DiA-±-)-E-{B-^)-F'(C
Enfin , si l'on fait , pour abréger , (24) -^j- = s,
i'équation (23) deviendra
(2 5) {A~s){B-s){C-s)-D'{A-s)-E'{B-s)-f'{C-s)-^2DEF= o , et l'on tirera des formules (22) réunies à fa formule (8)
!A cos A -+- F cos fx -+- E cos v = s cos A, F cos A H- 5 cos fx -{- D cOs V =: s cos fA, , E COS A H- D cos /x, -h- 6" cos V r= j cos v .
Les équations (25) et (26) suffiront pour déterminer la longueur
de chaque rayon vecteur normal à la surface , et les angles A , /a , v formés par un rayon normal avec les demi -axes des coordonnées positives.
Il est important de fixer le nombre des systèmes de valeurs réelles que les équations (25) et (26) peuvent fournir pour les inconnues cos A, cos /x-, cos V et s. Pour y parvenir, j'observerai d'abord que l'équation (25) résulte de l'élimination de cos A , cos /x , cos v entre les formules (26), et que, pour une valeur réelle de s propre à vérifier l'équation (25), on tire des formules (26) une valeur unique de chacun des rapports
cos M. COS l-
et
ces h.
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 24 I
En effet, les Jeux premières des formules (26) entraînent la suivante:
!COS A COS U COS / TD—E^B-s) EF—U[A-s) {A-s)[B-s)—F' h- ! - .
V\[ED—EyB-s)Y-i-[tF—D[A-s)Y-^-[{A-s)[B-s)-F^]'\
Donc une seule droite, qui peut être prolongée dans deux directions opposées, correspond à chaque valeur réelle de l'inconnue j. .
II est encore facile de s'assurer que l'équation (25) ne sera point altérée, si l'on y remplace les constantes
par d'autres quantités
propres à représenter les coefficiens des carrés et des doubles produits des coordonnées dans la formule que J'on déduit de l'équation (;) , en substituant au système de coordonnées rectangulaires .v, y, 1 un autre système de coordonnées rectangulaires ^, n, <^. Pour le prouver, concevons que les nouveaux axes des coordonnées ^, vi, ^, étant prolongés dans le sens des coordonnées positives, forment avec le demi-axe des X positives les angles «to, et., , «x-,, avec le demi -axe des y positives les angles /3o, /3,, /3,, et avec le demi-axe des i positives les angles Vo, y, , y,. On aura \yoyei les Préliminaires, page 15?]
.V = ^ COS cto -^- ri cos et, H- (^ COS ct^ ,
(28) ^ 7 = ^ cos/3a H- r COS /3, -H (^ COS /3^ , 2 = ^ COS y^ -j- >i COS y, -t- ^ cos y^ ;
^ r:r ,v COS cto -+- y COS /3o H- 2 cos y^ ,
(29) { *i =r .V COS et, H- / cos /3, -V- z cos y, , (^ = .V COS (i.^-\- y COS (i^ -\~ Z COS y^ ;
Ltçons de M. Cduchy. i/' Année. Hn
et, en substituant dans le premier membre de l'équation (i) les valeurs de x,y, 1 exprimées en fonction de ^, n, (^, on obtiendra une autre équation de la forme
{30} Jl'^- -\- Sht' -\- et; -^ r^^K^^ ^£t^l-^ ^^lT — K.
On doit remarquer à ce sujet qu'en vertu des relations établies entre les deux espèces de coordonnées, on aura identiquement, et quelles que soient les valeurs de chacune des vûriables ^, r, (^ ,
( Ax- -\- By- —h C-i- -:- 2 Dy i -\- ^E ix -\~ ^.Fx y
On pourra donc différencier l'équation (31) par rapport à chacune des variables ^, n, (^ considérée comme indépendante. Ainsi, par exemple, en effectuant une différenciation relative à ^, et observant que l'on a, en venu des formules (28) ,
cos /3„ , —f- = cos y, ,
on trouvera [Ax -+- Fy-¥-Ei) cos ct^-\-{Fx^By'i'Di) cos [io-^{Ex-\-Dy-+Ci)cosy^
ou, ce qui revient au même,
[Ax-^ Fy -\- El) cos cLo-^ [F X -^ By -i- D^) cos H^ -^ [E x -i- Dy -h C^)cos>^
I =c'i{xcosao+yco}^a+zcosy^)-i-^{xcosa^+ycospj^-i-:^cosy,)-i-:;;;''{xcosu^+ycosli^+ico;yi].
