X- — jv* = const. , x'^ -+->'* -Ar ^'^ -=■ const

De plus, si l'on désigne par ^ , n , 1^ les coordonnées variables de l'une des génératrices qui renferment le point {x, y, i) , on aura

(po) ^»iz=f^, xr-\-y^ = c{^-hz)'

et l'on tirera des équations (90) combinées avec la formule {S 6)

^Yi -^ xy — .V n — y^ z=: 0 ,

ou , ce qui revient au même ,

Par conséquent les deux génératrices seront représentées par la seconde des équations (po) réunie à l'une des formules

et elles seront constamment perpendiculaires, l'une à l'axe des x, l'autre à l'axe des y.

7.' Exemple. Considérons la surface du second degré représentée par l'équation

DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 225

{p4) A x'' -+- Bf -4- Cl- -t- iDyi-^- zEix -+- iFxy =: K.

L'équation différentielle de cette surface sera

[Ax-^Fy-^Ei) dx H- {Fx^By-+-Di) dy-\-{Ex'^-Dy-^Cz)di— o. Par suite, on trouvera pour l'équation du plan tangent

(p 5 ) [Ax-^Fy^Ei) [l-x)^[Fx^By^Di) {.-y)-^{Ex-^Dy-^Cz) {(^-z) = o ,

ou

{96) {Ax^Fy'^Ez).-<-^-{Fx-^By^Dz)y -h {Ex^Dy-^Cz)z=f^ .

tandis que les équations de la normale seront comprises dans la formule ^ — ^ "— / ç—z

Ax-\-Fj'-i-Ei fx-i- By-\~Di £x-i-D y-i-Ci

Lorsque, dans les équations (95) et (96), on regarde x,y, z comme seules variables, ces équations représentent, la première une nouvelle surface du second degré, semblable à la surface donnée, et dont un diamètre coïncide avec ie rayon vecteur mené de l'origine au point (|, «, ^); la seconde, un nouveau plan. Ce plan coupe les deux surfaces du second degré suivant une seule courbe, qui est le lieu des points de contact de la surface donnée avec les plans tangens menés à cette même surface par le point (^, v, C,).

Quant aux angles A, ^, v, que forme la normale menée par ie point {x , y , 2) avec les demi-axes des coordonnées positives, on les déduira de la formule (6) , qui donnera

COS K COS ^^ COS t

Ax-i-Fj'-i-Ei Fx-^By-\-D-^ Ex-i-Dy-i-C^ '

8/ Exemple. Désignons par a, h, c des constantes positives, et considérons un ellipsoïde dont les axes, parallèles aux axes coordonnés , soient représentés par za, zb, zc On trouvera pour l'équation de cet ellipsoïde