DOUZIÈME LEÇON

Usage des Coordonnées polaires pour la détermination de l'Inclinaison , de l'Arc , du Rayon de courbure, i^'c... d'une Courbe plane.

Si l'on veut substituer les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires, dans ies formules qui déterminent l'inclinaison , l'arc ou le rayon de courbure d'une courbe plane , il suffira de recourir aux équations (i) A- :::r r cos/; , yznzr^xwp.

Ainsi, par exemple, la formule tang -^ '. —

dx

que nous avons établie dans la première leçon [page 36], et qui fournit pour l'angle \ une infinité de valeurs numériques dont la plus petite est linclinaison de la courbe, deviendra, en vertu des équations (i) ,

r dp

. , , tang ;'H

tang \

i\npJr-t-rcospdp

cospdr — ri\nydp

rdp

i-tang;P-yf-

et l'on en conclura,

rdp tans 4- — tangp , i ,

__i rz: S-ï^-i 5^ z=: tang (X— />

dr i-t- tang -J, . tang n o ^ t / /

OU

xi>

coi{^—p)=-^

dp

DU CALCUL INFJNITESLVLAL. 1^7 r

On pourrait, au reste, établir directement la formule (4). En effet , comme on a, en vertu des formules (i) et (2),

C0!'/7 fin/7 cos 4. sin ,],

X ' j/ d X dy

on trouvera

, s / [ \ C0?(4-— jPI cos;7COî4--»-sin;;5in4- xdx-^ydy

^^ ' ^ ' ' ■ i\n(-\,—p) cos^sin,]^ — %\npcQ%\ xdy — ydx

D'ailleurs on tire des équations (i)

[6) r*- z=z x'- ->,- y- , ^ = arc tang M—]], et par suite

2rar=z zxcix -i- 2ydy , apz=t — ^ — n: — :- — - — ,

ou , ce qui revient au même ,

(7) rdr::^xdx-^ydy, r^ dp -=. xdy — ydx.

li en résulte que le dernier membre de la formule (5) peut être réduit à

r' dp rdp

et cette formule elle-même, à l'équation (4).

On pourrait encore parvenir très- aisément à la formule (4) en s'appuyant sur les principes établis dans la ^/ leçon. En effet , on a vu dans ia leçon précédente que l'équation polaire d'une droite dont les coordonnées variables sont r et p , est de la forme

(8) rsin [p — \,) ■=. Rsm [P — |/) nr coast. ;

et, pour que cette droite touche une courbe plane en un point donné, il faudra [voyei h p.* leçon] que les valeurs des quantités

dr

relatives au point dont il s'agit restent les mêmes dans le passage de la droite à la courbe. Or, en différenciant l'équation (^) , on obtient la suivante ,

(^) sin {/J — 4/) ^f -I- cos (/; — 4-) •'■^Z' = o ,

qui coïncide avec la formule [{). Donc cette formule devra être vérifiée , pour le point de contact , par les valeurs de r et -, — tirées de

l'équation de la courbe.

Dans le cas où l'on prend p pour variable indépendante, et où l'on

désigne par

' Il III p, r , T , T , <>.c

les dérivées successives de r relatives à p , savoir,

dr d^r d^T „

) —T-r- ' —r— J OCC.

dp dp^ dpi

l'équation (4) devient simplement

(lO) COt{'\^—p) = ^'

La formule (4) ou (lo) une fois obtenue, il est facile de trouver les équations polaires de la tangente et de la normale menées à une courbe plane par un point donné. Concevons, par exemple, que, p, r désignant toujours les coordonnées du point de contact, P, R deviennent les coordonnées variables de la tangente. L'équation polaire de cette droite sera (il) Rsin{P — [.) = rsin(/7--|).

pourvu que l'on détermine l'angle 4^ par la formule (4) ou (lo). Or, en raisonnant comme on l'a fait pour établir l'équation (lo) de la

ri.^ leçon, on reconnaîtra que la formule (i i) peut s'écrire ainsi qu'il suit :

/ \ BcoslP — p) — r , / I \

^''^ RsLiP-p) ^C0t(4-^).

Donc, en remettant pour cot(4/— /») sa valeur, on trouvera définitivement

- > P cos{P--p) — r dr r'

^^^' Rsini^P-p) rdp ~i~*

Telle est l'équation polaire de la tangente. Pour obtenir celle de la normale , il suffira évidemment de remplacer dans la formule (12) l'angle ^z P^r l'angle -j' — — O" aura donc, en désignant par P, R les coordonnées variables de la normale ,

, .. Rcos(P — p) — r , 1 . rdp r

('4) rI^p!:,^ z^-tang(^-;.) = — ^=:- — .