On trouverait au contraire , en différenciant successivement par rapport à chacune des variables 71 et (^ ,
f {Ax^Fy-\-Ei)cosa.,-y-[Fx-+'By-hDi)cosli,-h{Ex-i-Dy-i-Ci)cosy, { —S{xcosu^+ycoifi,,-i.icosy;i-i-âi{xcosa,+ycos,Z,+icosy,]-h£[xcosa^+ycos!i^+lcosy^).
et
DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 2^-^
A iAx-hFy-\-E-)cosa2~i-{Fx-i- By-i-Di)coi(ii-i-{Ex-^Dy-h Ci)cosyz I =:C{xcosa^-^ycO!.li^+lCOSyo)-i-é/h{xcosa.,+ycos/i^+lcosy,)-i-S{xcosci2+ycostiz+ico;yi].
Les formules (32), {^^) et (3 4) sont nécessairement identiques ; c'està-dire qu'elles doivent être vérifie'es pour toutes les valeurs possibles de .V, y, i. On en déduirait facilement les valeurs de <A, S, G, £>, £, 3^ exprimées en fonction de A, B, C, D, E, F, et les valeurs de ces dernières quantités en fonction des premières. Si dans les mêmes formules on pose
X r= CCS A , y ^^^^ cos ,w. , 1^=. cos v ,
et si l'on fait, pour abréger,
cos d-o cos A — f- COS ,5o cos i-L H- cos Yo cos v :=i cos £■ , (35) / cos et, cos A H- cos, 5, cos ^- -h cos 7, cos V z=: cos c4& , cos et-, cos A H- cos /3, cos ,m, -f- cos y, cos v zm cos c4' ,
ce qui revient à désigner par £ , cÂh , cA'° les angles que forme le rayon vecteur /' avec les nouveaux axes des coordonnées, on trouvera, en ayant égard aux équations (26) ,
c/lcos £ -+- c/^cos c4i -f- (f cos et =zr s cos i?, (3 ^) l '^'^^^ £ -h- c/:i cos c/IÙ -h- ^ cos or=r s cos c46 ,
<? cos £ -+- S) cos cât -f- (3 cos g4^:=: s cos c4^
Le système de ces trois dernières est équivalent à celui des équations (26). Par conséquent , si l'on élimine entre les formules (36) les cosfnus des angles £, c/lL, e/ff on devra retrouver l'équation (25). Or, l'élimination dont il s'agit produit la formule
(3 7) (cA-s) (c^-i) {C-s) - S)^ {'As) -£'- [é^s) - dr"* [C-s) H- 2 £) £S^— o.
Donc celle-ci sera équivalente à l'équation (25), et fournira les mêmes valeurs de s , soit réelles, soit imaginaires. Il est d'ailleurs évident que,
pour obtenir la formule (37), il suffira de remplacer dans l'équation (25)
les quantite's A. B, C , D, E, F par les quantités c/l,, S6, C, <£>, £, d:
Il est bon de remarquer qu'on arriverait directement aux formules (36) et (37). si l'on cherchait les rayons vecteurs normaux à la surface du second degré en partant de l'équation (30).
Lorsqu'on développe l'équation (25) , elle devient
^^ ' \=ABC—D'A — E-B — F'C~h2DEF.
Pour que celle-ci ne soit pas altérée par la substitution des quantités Jl, Sh, C, £>, £, dF aux quantités A, B, C, D, E, F, il faut que l'on ait
j t/i^~\-Sh-\-e=A-\-B-\~C.
[^À ^Sh^cAC-^She-^'-t-S'^' — AB-^AC+BC-D^-E'-F^ ( AShe-cA.'x>'--Sh£---G^'-^z^£3^— ABC-AD'-BE'-CF^-^zDEF.
On pourrait vérifier directement chacune de ces dernières équations, en y substituant les valeurs générales de c/l, Sh, C, S), £, oF exprimées en fonction de A , B , C , D , E , F , et tenant compte des relations qui existent entre les cosinus des angles oc-o , ^o , 7o , et, , /3, , 7, , cl^, (i^,y^. On pourrait aussi établir les équations (35^) en prouvant que l'on a, quel que soit s ,
( {A-s)[B-s)[C-s)—D'-[A-s)—E\B-s)—F'-[C-s)-^zDEF
^'^''\=i[c/t-s) [éI^-s){e-s)-^\cÂ-s)-t-{^-s)-^\e-s)■+■l^€^.
