I -p cosct-J- — coSjb-H — cosy = o
r ax dy a^
Ces dernières , jointe^ à l'équation
( 1 4) cos " oL -H cos* /3 -1- cos^ y = I ,•
suffiront pour déterminer, aux signes près, les valeurs de cos*, cos/3, cos y. On en conclura effectivement
, . cos a, COS& cos >
du dv
TyTi
du dv di dy
du dv
TiTx~
du dv ~ TxJi
du dv dx dy
du dv dy dx
r l du dv du dvK'- /du dv du dv\- f du dv du dv\^~\^ l\d}dl~dldj'j~^\dld^~~d^dl)~^[did}~d}d^) J
Cela posé, les formules (7) et (9), c'est-à-dire, les équations de la tangente et du plan normal , deviendront
du dv dy^d^
du dv dldy
du dv
TiJx~
du dv ~ d^dl
du dv dx dy
du dv ' dy dx
et
/.\ (dudv ■ dudv\.y . Idiidv dudv\, v 1 du dv dudv\,^ .
Ajoutons que la formule [i6) peut être remplacée par les deux équations
Uçoni de AJ, Cauchj: i ." Année. g ^
{ , y y du , ^ d U , y, ^ d II
\ , u , d V , ^ d V ,y. s dv
que l'on déduit immédiatement des équations (12) combinées avec la formule (8). Les équations (r8), toutes deux linéaires par rapport aux variables ^, >i, ^, représentent deux plans qui se coupent suivant la tangente , et qui correspondent aux deux surfaces dont l'intersection produit la courbe donnée. De plus, il résulte évidemment des formulés (12) et (18) comparées entre elles que, pour obtenir les é^juations de la langeiite à une courbe quelconque , il sufiî de remplacer , dans les équations différentielles de la courbe , les différentielles dx , dy , di par les différences finies ^ — x, n—y, C,— Z'
Lorsque u est une fonction de» seules variables x, y , la première des formules (ii) représente la projection de la courbe sur le plan des ..V, y. Dans le même cas, la première des équations (i 8) , réduite à la forme
représente à-la-fois la tangente de la projection et la projection de la tangente. La remarque que nous venons de faire étant indépendante de la position du plan des .v, y , il est permis de conclure que la projection de la tangente à une courbe quelconque sar un plan donné se confond toujours avec la tangente de la courbe projetée sur le même plan. On pourrait encore établir ce principe par la seule géométrie. En effet, soit [P) un point choisi à volonté sur une .courbe quelconque, et [Q) un second point très-voisin du premier. Supposons de plus que, la courbe étant projetée sur un plan donné, on désigne par [p) la projection du point iP)y et par [q) la projection du point [Q). Enfin, concevons que le point (Q) vienne à se rapprocher indéfiniment du point {P), ce qui ne peut avoir lieu sans que le point [q) se rapproche lui-même indéfi-
DU CALCUL INFINITESIMAL. l 9 5
niment du point {p). La sécante ^^ de ]a courbe consiilcrce dans iespace aura évideinment pour projection la sécante p^ de la courbe projetée; et comme cette proposition sera vraie, quelque petite que soit la distance des points (P) et {Q) , on peut affirmer qu'elle subsistera encore à la limite, c'est-à-dire, lorsque les sécantes PQ, pq se transformeront dans les tangentes menées à la courbe proposée par le point {P) , et à !a courbe projetée par le point [p).
Nous allons maintenant montrer quelques applications des formules qui précèdent.
y."" Exemple. Considérons l'ellipse produite par l'intersection du cylindre à base circulaire qui a pour équation
(20) .y"H-/ = /?^, et du plaiî
(21) Ax -^ By -^ Cl — D.
Les équations différentielles de cette ellipse étant respectivement
(22) xdx -\- ydyz^ o , A dx -h Bdy -^ Cdi=z o ,
les angles a, /3 , y, formés par la tangente avec les demi -axes des coordonnées positives, vérifieront les deux formules
(23) .vcosct-h^cos/3 = G, /i cosctH-^cos/S-t-Ccosy = o. On aura en conséquence
cos a co>)S cos ■)- [ I
De plus, on trouvera pour les équations de la tangente
ou , ce qui revient au même ,
(25) x^-\-yT — R^, AI^By-^C^ = D;
Bb'-
et l'équation du plan normal deviendra
ii6) C{^y-^x)-^-{Bx-Ay){^-z) = o.
