toujours positif, et variera entre les limites
De plus, on aura r=ri pour/?:^o. Cela posé, on pourra évidemment considérer la spirale logarithmique comme décrite par un point mobile qui, placé d'abord sur le demi-axe polaire, à la distance i de l'origine des coordonnées, tournerait une infinité de fois, avec un mouvement de rotation direct ou rétrograde, autour de cette même origine, de manière à s'en éloigner indéfiniment dans le premier cas, et à s'en rapprocher indéfiniment dans le second, mais sans pouvoir jamais l'atteindre.
DU CALCUL liNFINlTÉSLMAL. 17^
Lorsqu'une courbe plane est représentée par une équation en coordonnées polaires, pour la faire tourner autour de l'origine de manière que chaque rayon vecteur décrive un angle égal k P , il suffit évidemment de remplacer ia coordonnée/» -par p-^P, en ayant soin d'attribwer à la quantité P une valeur positive , quand le mouvement de rotation est direct , et une valeur négative dans le cas contraire. En opérant comme on vient de le dire sur l'équation {6z), on obtiendra la formule
qui représentera la spirale logarithmique dans une position nouvelle. Alors , si l'on désigne par R le rayon vecteur correspondant à p=zo , on aura
et l'équation (63) pourra être présentée sous la forme
(^5) r = Re'' ou p = a[l{r) — / {R)],
Si, dans la dernière formule, on substitue aux coordonnées r et p leurs valeurs en x et y tirées des équations (i), savoir,
[66) ;7 r= arc tang ((^]) , r =: /(a-h-/) ,
on retrouvera précisément l'équation (4?) de la première leçon, c'est-àdire , l'équation de la spirale logarithmique en coordonnées rectangulaires.
