COS A , COS /O

COS y

par les dérivées partielles

du du dx ' dy ^

qui leur sont respectivement proportionnelles, on obtiendra la formule

^^^1 tdu\ ^^ ldu\ ldu\ '

ui] uy] \~dij

qui comprend les deux équations cherchées.

L'angle aigu formé par le plan tangent au point [x , y, z) avec le plan des x, y est ce qu'on nomme l'incliiiuison dit plan tangent , ou 1///clinaison de la surface en ce point. Ce même angle est évidemment égal à l'angle aigu formé par la normale avec l'axe des i- Donc , si l'on désigne par r l'inclinaison de la surface au point {x,y, i), la valeur de r sera l'une de celles que fournissent pour l'angle v les formules (8) et (p). On aura en conséquence

\ du , , , , R

(12) cosT — i:-^-^, (13) sécT=:^^

le signe dt devant être réduit au signe H- quand la valeur de -j— sera positive, et au signe — dans le cas contraire.

II est bon d'observer que les formules (2), (3), (6), (S), (9) et (i i) ne changeraient pas, si la surface donnée était représentée, non par l'équation (i), mais par la suivante ,

c désignant une quantité constante.

Lorsque, dans la formule (2), on regarde les coordonnées ^, *i, ^ comme constantes et les coordonnées x,y, 1 comme variables, on obtient, non plus l'équation du plan tangent à la surface (i) ou (i4)> n^^is l'équation d'une autre surface qui est le lieu géométrique des points où celles que l'on déduit de 1 équation (i4) • en attribuant successivement, diverses valeurs à la constante c , sont touchées par des plans qui renferment le point (^, », Qj.

De même, si, dans la formule (i i), on regarde les coordonnées v, y. i comme seules variables, on obtiendra, non plus les équations de la normale à la surface (i) ou (i4)i mais les équations d'une courbe qui sera le lieu géométrique des points où les surfaces dont nous venons de parler sont rencontrées par des droites normales qui concourejit au point (^. r, Q.

Si l'on veut que l'équation de la surface donnée se présente sous la forme

ou f{x>y)~Z := o, il suffira de poser dans l'équation (i)

Concevons que, dans ce cas particulier, on fasse, pour abréger,

('7) —77— = P' dy —1'

On aura évidemment

, f,v du du du

(18) -d7~f' -7r = ^' -TT^-'-

et l'équation différentielle de la surface deviendra pdx-^cjdy^ili — Q, ou

(19) diz=zpdx -\- qdy.

De plus , l'équation du plan tangent se trouvera réduite à

et l'on tirera de la formule (11)

ou , ce qui revient au même ,

(22) ^ArH-/j(Ç-2) = o et ii-;'-t--y(Ç-2)=o.

zoS APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Alors aussi les équations (12) et (i j) donneront

(23) cosr— ^(,^^.^^,) > (24) sécTz=zi/{j-\.p^-hf).

Enfin , si la surface courbe que l'on considère était représentée par une équation de la forme

(25) u-i-v-hw-^...=c,

u, V, w . . . . désignant diverses fonctions des variables x , y, i, on devrait évidemment, dans les formules (2), (3), (6), (8), (cj) et (i i), remplacer la fonction u par u-{-v-+-\v-\- . . . ; et l'on trouverait ainsi pour l'équation du pian tangent

{ I (lu dv dif^ \y (du dv dw \ Ida dv div \ y

I du du du dv dv dv dw dw dw

{='j.-^yYy-^^T^-^'-j.-^yjy-^id'^-^''T.-^yiry-^^T^-^-

Concevons maintenant que, dans l'équation (25), u, v, w soient des fonctions entières et hoinogènes , la première du degré m, la seconde du degré m—\ , la troisième du degré m — 2, &c. . . . Cette équation représentera ce qu'on appelle une surface du degré m. Alors on tirera de la formule (26) et du théorème des fonctions homogènes

!/ du dv dw \ y f ^" tiv dw \ f du dv dw \ y,

\dx dx dx 1^ \dy dy dy } \di di di /^

^=zmu-\-[m — \)v-{- {m— 2 ) w -f- . . . ,

puis, en ayant égard à l'équation (25),

{ (du dv dw \v (du dv d^V \^^l^'^ ^'^^ ^'^^^ ^ \r

t^^\)\dx dx dx " 1'^ \dy dy dy ) \di di di } '^

[= }ll C V 2 If' &C. . . .