Soit maintenant l'angle 0 compris entre la courbe que l'on considère et le cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon r , c'est-àdire , l'angle aigu formé par la tangente à la courbe avec la perpendiculaire à ce rayon. — y sera l'angle aigu compris entre le même

rayon et la tangente, et par conséquent la plus petite des valeurs numéf riques de \—p- On aura donc

tangu = ^^^\~ ^) =^ ~ ^^^ (4""/') »

et par suite

(15) tangur=d=^ = ±-^M-, ou {16) tango z=i!=-^.

De plus , comme la quantité tang u sera essentiellement positive , et que, pour de très -petites valeurs numériques de Ap, le rapport

Leç>ns de " ^, Cauchy. i /= Année, 2

— — se trouvera toujours affecté du même signe que sa limite -7— — '''»

on devra évidemment, dans les seconds membres des équations (15) et (16) , préférer le signe -f-, si , à partir du point [p, r), le rayon r croît avec l'angle p , et fe signe — dans le cas contraire.

Observons encore que de l'équation (16) on déduit immédiatement les deux suivantes ,

(17) coso:=db -I — —- , sin t; = db— T-— ^ — r-^-

Concevons à présent que l'on désigne par s l'arc de la courbe donnée, compté à partir d'un point fixe pris sur cette courbe, et par / le rayon de courbure. On aura [5.^ et 6.^ leçons]

(i8) dy=dx^^dy\ (ip) '-=±±L£1=±ÉJL.

En substituant dans ces dernières formules les valeurs de x,y tirées des équations (i), on trouve, après les réductions effectuées,

(20) ds^ = dr^-^rUp\ (21) I^± r[drdy-.dpd^r)M-àr^^r^dp^)dp .^

■f [dr^'-i-r'Jp^)^

puis on en conclut, en prenant p pour variable indépendante, ^^r--4-r . (23) -

/, \ '/■f' , , 'z I \ • i ''^ — rT"-\^2.T

Il est essentiel d'observer qu'on abrège les calculs et qu'on n'a plus besoin d'effectuer aucune réduction, quand, au lieu des équations (f), on emploie les suivantes ,

(24) xH-^l/-r=r.^^^, x^yy'-r=:-'-'^-

Ainsi , par exemple, en prenant x pour variable indépendante, on tirera des équations (24)

dx — dy ]/ — I =z [r — r \/^) e ' " dp ,

d\x -f- 4-^-|/Zr7 z=z[r" — r~+- 2 r'|/IH7) e' ~' dp , d^x — d-y\/ — I =(/' — r — 2r'-\/ — .i) e dp.

Or, si l'on multiplie l'une par l'autre, i." les équations (25), 2." la seconde des e'quations (25) et la première des équations (26) , on trouvera immédiatement

(27) • dx'-\-dy' = {r--^r")dp^ ,

et l'on reconnaîtra que la différence dxd^y~dy d"" x est égale au coefficient de -j/ — I dans le produit

en sorte qu'elle a pour valeur

{28) dxd'y — dyd^x=:[2r"~rr"-hr*)dpK

Si l'on cessait de prendre p pour variable indépendante, on trouverait

{zp) dx'- -h-dy^ == dr^ -^ r* dp'^ ,

fj o) dx d'-y -'dyd'x = r {dr d'p — d p d^ r) ~\- {2 dr -4- r^ dp'- ) dp.

En ayant égard aux formules (27) et (28) ou (2p) et (30) , on déduira évidemment les équations (22) et (23) ou (20) et (21) des formules (18) et {19).

Soient maintenant ^, r les coordonnées rectangulaires du centre de courbure correspondant au point {x,y), et P, R les coordonnées polaires du même centre , liées aux premières par les formules

(31) ^ = RcosP, ^=:zRs'mP.

l8o APPLICATIONS GÉOxMÉTRIQUES

O/i aura [voyei la 7.^ leçon]

^J ' dx — dy dxd-y — dy d^ x

et l'on en conclura

/(ii->')-Hx(^ — x) x{n-y)—y{l—x) dx'-^dy'-

ydx — xdy xdx-^-ydy dxd'y — dyd-x

OU , ce qui revient au même ,