I-4-/H — (x^-t-y) xK — y^ dx'-^dy
ydx — xdy xd x-i-ydy dxd'y — dy d^ x
puis, en substituant les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires à l'aide des formules (i), (7), (25)), (30) et (3 1), on trouvera
. Rcos{P-p)-r ;?sin(P-;^) dr^ -k-r^dp^
^34j —rdp 7r r{drd'p — dpd^r)->-lldr'-i-r'dp^)dp
Si l'on prenait^ pour variable indépendante, on aurait simplement
(35) I -cos(P-/7)zz:-^sin(P-;;)=r ,^,lj^^'^^. '
On tire de cette dernière formule
R sm (P — p)^=:r — r >
/? cosfP — p) = r II r: -, -]=zr —m ■■^,, >
et par suite
tang \P—p) = ~ ■>
[2r'' — rr"-+- r-)'
Ajoutons que la formule (35) peut s'écrire comme il suit , (38) ^—±ç:os{P-p)=A-s\n{P-p)=±:-,^/^^..^
DU CALCUL INFLNITÉSL\L\L. i 8 I
et entraîne par conséquent les deux équations
R sin {P — p)=:dz.^^/^^,^^ f — ±fsmv,
R cos {P-p)-r = rii ^^,.^,,.) f=:qzfcosv.
II serait facile de parvenir aux formules (21) et {^4) > en partant des principes établis dans la 9.^ feçon. En effet , le cercle décrit du point {P, R) comme centre, avec le rayon f, a pour équation polaire [voyez la leçon précédente]
(40) r'--zRrcos'{P—p)-hR'=f\
Or, admettons que le même cercle devienne osculateur d'une courbe donnée en un certain point pris sur cette courbe, c'est-à-dire, qu'il acquière en ce point avec la courbe un contact du second ordre ou d'un ordre plus élevé. Non-seulement les coordonnées p, r, mais encore les différentielles (ip, d' p , dr , d'r devront conserver les mêmes valeurs relatives au point de contact dans le passage du cercle à la courbe. En d'autres termes , les valeurs de
p, dp, d'- p ; r, dr, d^ r ,
tirées des équations de la courbe , devront satisfaire à l'équation finie
du cercle et à ses équations différentielles du premier et du second
ordre. D'ailleurs, ces trois dernières équations pouvant s'écrire comme il suit ,
( [Rûn{p — P)Y-^[R<:o^{p — P) — r\ — f, (4iK Rrûn{p — P)dp-~[Rcos[p — P) — r]dr=o ,
\ Rsin{p-P).[rdy^2dpdr]-[Rcos{p-P)-r]{d'r-rdp') = - {dr-^r'dp') ,
on en tirera immédiatiment la formule
Rcoi{p-P)-r __ Ps\n{p-P) \[Rsm{p-P)y-i-[Rcos{p-P]-ry ]
dp dr V[dr^-i-r^dp^) V[dr^-+-r^dp')
Rim{p-P).[rd'-p-^zJpdr) — {Rcoi{p-P)-T]{d'r-rdp^) r{drd'p — dpd^r)-^-[2dr^-t-r' dp')dp
dr^-^-r^dp'-
r{drd^p — dpd^r)-i-{2dr^-i-r' dp^)dp
cjiii comprend à elle seule l'équation (21) et la formule (54)-
li ne sera pas inutile d'observer qu'on pourrait e'tablir directement et par des considérations purement géométriques la plupart des formules qui précèdent. C'est ce que nous allons faire voir en peu de mots.
Considérons sur une courbe plane deux points très -voisins dont les coordonnées polaires soient respectivement;?, r, etp-\~Ap, r-+-Ar. Désignons à l'ordinaire par s l'arc de la courbe renfermé entre un point fixe et le point {P, R), et par v l'angle aigu que forment, en se coupant, la courbe et le cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon r. Les arcs compris, sur la courbe et le cercle dont il s'agit, entre les rayons vecteurs r et r-^Ar, seront évidemment représentés par les valeurs numériques des deux expressions
As, rAp;
ei si l'on nomme co l'angle aigu que les cordes de ces arcs forment entre elles , ce aura précisément pour limite la quantité v. Ajoutons que les deux cordes et la longueur itAr composeront un triangle rectangle dans lequel le côté "zïzAr sera opposé à l'angle «. Dans le même triangle, lorsque l'arc itAj deviendra infiniment petit, l'angle opposé à la corde de cet arc différera très -peu d'un angle droit, et pourra être représenté en conséquence par
e désignant une quantité infiniment petite. Par suite , le troisième
DU CALCUL INFINITÉSIMAL. l 8 3
angle oppose à la corde de l'arc ztzrAp, sera
et, en comparant deux à deux les sinus des angles aux côtés qui leur sont opposés, on établira les équations
Ar sin M , rAp
As ~
sm
sin (-^ w =p e ]
'^"(t-— 0 ^' sin(-J-±g)
desquelles on tirera, en écrivant cos(a>±:e) au lieu de sin ( — (i)q=ej} et passant aux limites,
2) zr:-r-=sin ti , rn , - ■ =^ cos v.