Lorsque, dans la formule (28), on regarde les coordonnées ^, «, ^ comme constantes et les coordonnées x, y, Z comme variables, on

obtient, non plus l'équation d'un plan tangent à la surface (25), mais l'équation d'une seconde surface du degré m—i , qui renferme les points de contact de la première avec les plans tangens menés par le point (^. 1. <^V Si la première surface est du second degré, la seconde se réduira simplement à une surface du premier degré, c'est-à-dire, à un plan. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème. Si par un point donné on mène des plans tangens a une surface du second degré , tous les points de contact seront situés sur une courbe plane.

Si l'on suppose v:^o, n'=r:o, &c. . . . l'équation (25) se trouvera réduite à la formule (i4). dans laquelle u désignera une fonction entière et homogène du degré m; et l'équation du plan tangent, ou la formule (28), deviendra

dut. du du

Il peut arriver que le plan tangent mené à une surface par un point donné {x,y, i) ne la rencontre qu'au point dont il s'agit, ou qu'il la touclie suivant une ou plusieurs lignes , ou qu'il la traverse. Dans les deux derniers cas, si l'on désigne par

l'équation de la surface proposée, et par ^, r, ^ les coordonnées variables d'une des lignes suivant lesquelles cette surface est touchée ou traversée par le plan tangent, les coordonnées ^. «, ^ seront évidemment assujetties à vérifier les deux équations

Lorsqu'on peut tracer sur la surface une ou plusieurs lignes droites qui

Ltfoni de M CducAj: i.'« Année. jj^

passent par le point [x , y , i) , chacune de ces lignes se confond nécessairement avec sa tangente , et se trouve par suite comprise dans le plan tangent. Alors l'élimination de C, entre les formules (31) produit une équation entre les variables ^, vi, à laquelle on satisfait en prenant pour Yi une fonction linéaire de ^. S'il en est ainsi, non-seulement pour un point déterminé de la surface que l'on considère, mais encore pour tous les points de la même surface , et par conséquent pour toutes les valeurs de x, y,Z ^^^'^ vérifient la formule (30), cette surface sera du nombre de celles qui peuvent être engendrées par le mouvement d'une droite , et que l'on nomme surfaces réglées. Parmi les surfaces de cette espèce, on doit remarquer les surfaces développahles qui sont touchées par chaque plan tangent suivant une génératrice. Entre les surfaces développahles , on distingue particulièrement les surfaces cyliiidr'Kjues , engendrées par le mouvement d'une droite qui reste toujours parallèle à elle-même, et les surfaces coniques , dont la génératrice passe toujours par le même point. Les surfaces réglées , qui ne sont point développahles , s'appellent surfaces gauches.

Nous allons maintenant offrir quelques applications des formules ci-dessus établies.

/."" Exemple. Considérons la surface de la sphère décrite de l'origine comme centre avec le rayon R , et représentée par l'équation

L'équation différentielle de cette surface sera

il}) xdx-]-ydy-^idi^=zo.

Par suite, on trouvera pour l'équation du plan tangent

(34) ^(^--^)-^-7(1-7)-^-^(C-^) = o> o" xl^yy^-^-z^ — R\ tandis que les équations de la normale seront comprises dans la formule

DU CALCUL INFINITESLMAL. 2 i l

que l'on peut rcduire à

Ajoutons que l'inclinaison r, correspondante au point {■'<,)', z) > pourra être détermince par lune des équations

{^6) ' cos r zi= rt -^ î sécT = zh.— '

Les équations [l^), quand on y considère x,y, i comme seules variables, représentent, la première, une nouvelle sphère qui a pour diamètre la distance de l'origine au point (^, n, C,) , et la seconde un nouveau plan. Ce plan coupe les deux sphères suivant une seule circonférence de cercle, qui est le lieu des points de contact de la sphère donnée avec les plans tangens menés à cette même sphère par le point

Quant à la formule (35), elle reproduit toujours la même ligne,' quel que soit, entre les deux points (^, ri, (^), [x . y , z) , celui dont on regarde les coordonnées comme variables; et elle représente, dans tous les cas, ainsi qu'on devait s'y attendre, une droite passant par l'origine.

