GÉ
DM
ÉTl
et pour
l'équation
du plan tangent
(loo)
tandis que les équations de la normale se déduiront de la formule
(loi) "^ ^^-"^ — ^'^"--^) — ^'(C-0
De plus, pour savoir si le plan tangent mené par le point {x, y, i) traverse ou non l'ellipsoïde, il suffira d'examiner si l'on peut attribuer aux variables ^, r, (^ plusieurs systèmes de valeurs réelles propres à vérifier simultanément les deux équations
Or , on tire de ces dernières combinées avec la formule {^.^) ou , ce qui revient au même ,
^ D'ailleurs, pour satisfaire à l'équation précédente, il faut supposer et par suite
J J^ Ç a' '^ b' "*2 il
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 225
c'est-à-dire ;
'^ — X, r=y , ^ = Z- Donc (e point (v,^, i) est le seul qui soit commun à l'ellipsoïde et au plan tangent, ce qu'il était facile de prévoir.
p/ Exemple. Considérons la surfcice représentée par l'équation finie
Cette surface , qui donne pour sections des ellipses , quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des 1 , et des hyperboles , quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des .v ou à l'axe des;', est celle de l'hyperboloïde à une nappe. Si par le point [x,y, i) on mène un plan tangent et une normale à cet hyperboloïde, on trouvera pour t'équation du plan tangent
(.04)^-^^-^=.. ou li^zi^,^^.
tandis que les équations de la normale seront comprises dans les formules
De plus , pour savoir si le plan tangent traverse ou non cet hyperboloïde , il suffira d'examiner si l'on peut attribuer aux variables ^, n, r plusieurs systèmes des valeurs réelles propres à vérifier simultanément les deux équations
(-0^) ^ + ^='+^' ^-^^ = - + ^- Or, on tire de ces dernières combinées avec la formule (loj)
lofons de AJ. Cauchy. i.« Année. p f
zz6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
ou, ce qui revient au même,
et par suite
Io8 ~- =.- -t ou 109 7^^ = — -^ ^•
^ ' ab c ^ ^' a b c
En réunissant, l'une après l'autre, la formu{e(io8) et la formule (locj) à la seconde des formules (106), on obtient entre les coordonnées ç, Ti, (^ deux systèmes d'équations qui représentent deux droites tracées sur l'hyperboloïde de manière à renfermer le point {>: , y, z)- ^^ ce point devient mobile , chacune des deux droites se mouvra ellemême , et engendrera Ihyperboloïde à une nappe.
Comme toutes les génératrices rencontrent le plan des x, y, rien n'empêche de faire coïncider le point {x,y, 3) avec un des points de l'ellipse
(iio) -,-^H-— =1,
suivant laquelle ce plan coupe l'hyperboloïde , et de supposer en conséquence , dans les équations des deux systèmes de génératrices ,
izizio. Alors ces équations deviendront respectivement, pour le premier système,
ab
et pour
le second système ,
ab
La première équation , qui reste la même dans le passage d'un système
à l'autre, montre évidenmient que toutes les génératrices ont pour
projections sur le plan des. .v, y des droites tangentes à l'ellipse dont nrus venons de parler.
DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. 227
Si, pour simplifier les calculs, on pose
('13) X :zz: r cos p , jrzrrsin/;,
la formule (iio) donnera
{a- sin'' p -i- b' coi' p) ^
et l'on aura par suite
a b cas p a b sii'i p
/ \ a V ces n
(115) XZ= a -, y —
{a' sin' p -^- b^ cos' p) ^ (d* sin'/? -+- />' cos'p) ^
Si l'on substitue les valeurs précédentes de .v et de y dans les équations (i 1 1) et (i 12), et si l'on y remplace ensuite ^, ji, (^ par x, y, i, ces équations deviendront respectivement
iii6)
et
— .vcos/7-{--7-7sin p =: (^r s'm-p -+- b"- cos^ p) " 5 ycosp — xsinp =: (^^sin^/7 -\- ù'' cos' p) ' ~
— X COS p -\- -j- y sm p = \^a- sur p -\- 0 cos'/? j - : X sin p — y cos p := (^;* sin*/? -f- i^* cos* p) ' ■
Il est facile de s'assurer directement que chacune des droites représentées par le système des équations {116) ou (i ly) est située tout entière sur la surface de i'hyperboloïde à une nappe. En effet, si l'on ajoute, membre à membre, ou les deux équations (i 16), ou les deux équations (117), après avoir élevé chacune d'elles au carré, on retrouvera la formule (103). Observons en outre que la quantité p , qui demeure constante pour une même génératrice, représente toujours l'angle formé par Taxe des .v avec le rayon vecteur mené de l'origine au point où la génératrice que l'on considère coupe le plan des x ,y.
Soit maintenant
^ ' /' cos p
On tiiera des formules (i i6) et des formules (117)
Si ion supposait au contraire
' Il sin V .
on tirerait des formules (116)
et des formules (117)
Par consécjiient , si l'on emploie la lettre C pour désigner une constante arbitraire , les droites qui servent de génératrices à l'hyperboloïde pourront être représentées par les équations (119)1 {120), (122) ou (123). Ajoutons que les formules (iifj) et (122) seront relatives à l'un des deux systèmes de génératrices, tandis que les formules (120) et (123) se rapporteront à l'autre système.