Les équations (25) représentent, comme on devait s'y attendre, la tangente au cercle qui sert de base au cylindre dans le plan des x,y, et ie plan même de la courbe que l'on considère.
2.' Exemple. Considérons la courbe produite par l'intersection du cône droit à base circulaire, qui a pour équation
et du plan
(28) Ax -^ Bj-{- Cz = D.
On trouvera pour les équations de la tangente
(29) x^-\-yr = a'z^r A^-h B^ ~\- C^— D , et pour l'équation du plan normal
(30) C{ly-rx)^{Bi-A^)a^Z^{Bx-Ay){t,-i-a^l) = o.
Les équations (29) représentent , comme on devait s'y attendre , deux plans dont l'un passe par l'origine et par une génératrice du cône , tandis que l'autre se confond avec ie plan de la courbe. Il suffit de construire ces deux plans pour tracer la tangente à la courbe proposée, qui peut être une section conique quelconque.
j'./ Exemple. Considérons la courbe produite par l'intersection de la sphère
(31) X' -\- y' -^- z' — R^ et du cylindre droit
(32) [x — hRY-^z'- = ^R"^ ou A-'-/?x+^^ = o;
dont la base est un cercle qui a pour diamètre le rayon de la sphère.
Cette courbe aura évidemment pour projections, sur le plan des x,y, la parabole [II) f = R{R — x);
sur le plan des Z' ■'^> '^ cercle qui sert de base au cylindre, et sur le plan des y, i, la. lemniscate représentée par l'équation
Donc la tangente à la courbe proposée aura pour projections sur les plans coordonnés les tangentes à la parabole au cercle et à la lemniscate , c'est-à-dire , les trois droites représentées par les équations
( R'z<:^ — {R' — 2y')yri=y-.
Quant à l'équation du plan normal, elle peut être présentée sous la forme
A l'inspection de cette dernière, on reconnaît immédiatement que le plan normal renferme le rayon vecteur mené de l'origine au point (v,^).
^.' Exemple. On nomme /le'lice une courbe tracée sur la surface d un cylindre droit à base circulaire, de manière que la tangente à la courbe forme toujours le même angle avec la génératrice du cylindre. Supposons, pour fixer les idées, que i'axe du cylindre, qu'on peut aussi appeler l'axe de l'hélice , se confonde avec l'axe des i, et que la base du cylindre coïncide avec le cercle représenté par l'équation
Considérons , dans ce même cercle , un rayon mobile qui , d'abord appliqué sur le demi -axe des x positives, tourne autour de i'origine
avec un mouvement de rotation direct ou rétrograde. Enfin, nommons p i'angle variable que ce rayon décrit, pris avec le signe +, dans le cas où le mouvement de rotation est direct , et avec le signe — dans le cas contraire. Il suffira , pour construire une hélice , de concevoir qu'à partir de l'extrémité du rayon mobile on porte sur la génératrice du cylindre , dans le sens des 1 positives lorsque p "sera positif, et dans le sens des 1 négatives lorsque p deviendra négatif, une longueur proportionnelle à l'angle li/», ou, ce qui revient au même, à l'arc rt /?/? compris entre les côtés de cet angle, et représentée en conséquence par un produit de la forme dtzûRp [a désignant un nombre constant]. En effet, soient .v, y, 1 les coordonnées de la courbe décrite par l'extrémité de cette longueur : on aura évidemment
[■^^) x^zRcosp, yzi^Rsinp, z=:aRp,
et l'on en conclura
(39) dx z=z — Rs'mdp , dy=zRcospdp, di^i^a Rdp.
Cela posé, les formules (5) donneront
(40) cosct:=: 77 — ^-TT' cosp=::— 77 — =-— - ? cosy = — n rr
Or, il résuite évidemment de la dernière des équations (4o) que l'angle 7 formé par la tangente à la courbe avec l'axe des 1 , et par suite avec la génératrice du cylindre , est un angle constant.
Pour obtenir les équations de l'hélice en coordonnées rectangulaires, il suffirait d'éliminer p entre les formules (3 8). Si l'on commence par éliminer/? entre les deux premières, on retrouvera l'équation (37), qui est effectivement une des équations de la courbe. De plus, on tire des formules (3 8)