2.' Exemple. Concevons que la surface proposée se réduise à une surface cylindrique dont la génératrice soit parallèle à l'axe des z> et dont la base soit une courbe renfermée dans le plan des x , y. Cette surface et sa base seront l'une et l'autre représentées par une équation de la forme

Cela posé, si l'on fait, pour abréger,

l'équation du plan tangent deviendra

{39) (^--v)<P(Ar,j)-H(>i-7)x(-v./) = o.

De plus , on tirera de la formule (11)

et l'on trouvera en conséquence pour les équations de la normale

II résulte évidemment des équations (jp) et (4o) que le plan tangent est toujours parallèle à l'axe des 1, et la normale toujours perpendiculaire à cet axe. Ajoutons que, l'équation (3^) étant indépendante de l, chaque plan tangent touchera la surface suivant une génératrice, ce qu'il était facile de prévoir.

Si l'on prend pour base de la surface cylindrique une parabole, wïïq ellipse ou une hyperbole , cette surface sera celle d'un cylindre parabolique, elliptique ou hyperbolique.

j.' Exemple. Considérons une surface conique, dans laquelle le sommet, c'est-à-dire, le point commun à toutes les génératrices, coïncide avec l'origine des coordonnées. Concevons, d'ailleurs, que l'on prenne pour base de la surface conique une courbe plane, dont le plan soit parallèle au plan des x , y , et coupe le demi-axe des i positives à la distance i de l'origine. Soient enfin ^, n les coordonnées variables de la courbe dont il s'agit , et •.

son équation. La génératrice qui passera par le point (^, >i) de cette courbe, sera évidemment représentée par les deux formules

Or, si, entre ces dernières et la formule (40» °" élimine ^ et r, il est clair que l'équation résultante , savoir ,

DU CALCUL INFINITESLMAL. 2 1 ->

sera vérifiée pour tous les points de toutes les génératrices. Elle représentera donc la surface conique. Cela posé , si l'on adopte les mêmes notations que dans l'exemple précédent, on trouvera, pour l'équation différentielle de la surface conique ,

Si maintenant on désigne par ^, n , ^, non plus les coordonnées d'une courbe tracée sur la surface conique , mais les coordonnées du plan tangent ou delà normale au point {■>■',)', z) > on. reconnaîtra, i." que l'équation du plan tangent peut être réduite à

2.° que les équations de la normale sont comprises dans la formule

Comme l'équation (45) ne change pas quand on fait varier -v, / et z de manière que les rapports — , — demeurent constans , on peut

affirmer que chaque plan tangent touchera la surface suivant une génératrice , ce qu'il était facile de prévoir.

On arriverait à la même conclusion en observant que , dans le cas présent, les formules (ji) se trouvent remplacées par les suivantes,

et, comme les coordonnées x,^, i doivent constamment vérifier l'équa-;

tion {4}), il est clair qu'on satisfera aux formules (47) en prenant

Or, ces deux dernières équations entre les coordonnées variables ^, îi , ^. représentent évidemment une droite qui passe par le sommet du cône et par le point (-v, j, i) de la surface conique, c'est-à-dire, une génératrice de cette même surface.

Si l'on veut que la surface conique soit celle d'un cône droit à base circulaire, il suffira de réduire la courbe (4') ^ ^"^ circonférence d'un cercle qui ait son centre sur l'axe des i- Si l'on nomme. R le rayon de ce même cercle, les formules (40 et [4^) deviendront respectivement

Alors l'équation différentielle de la surface conique pourra être présentée sous la forme

(51) xdx -\- ydy :=. R'^ idi-

Par suite , on trouvera pour l'équation du plan tangent

(52) >([l-x)-^y{'^-y) = R"l{C,-l), ou (53) >:l^yA = R^i^; et les équations de la normale seront comprises dans la formule

de laquelle on tirera

Enfin, l'inclinaison r de la surface pourra être déterminée par l'une des équations

DU CALCUL INFINITESLMAL. - 2-5

Il résuite de ces dernières que l'inclinaison de la surface est constante, et qu'elle se confond , comme on devait s'y attendre , avec le complément de l'angle compris entre l'axe du cône et la génératrice. De plus , on conclut évidemment des équations (55), i.° que la projection de la normale sur le plan des x, y coïncide avec la projection de la génératrice ; 2.° que cette normale est renfermée dans le plan tangent à la sphère qui a pour centre l'origine, et qui passe par le point \x,y, ^).

