I- — tang p , p = aTC tang

et par suite

(40 -^=tang^, ou 2 = .2/?arciang((-^]].

Cette dernière équation représente fa surface helicoiJe engendrée par une droite qui reste toujours comprise dans un plan mobile perpendiculaire à l'axe des 1, qui rencontre cet axe au même point que le pian, et qui tourne autour du point de rencontre de manière à décrire dans le plan mobile des angles proportionnels aux distances parcourues par le point dont il s'agit. Comme la même surface coupe évidemment le cylindre suivant deux hélices, dont les points correspondans se trouvent situés à égales distances de l'axe des 1 sur la droite génératrice de la surface, on peut affirmer que le système des équations (37) et (40 représentera ces deux hélices, dont l'une se confond avec la courbe proposée.

Si l'on éliminait la variable p entre fa première et la troisième des formules (38), ou bien entre la seconde et fa troisième, alors, au lieu de l'équation (4i). l'on obtiendrait l'une des suivantes :

(42) .v = /?cos— ^> ou ^==:^/? arc cos((-^|j)

En réunissant l'une de celles-ci à la formule (37), on retrouverait encore un système de deux équations, propre à représenter deux hélices, dont l'une se confondrait avec la proposée, et qui auraient toutes deux ia même projection sur le plan de 1, x , ou sur le plan des y , j.

Enfin, si l'on réunissait la formule (42) à la formule (43). o^' lune de celles-c' à la formule (4 0> °''' obtiendrait uu système de deux équations propre à représenter seulement la première hélice à laquelle appartiennent les équations (38). Ajoutons que, dans la recherche des propriétés de l'hélice, on peut avec avantage remplacer les équations en coordonnées rectangulaires par le système des formules (38). Nous

avons déjà vu comment on déduisait de ces dernières les valeurs de

cosct, cos/3, COS7. Si maintenant on les applique à la détermination

de la tangente et du plan normal, on trouvera pour les équations de la

tangente

{44) luiL^Jizi^^liLL,

^^^' — 5in^ cos p a

et pour l'équation du pian normal

(45) (r— 7)cos/p — (^-Ar)sin;»-J-<î(<^-2) = o.

On a fait voir dans la troisième leçon comment on pouvait déterminer les asymptotes des courbes planes : on déterminerait avec la même facilité les asymptotes d'une courbe tracée dans l'espace et représentée par deux équations entre les coordonnées rectangulaires x, y , 1, c'est-à-dire, les droites dont cette courbe s'approcherait indéfiniment, sans pouvoir jamais les rencontrer. Supposons, pour fixer les idées , que l'on cherche d'abord les asymptotes non parallèles au plan des y , Z! ^^ soient

(46) yz=zkx-^l, i^:^Kx-\-L

les équations de l'une d'entre elles. On pourra des équations de la courbe tirer des valeurs de 7 et de ^, en fonction de x , qui se réduiront sensiblement, pour de très-grandes valeurs numériques de x, aux valeurs àe y et de 1 fournies par les équations (4^). et qui se présenteront sous les formes

(47) ^=:^.v -4- /-+-/, i=zKx-\-L-\-I,

i et / désignant deux quantités variables qui s'évanouiront avec — •

Or , si l'on fait converger — vers la limite zéro , on tirera successivement des équations (47)

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 20 i

(48) ~ lim-^ — k, lim^ — K,

(45?) nm[y-kx) — l . nm{z-Kx) = L.

Donc, pour dctenniner les constantes /', K, il suffira de poser clans les équations de la courbe

puis de chercher la limite ou les limites vers lesquelles convergeront les variables s çt S tandis que la valeur numérique de .v croîtra indéfiniment. De plus,, après avoir trouvé les constantes k, K, on obtiendra les constantes /, L, en posant dans les équations de la courbe

(51) y = kx-^t, i — Kx~\-T,

et cherchant les limites desquelles t tx T s'approcheront sans cesse pour des valeurs numériques croissantes de la variable .v. A chaque système de valeurs finies des quantités /;, K, l, L, correspondra une asymptote de la courbe proposée.

En raisonnant de la même manière , mais échangeant entre elles les coordonnées .v , y , 1, on obtiendrait évidemment les asymptotes non parallèles au plan des 7^, x, ou au plan des x,y.

On pourrait encore déterminer les asymptotes d'une courbe tracée dans l'espace , en observant que leurs projections sur chacun des trois plans coordonnés sont en général des asymptotes de la courbe projetée. Seulement , la projection de l'inie des premières asymptotes sur l'un des trois plans coordonnés se réduirait à un point , si cette asymptote était perpendiculaire au plan. Alors le point en question deviendrait un point d'arrct de la courbe projetée.

Si l'on considère en particulier l'hyperbole que produit l'intersection

Ltions de AI. Cauch): i ," Année. ^ (

20 2 APPLICAtlONS GÉOMÉTRIQUES

à'un plan et d'un hyperboioïde représentés par deux équations de la forme

(52) fx -h- g)f -h fiZ-= o , et

(53) Ax--h Bf -H ^2* 4- 2D/Z -i- 2Ezx-\-2 Fxy = ionst. ,

on prouvera sans peine, en recourant à l'une des méthodes ci -dessus indiquées, que cette hyperbole a pour asymptotes les droites représentées par le système des deux formules

, ,, ( fx -hgy-^ hi=o ,

( Ax'^ -\- By'- -\-Cz^ -^ xDyi-\- xEzx -\- z Fxy z= o.

En terminant cette leçon, nous ferons remarquer que les points d'arrêt ou de rebroussement , les points saillans , les points multiples, et en général les points singuliers d'une courbe tracée dans l'espace, ont ordinairement pour projections sur chacun des plans coordonnés des points qui offrent les mêmes singularités, mais qui appartiennent à la courbe projetée. C'est pourquoi nous n'ajouterons rien à ce que nous avons dit dans la quatrième leçon sur les points singuliers des courbes.