' as as
Si l'on divise les formules (4 2) l'une par l'autre, on retrouvera l'équation (15). Si au contraire on les ajoute, après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d'elles, on obtiendra la formule
(f r- -+- r' dp''
ds^
qui coïncide avec l'équation (20).
Considérons maintenant le triangle qui a pour sommets l'origine des coordonnées , le point (/? , r) de la courbe plane , et le centre de courbure correspondant à ce point. Si l'on désigne par / le rayon de courbure, et par [P , R) les coordonnées du centre de courbure, les trois côtés du triangle seront respectivement r, R et f. De plus, il est clair que, dans le même triangle, l'angle aigu ou obtus compris entre le rayon vecteur r et le rayon de courbure /, perpendiculaire à la tangente , sera équivalent à l'angle t; compris entre la tangente et la perpendiculaire au rayon vecteur, ou au supplément de l'angle v. Enfin, si l'on nomme .cA l'angle renfermé entre les rayons vecteurs r et R , on aura évidemment [voyei l'équation (jp) de la leçon précédente]
l84 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
(43) ±S^=zp — P±L^ti'7ir,
n désignant un nombre entier qui pourra se réduire à zéro. Quant au troisième angle , il aura pour supplément la sojnme des deux autres , savoir ,
J^-t-O, ou S^-k-TT — V.
Cela posé, si l'on compare les sinus des trois angles aux trois côtés, on trouvera
sin u sin /• sin(u-l-t^)
et l'on en conclura
( /? sin J^ = / sin u ," ^^^' j /?cosJ\ — r = qr/cosw.
Si dans ces dernières formules on remplace l'angle <A par sa valeur tirée de l'équation {if}, on obtiendra de nouveau les formules (3^).
Il nous reste à montrer quelques applications des formules générales que nous avons établies.
Si nous considérons la spirale d'Archimède représentée par l'équation
(46) r = ap.
on trouvera
et par suite, en supposant la constante a positive ,
(48) tango =r cot(4/-/j) = -^>
En même temps les formules (37) donneront
j iang{P-p)=p-h-^,
Cela posé, on aura, pour une valeur nulle de l'angle p ,
(51) tangtj — cot(4)=:tangPr= ^, ^="T' / = ^ = T" ' et , pour une valeur infinie de /< ,
(52) tangv:=:o, tj =z o , tang (P— /') zzz — > — :=zo, /?=ri/.
On conclut aisément de ces diverses formules, i .° que la spirale d'Archimède touche, à l'origine des coordonnées, le demi-axe polaire; i.'' que, pour des valeurs croissantes de p, l'angle v et la courbure
— décroissent indéfiniment dans cette même spirale , tandis que la valeur de R croît sans cesse, mais de manière à demeurer comprise entre les limites R z:^ — , R :=z a ; 3.° que, pour des valeurs trèsconsidérables de /', le rayon R mené de l'origine au centre de courbure devient sensiblement égal à la longueur ii . et sensiblement perpendiculaire au rayon vecteur r. Ajoutons que , si , dans la première des formules (50), on substitue la valeur réelle et positive de p tirée de la seconde, ou, ce qui revient au même, de la formule
on trouvera pour l'équation polaire de la développée
tang( P
Leçonsde M.Cauchy. i.« Année, Ail
lS6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Cette développée est évidemment une nouvelle spirale qui offre un point d'arrêt correspondant aux coordonnées Rziz — , /' = — ', qui est normale en ce point au cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon —5 et qui, en s'éloignant de ce même cercle , fait une infinité de révolutions autour de l'origine, de manière à s'approcher de plus en plus de la circonférence d'un second cercle concentrique au premier et décrit avec un rayon deux fois plus grand. Comme la nouvelle spirale et la circonférence qui s'en approché indéfiniment ne se rencontreront jamais, on peut dire que ces deux courbes sont asymptotes l'une de l'autre.