L'équation (52), dans le cas où l'on y considère x, y et 2 comme seules variables , représente un hyperboloïde à une nappe , dont les axes réels sont parallèles aux axes des x et/, et dans lequel un diamètre coïncide avec la distance de l'origine au point (^, *), (^). Dans le' même cas, l'équation (53) représente un nouveau plan qui passe par l'origine. Ajoutons que ce plan et cet hyperboloïde couperont en général la surface conique suivant deux génératrices qui seront les lignes de contact de cette surface avec les plans tangens menés par le point (^, n, ^).

Quant aux équations (55), elles représenteront évidemment, si l'on considère x,y, 1 comme seules variables, une circonférence de cercle qui aura pour diamètre la distance de l'origine au point (^, >i, ^) , et qui coupera le cône au même lieu que la surface abaissée de ce point sur la surface conique.

Lorsqu'on substitue l'équation (50) à celle d'une surface quelconque,; les formules (31) se réduisent à

Si, entre ces dernières et l'équation (50), on élimine ^ et (^, on trouvera

ou, ce qui revient nu même,

(.v>i — ^yY = o ; et l'on en conclura

Si l'on réunit l'équation (58) à la seconde des formules (57), les coordonnées variables ^, n, (^ seront évidemment celles d'une droite qui passera par l'origine et par le point (.v,;', 1). Cette droite sera, en effet, la seule ligne commune à la surface conicjue et au plan tangent mené par le point (.v, y, 2)-

Si l'on prenait pour base de la surface conique une parabole , une ellipse ou une hyperbole , cette surface serait celle d'un cône parabolique , elliptique ou hyperbolique.

^/ Exemple. Désignons par a, b, c trois constantes positives; et considérons la surface représentée par l'équation finie

Cette surface, qui donne pour sections des ellipses , quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des 1, et des paraboles quand on la coupe par des plans perpendiculaires aux axes des .y ou des y , est celle qui termine un paraboloïde elliptique. Comme, en différenciaiit la formule (5^), on trouve

(60) -^dx-^^dy — ^dz,

l'équation du plan tangent au paraboloïde elliptique sera

(éi) ~{l-^)^ir{-^-y) = ^{r,-z),

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 2 l 7

Quant aux équations de la normale, elles se trouveront comprises dans ia formule

de laquelle on tire

La dernière des équations {64) prouve que la normale au paraboloide elliptique , en un point donné , est comprise dans le plan tangent mené par ce point à un ellipsoïde de révolution dont le centre coïncide avec l'origine, et dont l'équation est de la forme

L'équation {61), dans le cas où l'on considère x, / et ^ comme seules variables , représente un second paraboloide de même forme que le premier , mais dont l'axe coïncide avec la droite qui a pour équations

(65) xrr-f, ^ = -f,

et le sommet avec un point situé sur cet axe et correspondant à l'ordonnée

Dans le même cas, l'équation {62) représente un nouveau plan qui rencontre l'axe des 2 en un point dont l'ordonnée est z — ~^- Ajoutons que ce nouveau plan coupe les deux paraboloïdes suivant une ellipse , qui est le lieu des points de contact du paraboloide donné avec les plans tangens menés à ce même paraboloide par le point (^, 1, ^)-

Pour savoir si le plan tangent mené par un point {x,y,z) ^^ ^^ surface donnée traverse ou non cette surface , il suffit d'examiner si

Leço/ts de M. Cau(hy. i." Aqbcc. £c

l'on peut attribuer aux variables |, »i, (^ plusieurs systèmes de valeurs

réelles propres à vérifier simultanément les deux équations

Or, si entre ces dernières et la formule (5^) on élimine ^ et ^ , on trouvera

OU , ce qui revient au même ,

D'ailleurs, on ne peut satisfaire à l'équation précédente qu'en posant

l zz^ X , r\ z=z y ;

et l'on tire alors des formules (jtj) et (67)

Donc le point (.v, y , 1) est le seul qui soit commun au paraboloïde et au plan tangent, ce qu'il était facile de prévoir.

j.' Exemple. Considérons la surface représentée par l'équation finie

Cette surface , qui donne pour sections des hyperboles , quand on la coupe par des pians parallèles au pian des x , y, et des paraboles, quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des x ou à l'axe des y , est celle qui termine un paraboloïde hyperbolique. Elle rencontre évidemment le plan des x, y suivant deux droites représentées par la formule

DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. 2 i 9

qui fournit les deux équations

Cela posé, en opérant comme dans le 4-' exemple, on trouvera pour l'équation du plan tangent au paraboloïde hyperbolique

et pour les équations de la normale ,

(74) ^^H-^=o, xi^-x)-^y{r-y)-^2z{^-z)-=o.

