QUINZIÈME LEÇON

Centres et Diamètres des Stufaces courbes et des Courbes tracées dans l'espace. Axes des Surfaces courbes.

On nomme centre d'une courbe ou d'une surface courbe un point tel que ies rayons vecteurs menés de ce point à la courbe ou à la surface soient deux à deux égaux et dirigés en sens contraires. Lorsqu'une courbe ou surface courbe a un centre , et qu'on y a transporté l'origine des coordonnées, on n'altère point l'équation ou les équations de cette surface ou de cette courbe entre des coordonnées rectilignes x, )/, 1, en remplaçant .y par — .v, y par —y, et 2 par — j. Lorsque le centre coïncide avec le point qui a pour coordonnées a, h, c, on n'altère point l'équation de la surface ou le système des deux équations de la courbe en remplaçant x par 7.a — x, y par ih — y , et 13 par 7.C — 1.

Exemples. La surface du second degré représentée par l'équation

(i) Ax- -h By^ -+- Ci^ -K 2 Dyi -t- :2.Eix -f- :i.Fxy = AT,

et la courbe suivant laquelle cette surface est coupée par le plan

(2) X cos A -f- y cos ^t -\- 1 cos v z^z o ,

ont pour centre commun l'origine des coordonnées.

Si l'on désigne paF x, y, 1 des coordonnées rectangulaires, la sphère

(3) [x-ay -^[y-iy -^ {i-cy = R^ ,

et le cercle représenté par le système des équations

Lcfens de AI, Canchy. i." Année. q n

I [x — a) cos A -f- (>' — l)) cos /x, -t- ( ^ — c) cos v = o ,

auront pour centre commun le point {ii, h, c).

Une courbe ou surface courbe peut avoir une infinité de centres. Ainsi, par exemple, si, après avoir tracé, dans un plan perpendiculaire à une droite donnée, une courbe qui ait un centre placé sur la droite, on construit une surface cylindrique dont cette courbe soit la base et dont la génératrice soit parallèle à la droite dont il s'agit , chaque point de cette droite sera évidemment un centre de la surface cylindrique.

Toute droite menée par le centre d'une courbe ou surface courbe est un diamètre de cette courbe ou de cette surface.

On appelle axe d'une surface courbe une droite tracée de manière à partager en deux parties symétriques chacune des courbes planes qu'on obtient en coupant la surface par des plans qui renferment cette même droite. Un tel axe est nécessairement normal à la surface courbe dans chaque point où il le rencontre, à moins que le plan tangent mené par le point de rencontre ne devienne indéterminé. De plus , chaque point de l'axe est évidemment un centre de la section faite dans la surface par le plan qui est perpendiculaire à l'axe , et qui renferme ce même point. Donc , si cet axe coïncide avec l'axe des x , et si les coordonnées X, y , 2 sont rectangulaires, on n'altérera pas l'équation de la surface en y remplaçant à-la-fois / par — v et i par — i.

Soit maintenant ()) « = o

l'équation d'une surfice courbe fermée de toutes parts , u :=./ [x , y, i) désignant une fonction des coordonnées rectangulaires x,y, i; et imaginons qu'un certain point {(9) soit le centre unique de cette surface courbe et de toutes les sections planes faites dans la surface par des plans qui renferment le point {0). Si la surface «=o admet un ou

plusieurs axes, le point (0) devra être situé sur chacun d'eux, puisque les plans menés par ce point et perpendiculaires aux axes couperont la surface suivant des courbes dont il sera l'unique centre. Si , pour plus de commodité, on place le point {0) à l'origine des coordonnées, le rayon vecteur mené de l'origine au point (a,;', z) ^^ ^^ surface courbe et la normale élevée par ce point formeront , avec le demi - axe des coordonnées positives, des angles dont les cosinus seront proportionnels, d'une part, aux coordonnées

de l'autre, aux fonctions dérivées

du du du

dy di

Cela posé, concevons que le rayon vecteur coïncide avec un axe de la surface courbe. Comme cet axe , en vertu de ce qui a été dit plus haut, se confondra lui-même généralement avec la normale élevée par le point [x , y , z) > ^^^ quantités

du du du

d X dy d ç

deviendront évidemment proportionnelles aux coordonnées x,yt z» ^^ l'on aura en conséquence

[dus ( d" \ l '^" \ ^ ' X y i

Il est bon d'observer que l'on n'aurait rien à changer à la formule (6), si la surface proposée était représentée , non par l'équation ( 5 ) , mais par la suivante ,

c désignant une quantité constante.

