QUATORZIÈME LEÇON

Des Plans tans:cns et des Normales aux Surfaces courbes.

Considérons une suiface courbe icprcsentce par l'équation (0 i/ rzi: G ,

dans laquelle u désigne une fonction des coordonnées rectangulaires x,y, i. Si, par un point {:< , y , l) donné sur cette surface, on en fait passer une seconde qui la coupe suivant une certaine courbe, la tangente menée en ce point à la courbe dont il s'agit sera elle -mpme la ligne d'intersection de deux plans représentés par les formules (18) de la leçon précédente. Or l'un de ces plans, savoir, celui dont les coordonnées variables ^, v, C, vérifieront la formule

sera évidemment indépendant de la nature de la seconde surface , et par conséquent aussi de la nature de la courbe d'intersection. Donc toutes les courbes tracées sur la première surface de manière à passer par le point {x , y, z) auront leurs tangentes en ce point comprises dans un seul plan. Ce plan unique , dont l'équation coïncide avec la formule (2) , est ce qu'on appelle le plan tangent mené à la première surface par le point donné *.

Les raisonnemens que l'on vient de faire subsisteraient toujours ,

* La méthode que nous venons de suivre pour trouver le plan tangent à une surface, est celle que M. Ampère a exposée dans ses leçon» à l'Ecftle royale polytechnique.

ce*

2o4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et par suite l'équation du plan tangent conserverait encore la même forme, si, dans la fonction ii , les variables x,y, z représentaient, non plus des coordonnées rectangulaires , mais des coordonnées obliques.

Si, en faisant varier à-la-fois .v, y et i, on différencie l'équation finie de la surface proposée , on obtiendra son équation différentielle du premier ordre, savoir,

f \ du , du , du ,

(3) -j^dx-\-~dy-^^di=Q.

En comparant cette dernière à la formule (2), on reconnaît que, pour obtenir l'équation du plan tangent , il suffit de remplacer , dans l'équation diférentielle de la surface , les différentielles dx , dy , d^ par les différences fnies ^ — x, r\~y, Ç — 3.

Si, par le point {x, y, z) de la surface donnée, on mène une droite perpendiculaire au plan tangent, cette droite sera ce qu'on appelle la normale correspondante au point dont il s'agit. Soient A, /x. , v les angles formés par cette normale prolongée dans un certain sens avec les demi-axes des coordonnées positives. L'équation du plan tangent pourra être présentée sous la forme

(4) (^— A)cosA-h-(ïi— j)cos/x-H- (^ — ^jcosvrizo,

[voyei le 4-^ problème des Préliminaires]. Or, pour que les équations (2) et (4) s'accordent entVe elles et fournissent les mêmes valeurs de C, — Z' quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux variables ^, n , il est nécessaire et il suffit que les cosinus des angles A, ,a, v vérifient les deux équations

. . cosA \dx] co3/i \dy I

^^' cosr idu\ ' "cÔsT" /^o y *

wj \di]

comprises l'une et l'autre dans la formule

CCS \ COSit COS V

m m m vm^^M^n

Si maintenant on fait, pour abréger,

on tirera de la formule (6) , en supposant le double signe réduit au signe -H ,

/ON X l du l du l du

(S) cosAr=-^-, cos^rz. --, cosv=--,

et, en supposant ie double signe réduit au signe — ,

/ \ ^ l du î du i du

(5,) cosA— ^-,cos/^=--^-,cosv=:-^-.

Ajoutons que, pour déterminer les angles A, ^, v, on devra employer ou les équations (8) ou les équations (9), suivant que la Jiormale aura été prolongée dans un sens ou dans un autre à partir du point (•^■'7' Z)-

La formule (6) une fois établie , il devient facile de trouver les deux équations de la normale menée par le point {x,y, i). En effet, si l'on désigne par ^, 1, ^ les coordonnées variables de cette droite, on aura, en vertu de ce qui a été dit dans les Préliminaires [pages p et 10],

^ ' cosx COS^

COS 1

puis , en remplaçant les quantités