Si à la spirale d'Archimède on substituait celle qui a pour équation
i5i) r = ap" ,
on trouverait
(55) r'^z/rt^"-' =:-^, r"z^n[n — i)np''~'-'=^ : »
et par suite
(56) tangt; = cot(4— /')=y ,
Trr >
Si, dans les formules qui précèdent, on suppose fa constante « positive, on trouvera encore, pour une valeur nulle de p ,
(5P) tangos cot4=:^, „ — -^,
et pour une valeur infinie de p ,
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 187
{60) tangt»==o, t;::=o, tang(f*— /^)= — •
On en conclura que la courbe touche à i origine le demi-axe polaire, et devient, pour de grandes valeurs de p , sensiblement perpendiculaire au rayon vecteur r. Dans la même hypothèse, les valeurs de f et de R, correspondantes à des valeurs nulles ou infinies de l'angle p, seront, comme cet angle , nulles ou infinies , à moins que Ton ne suppose ti=i , c'est-à-dire, à moins que la courbe (54) ne se réduise à la spirale d'Archimède. Ajoutons que, pour obtenir la développée, il suffira d'éliminer p entre les équations (58).
Si l'on considère la spirale hyperbolique représentée par l'équation
{61) rp z= a.
on trouvera
et par
suite ,
en
supposant
la
:onstante a
positive ,
tang V
col
tang {P — p)z=p-\- -^,
Cela posé, on aura, pour une valeur nulle dç p ,
[66) tang o = cot'v|/= tang/' =r — , lizz: — > f^^R et pour une valeur infinie de p ,
(67) tango=ro, i^ ^ o , tang(P— /») =:-^ > f^R
■TT n I
Aa'
l88 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
On conclut aisément de ces diverses formules, i .° que l'angle v est sensiblement droit et la courbure sensiblement nulle pour de trèspetites valeurs de p , c'est-à-dire, dans la partie de la spirale hyperbolique qui est très-éloignée de l'origine et se confond à très- peu près avec l'asymptote de cette courbe; 2.° que, pour des valeurs croissantes de l'angle p, l'angle v diminue sans cesse depuis ui=:-> jusqu'à urzo, et qu'on peut en dire autant du rayon de courbure f et du rayon vecteur R, dont les valeurs, d'abord très-grandes , finissent par s'évanouir. Ajoutons qu'il suffira d'éliminer p entre les formules (65) pour obtenir l'équation de la développée, qui sera ime nouvelle spirale, et qui aura, comme la spirale hyperbolique , la propriété remarquable de s'approcher indéfiniment de l'origine, sans pouvoir jamais l'atteindre.
Considérons enfin la spirale logarithmique représentée par l'équation
On trouvera
et par suite
{70) taugv^cot{^-p) — -^,
(71) ^=^n J y ^'' — (H-^)V — rséco.
La formule (70) suffit pour faire voir que la tangente et la normale à la courbe forment constamment les mêmes angles avec le rayon vecteur r. On déduit immédiatement de cette remarque les constructions géométriques précédemment indiquées [ page 4^ ] comme propres à fournir toutes les droites tangentes et normales menées à la courbe par un point donné. De plus, on tire des formules (36)
DU CALCUL LNFINITESLMAL. , Sa
(,,) I /?sin(P-,) = .' = -^.
/ R cos [P — p) z:r o ; et i'on en conclut {■j^) cos {P—p)^= o , sin(P— /7)=i,
La plus petite valeur positive de P qui puisse vérifier les équations (73) étant
on peut affirmer que les rayons vecteurs r et R de la courbe et de sa développée se coupent à angles droits, ou, en d'autres termes, que r et R sont les deux côtés d'un triangle rectangle qui a pour hypothénuse le rayon de courbure. Enfin , si l'on élimine r et p entre les formules (68), (74) et (75), on trouvera pour l'équation polaire de la développée
En remplaçant , dans cette dernière formule , R par r , et P par p -i- -^ -i- û / {a) , on serait évidemment ramené à l'équation {68). Il en
résulte , i .' que la spirale logarithmique et sa développée sont deux courbes.de même forme et de mêmes dimensions; 2° que, pour obtenir la développée , il suffit de faire tourner la développante autour de l'origine, de manière que chacun de ses points décrive, avec un mouvement de rotation direct, un angle égal à \-ûI(û).