236 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

La formule (6), réunie à l'équation (7), suffit pour déterminer les coordonnées .v, /, z des points où les normales menées par l'origine à la surface «=:=<: rencontrent cette même surface. A chacune des normales dont il s'agit répond un système particulier de valeurs des variables x,y, i, et ces valeurs, substituées dans la formule

/Qv COS A COS|U. COS V I I

font connaître les angles A, /a, v que la normale, prolongée dans un sens ou dans un autre , forme avec les demi - axes des coordonnées positives- Veut-on maintenant savoir si la normale que l'on considère est un axe de la surface ar^f ! Il suffira de couper la surface par des plans perpendiculaires à cette normale , et d'examiner si chacune des courbes d'intersection a un centre situé sur la normale elle-même. Or, si l'on prend sur la normale , prolongée dans un sens ou dans l'autre , un point situé à la distance k de l'origine, les coordonnées de ce point seront

k cos A , k cos fA. , k cos v ,

et le plan mené perpendiculairement à la normale par le même point sera représenté par l'équation

(p) x cos A -I- ^ cos /M. H- 2 cos V = ^.

Donc , en vertu des remarques faites ci-dessus , on aura seulement à examiner si le système des équations (7) et (9) se trouve altéré par la substitution des diffifrences

2 Â cos A — A-, zkcosf^ — y, 2 A cos v — ^

à la place des coordonnées x,y, i; et comme, après cette substitution, l'équation (9) reprendra sa forme primitive, on devra simplement chercher, en écrivant f{x,y, 2) au lieu de u, si l'équation

(10) f[zkcosÀ. — x, zkcos /x—y, 2y^cosi' — 2) ^= o

peut résulter, quelle que soit la valeur de ^, de la combinaison des équations (7) et (p).

Dans le cas où la fonction u est une fonction homogène du degré w , on a

, > du du du

et la formule (6) entraîne la suivante :

( du \ J ^" \ ( '^ " \

( ,^ \ dx I Kiy) Xd^J mu

Alors, en désignant par r le rayon vecteur mené de l'origine au point {x,y, 1) , et posant en conséquence

on tirera des formules (7) et (12)

( du \ /'^"\ f'^"\

/ /\ \ dx ) \ dy j \ di I me

Il est essentiel d'observer qu'en vertu des principes établis dans la I i.^ leçon de calcul différentiel, la formule (6) est celle qui détermine, pour la surface auzzo ou u^^c, les valeurs maxima et mininia de la fonction des coordonnées représentée par x" -\-y^ -i- i' , et par conséquent les valeurs maxima ou mitiima du rayon vecteur r. Ainsi , lorsqu'une surface courbe a un ou plusieurs axes qui passent par l'origine , il faut que le rayon vecteur se dirige suivant l'un de ces axes pour devenir un maximum ou un minimum. C'est, au reste, ce qu'il était facile de prévoir.

On appliquera sans peine les principes que nous venons d'exposer à la solution des problèmes suivans.

i.^"" Problème. Trouver , s'il y a lieu , le centre et les axes de la surface

du second degré représentée par l'équation

(15) Ax--Y-By^-^Cz'--^2Dyi-^zEix-\-2Fxy-^Gx-\-Hy-^Il=.K.

Solution. Si la surface (15) a un centre, et si i'on désigne par x^, y„, I0 ies coordonnées de ce point, il suffira, pour y transporter l'origine, de remplacer dans l'équation (15) x par x-^Xo, y par y-^jo , et l par ^-+-2o. De plus, l'équation transformée, savoir,

Ax-'^-By'- -\~ Ci'^ -f- ^Dyl -h zEix -f- ^Fxy -Je- ^ {A Xo -t- Fyo -i- E Zo -i- G) X {i6){-^ 2 {Fxo -^ By, -^ Dzo -\- H)y H- a (£a-o -t- Dyo -h C Zo -h I) Z =K-{Axo*-i-Byo^-^Czo*-^2DyoZo-^2.Ez<,Xo-i-2Fxoyo-^Gx^-\-Hyo-i-IZo),

ne devant point être altérée quand on substituera simultanément — aà X, —y à y, et — ^ à ^^ il faudra que dans cette transformée ies coefficiens de x, y, z ^^ réduisent à zéro. On aura donc

f A Xo -\- Fyo -\- E Zo^=- — G . (17) \ Fx.-\-Byo-^Dz.-= — H, { £ Xo -J- D yo -):- G Zo = — / /

et par suite v