Comme le plan tangent mené par un point donné à la surface de l'hyperboloïde à une nappe touche cette surface en un seul des points où il la rencontre , il en résulte que cette surface n'est pas déveiop-5
DU CALCUL INFINITESLMAL. 229
pabie, et se trouve comprise dans ie nombre de celles que l'on nomme surfaces gauches. '
jo.' Exemple. Considérons la surface représentée par i'équation finie
(■^4) i— 4,-^- = ,. ou ^^^ = -^,,
Cette surface, qui donne pour sections des ellipses quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des 1, et des hyperboles quand on la coupe par des plans perpendiculaires à l'axe des .v ou à l'axe des j-, se divise en deux nappes, dans chacune desquelles le point le plus rapproché du plan des x ,y est situé sur l'axe des i, et à la distance c de loriginc. C'est pour cette raison que le solide qu'elle termine a pris le nom <}ihyperholoîde à deux nappes. Si par le point {x . y , i) on mène un plan tangent et une normale à cet hyperboloïde , on trouvera pour l'équation du plan tangent
tandis que les équations de la normale resteront comprises dans la formule (105) de l'exemple précédent. De plus, en raisonnant comme dans cet exemple , on aura évidemment, à la place de la formule (107),
(-'') (^^rH-(^)-=o;
et l'on en conclura
puis, en ayant égard aux équations (12^) et (125) ,
En conséquence, le point {x , y , i) sera le seul point commun à i'hyperboloïde et au plan tangent.
/// Exemple. Considérons la surface hélicoWe représentée f)ar l'équatîon (4 0 de la 13/ leçon, savoir,
(127) e^^/?arctang((^)), ou ;, — Artang-^-
On aura pour l'équation différentielle de cette surface
(,.8) dz^aR -<r-;/- , ou ^^^Jz:=.>:dy-yd>:.
Par suite, l'équation du plan tangent sera
tandis ^que les équations de la normale se trouveront comprises dans la fojmui'e
(130) ^li^ :^ JL->L ^ llZ^ .
A l'aide de ces diverses équations, on établira sans peine diverses propriétés de la surface, et l'on prouvera, par exemple , que le plan tangent coupe la surface suivant une infinité de lignes dont l'une coïncide avec la génératrice, c'est-à-dife , avec la perpendiculaire abaissée du point de contact sur l'axe des 1.
On peut remarquer que l'axe des 3 est entièrement compris dans la surface représentée par la formule (127). Si l'on veut obtenir l'équation du plan tangent en un point quelconque de ce mtine axe , il faudra réduire, dans la formule (125;) , les coordonnées .v et 7 à zéro, ou, ce qui revient au même, il faudra poser xzrro dans l'équation
.-5ta„g^=-^(e;-j)scc-(-^).
produite par l'élimination de y entre les formules (127) et (i^p). Or»
PU CALCUL INFINITESIMAL. 2 3 r
en opérant ainsi, on trouvera, pour l'équation du plan langent ei^. un point de i'axe des i ,
tans
Donc ce plan , qui sera toujours vertical et renfermera toujours l'axe dont il s'agit, changera de direction avec l'ordonnée 1 tin point de contact, et reprendra la même direction quand le rapport -^^ se trouvera augmenté ou diminué d'un nombre quelconque de circonférences.
Oiielqueloia des lignes ou des points compris dans une surface courbe offrent des particularités dignes de remarque , et analogues à celles que présentent les points singuliers des courbes. Parmi les points singuliers des surfaces, on doit distinguer ceux par lesquels on peut faire passer une infinité de plans tangens. En chaque point de cette espèce, les valeurs de cosA, cos^, cos v , déduites des formules (8) ou (9), deviennent indéterminées , ce qui ne peut avoir lieu que dans deux cas , savoir, i .° quand l'une au moins des quantités
du du du
prend une valeur indéterminée ; 2." quand ces trois-quanîitcs deviennent à-la-fois nulles ou infinies. Dans l'un et l'autre cas , la substitution des valeurs de x ,y , Z transforme l'équation (2), qui représente le plan tangent, en une équation identique, ou du moins en une équation qui renferme une constante arbitraire.
Considérons , par exemple , le sommet de la surface conique représentée par la formule {50). Comme ce sommet coïncide avec l'origine, les valeurs correspondantes de x,y, 1 seront nulles; et en substituant ces valeurs dans l'équation (53), on fera évanouir les deux membres. Toutefois, si, à la place des coordonnées rectangulaires x , y , on introduit les coordoniiées polaires r et p , liées aux premières par les
232 APPLICATIONS GÉOiMÉTRIQUES
équations (113), i'cquation (50) donnera
(13 0 2 = — ir' '-
et la formule (53) deviendra gcnéraiement
(132) ^ cos p -h yt sin p = R C,-
Ainsi i équation du plan tangent ne renfermera qu'une seule des coordonnées polaires, savoir, l'angle /j. Or cet angle, qui est déterminé pour tous les points de ia surface conique autres que le sommet, cesse de l'être pour le sommet lui-même, et se change alors en une constante arbitraire. Aux diverses valeurs que cette constante peut recevoir correspondent une inimité de plans représentés par l'équation (132) et tangens à la surface conique.