La dernière des équations (74) prouve que la normale au paraboloïde hyperbolique est comprise dans le plan tangent à un ellipsoïde de révolution dont le centre coïncide avec l'origine et dont l'équation est de la forme

■y^ ■+- 2 1' := const.

L'équation (72), dans le cas où l'on y considère x, y, 1 comme seules variables , représente un second paraboloïde de même forme que le premier , mais dont l'axe coïncide avec la droite représentée par les formules (^5), et le sommet avec un point situé sur cet axe et correspondant à l'ordonnée

Dans le même cas, l'équation (73) représente un nouveau plan qui rencontre l'axe des i au point dont l'ordonnée est — (^. Ajoutons que ce nouveau plan coupe les deux paraboloïdes suivant une hyperbole qui est le lieu des points de contact du paraboloïde donné avec les plans tangens menés à ce paraboloïde par le point (^, vi, ^).

Si l'on veut obtenir les lignes qui, passant par un point [x, y, z) de la surface donnée, sont communes à cette surface et au plan tangent, il

suffira d'assujettir les coordonnées variables ^, t, (^ à vérifier les deux

équations

Si, entre ces dernières et la formule (68), on élimine ^ et i, on trour vera

y^ , (JLÈ I^\

OU , ce qui revient au même,

et l'on en conclura

En réunissant, l'une après l'autre, la formule (78) et la formule (79) à la seconde des formules {jô), on obtient deux systèmes d'équations qui représentent deux droites tracées sur le paraboloïde de manière à renfermer le point (at,^, i). Si ce point devient mobile, chacune des deux droites engendrera le paraboloïde hyperbolique, en se mouvant de telle sorte que sa projeclion sur le plan des x , y reste toujours parallèle à l'une des droites suivant lesquelles ce plan coupe le paraboloïde.

Il est essentiel d'observer que toutes les génératrices coupent le plan des X, y , et qu'on simplifie la recherche de leurs équations en supposant le point {x , y , 2) situé dans ce plan, c'est-à-dire, sur l'une des droites (70) ou (71). On reconnaît alors immédiatement qu'un premier système de génératrices est déterminé par les formules

y ^l ^i Ç ll "[ ,J1

que l'on peut réduire à

DU CALCUL LNFJNITÉSIMAL. 221

et un second système par les formules

(82) ~z= — ^i ^^ J^^:::::^^, Jl !^--.^S

que l'on peut réduire à

a b Ce '

a ' b Ce

Ajoutons que le rapport — — demeurera constant pour une même génératrice , et changera de valeur dans le passage d'une génératrice à l'autre. Ce rapport sera donc ce qu'on nomme une constante arbitraire. Si l'on désigne cette constante par G, et si l'on écrit en outre, dans les équations (81) et (83), x, y, i au lieu de ^, n, ^, ces équations deviendront i-espectivement

et (85)

Il est facile de s'assurer directement que chacune des droites représentées par le système des formules (84) ou (8 5) est située tout entière sur la surface du paraboloïde hyperbolique. En effet, si l'on multiplie, membre à membre, ou les formules {'^^), ou les formules (85), on reproduira évidemment l'équation (68).

Comme le plan tangent mené par un point donné à la surface du paraboloïde hyperbolique la touche en un point unique, il est clair que cette surface n'est point développable , et se trouve comprise dans le nombre de celles que l'on nomme surfaces gauches.

6.' Exemple. Si l'on considère le paraboloïde hyperbolique représenté par la formnie

(86) xy — Cl,

on trouvera pour l'équation du plan tangent

(87) ^-d— v)-^v(«-;')=6-(^-2), ou (88) .v>i+7^ = f(^-H3); et pour les équations de la normale ,

(89) x{l-x)r=iy{y^-y), a-(^-a-) H-jK(ti-7) -^-^^(^-Z) = o.

On conclura de ces dernières que la normale est la droite d'intersection des plans tangens menés par le point {x . y , i) à un cylindre hyperbolique et à un ellipsoïde de révolution représentés par deux équations de la forme