J.=1I.^^ = IZ1L

\ J' cos a cos b cos c

et par suite

On pourrait, au reste, établir directement cette dernière équation en projetant successivement sur les trois axes des ^ , y , 1 les deux longueurs

DU CALCUL 1NFINITÉSL\L\L. l 9 1

comprises, d'une part, entre le point (.v, y , ^) et le point (^, r, Z^, de l'autre, entre les points {x,y, 3) et (x-h-Ax, y-^ùn-y , ^-HAr). En effet, il serait facile de reconnaître, i.° que chacune des fractions comprises dans la formule (4) est équivalente, au signe près, au rapport entre les projections des deux longueurs sur un même axe , et par conséquent au rapport des longueurs elles-mêmes ; 2.° que ces trois fractions sont des quantités de même signe, savoir, des quantités positives, lorsque les points (^, n, ^) et (.v-+-Aa-, y->r^y , ^-H-^s) sont situés du même côté par rapport au point {x , y , 3), et des quantités négatives dans le cas contraire. La formule (4) ainsi établie s'étend évidemment au cas même où l'on désignerait par x , y , 1 des coordonnées rectilignes obliques.

Concevons à présent que le point (x-t-Ax, y-k-ù^y, ^-H ^s) vienne à se rapprocher indéfiniment du point {x , y , ^). La sécante qui joint les deux points tendra de plus en plus à se confondre avec une certaine droite que l'on nomme tangente à la courbe donnée, et qui touche la courbe au point [x, y, ^). Pour obtenir les angles et, /3, y que forme cette tangente prolongée dans un certain sens avec les demi-axes des coordonnées positives , il suffira de chercher les limites vers lesquelks convergent les angles a, h, c, tandis que les différences Ax, A/, A^ deviennent infiniment petites. Cela posé, si l'on a égard au principe établi à la page \6 du calcul différentiel , on tirera des équations (i) et (2)

(5) COScC = ■ — -— -—■, COSp =: -TT-7-; — ^-ï — TTv' COS7 = -;7-ri — j-i — 7T->»

1/^ cosa cos /S cos -y

d X dy d ^

Si, de plus, on nomme ^, «, C ^^s coordonnées d'un point quelconque; non plus d'une sécante, mais de la tangente à la courbe, la formule (18) des Préliminaires donnera

^'' cosa cos /J cos >

I()2 APPLICATIOISfS GEOMETRIQUES

et i'on en conclura

\^) dx dy di '

Les formules (5), (é), (8) subsistent, quelle que soit ta variable indépendante. La dernière peut être immédiatement déduite de l'équation (4) ; et par conséquent la formule (8) s'étend au cas même où l'on désigne par X, y, i des coordonnées rectilignes , mais obliques.

On dit qu'un plan est tûiigent à une courbe en un point donné , quand il passe par la tangente en ce même point. D'après cette définition il est clair que par un point donné sur une courbe quelconque on peut mener à cette courbe une infinité de plans tangens.

On dit qu'une droite est normale à une courbe, en un point donné, lorsqu'elle est perpendiculaire à la tangente en ce point. Cela posé , on pourra évidemment mener à une courbe par chaque point une infinité de normales qui seront toutes comprises dans un même plan. Ce plan unique est ce qu'on nomme le pian normal. Si l'on appelle toujours au, Q, y les angles formés par la tangente à la courbe que l'on considère avec les demi-axes des coordonnées positives, et si de plus on désigne par ^, r , T les coordonnées d'un point quelconque du plan normal, l'équation de ce plan [voyei la formule {66) des Préliminaires] sera {9) {^ — x)cos CL -{~{^— y) cosfè-\-{^ — z) cosy=zo ,

ou, si l'on a égard à la formule (6) ,

Cette dernière formule subsiste, quelle que soit la variable indépendante. Soient maintenant

les deux équations de la courbe donnée, c"est-à-dire, les équations de

DU CALCUL INFINITÉSIMAL. ip^

deux surfaces qui la renferment, en sorte que u et v de'signent deux ^fonctions des trois variables x,y, i. On tirera des formules (i i)

du , du , du ,

dv . dv j dv ,

V dx'^^-^Ty'^y-^dl'^Z^^o; puis, en ayant égard à la formule (6) ,

(du du ^ du

\ — cos et -+- — cos (b -f- "tr cos y = o ,

] dx dy '^ di '

\ dv dv ^ dv