Or, pour y parvenir, il suffit d'observer que, si l'on désigne par Ho, h.., Co', ^, , h,, c, ; a^, h^, c^ les coefficiens des variables a-, y , i dans les équations (32), [^i^) et (34), on trouvera pour les valeurs de ces coefilciens tirées des premiers membres
" DU CALCUL INFINITÉSLMAL. 245
1' ao=i:y4cosat-t-Fcos/So-t- £"cos>-,, fl, = /4cosa, -t-Fcos/3, -t-fcos-)- , , di = A cos a^ -^- Fcos fi 2 -\- £co% y ^ ,
(4 ^j \l'o = Fcosao-t-i5cos/îo-t-Z?cos7oi^i ^= Fcoia, -+-5cos/3,-i-Z)co5 7,, /;, r= fcosaj -t-ficosfij-t-ZJLUj-) j ,
( Ca = EcosAc 4- ZJcos /3o -H Ccos 7o , c, = £cosa, -i-Z)cos /^ j -H CCOS7, , f2 r= £~cosa,-t-£)cos32-+- Ccos>z,
et pour les valeurs des mcmes coeiïiciens tirées des seconds membres
(Tj =r c/icosa^-H-Tcosa:, -t-Ccosdj , a, =r Jcostfo-l- cPjcosa., -t-Ccosa^, aa ^ Ccostfo-h- £cosa, -+- 6'co5>i, Tj =:t'Z-cos>o-t-<?cos>, -nCcos^a, c, = JcosT-o-H <^cosî',-+-Ocos>2, Cl z=: Ccos>o-t-23cos>, -t- f COS>i.
Ajoutons que , si l'on fait, pour abréger,
cosa;,cos/3,cosJ-j-cosaoCos;3^cos>',-'rCosa,co.v3jCos>-c-cos«iCos/S(,cos?-j+cosa^cos/3oCosj',-cosaiCos/J,co5>„
on conclura des formules (41) et (4-)
=z{ABC — D'A —E'-D — F-C-\- iDEF)A
— {c/ùsc — ^'-c/i — £'-^ — ci^^e -+- 1 ^£c;r)A ;
puis, en remplaçant û^, b,, c^ par a^—scosa.^, b—scosj3,, c,—scosy^,
{cJo — scosx„){b, — icos/3,)(r, — icosy,) -\- a.b^Co -\- a,b^c, — b^c, [ûo—scosa.o) — Cod.{b, — Jcos/3, )— ^7, /"o (c^ — jcosy^ )
=1 [{A-s):B-s)[C-s)—D^{A-s)—E\B-s)—r-{C-s)-h2DEF] A
= [(^-i)(c^-^)((?-i)-^^(c/f,-j).-^c5'^(<^j)-cr^(e-j)-|-2^C?cr] A.
En divisant par A la dernière formule , on retrouvera évidemment l'équation (40).
Revenons maintenant à l'équation (25). Cette équation, étant du troisième degré, aura au moins une racine réelle, à laquelle correspondront deux systèmes de valeurs réelles de cosA, cas y. , cosv, déterminés par la formule (27), et propres à représenter les cosinus des angles qu'âne même droite, prolongée en deux sens opposés, fait avec
les demi-axes Jes ccortfonnées positives. Cela posé, si l'on prend
ou, en d'antres termes, si l'on choisit pour demi-axe des abscisses positives, dans le nouveau système de coordonnées, la droite qui forme les angles A, /U., v avec les demi-axes des x, y et i positives, on trouvera
(44) cos£= ï , cosc/^& = o, cos&t^:=:o; et les formules {^6) donneront
(45) c/l=:s. £:=0, dr=: O.
Donc alors la quantité cA> sera précisément la racine réelle dont nous venons de parler. De plus, en vertu des formules (45)1 fes équations (30) et {^y) deviendront respectivement
et
L'équation (46) n'étant pas altérée quand on y remplace en même temps n par — 71 et (^ par — ^, il en résulte que le nouvel axe des abscisses est un axe de la surface représentée par cette équation. Quant à l'équation (47). si on la divise par le facteur c/l—s, qui correspond à la racine sz=^c/l, elle deviendra
(48) s-- — {S-hC)s-^SC — ^' = o,
et fournira deux nouvelles racines réelles comprises dans la formule
Donc l'équation (25), qui ne difi'ère pas de l'équation (47). ^ ses trois racines réelles. A ces trois racines correspondent trois droites qui sont autant d'axes de la surface proposée, et dont chacune, prolongée dans
DU CALCUL LNFINITÉSLMAL. 247
lin sens ou dans un autre , forme avec les demi-axes des coordonnées A, y , Z' ^'^ B> '"', ^ y les angles A , ^c , v, ou £, câL, c'i , déterminés par les équations (27) ou (35). Si l'on suppose toujours que l'une dexes droites coïncide avec l'axe des ^, on aura, comme ci-dessus, c=ro , JÀzz: o , et la première des équations (3 6) donnera
(50) [s — o^) cos
De plus, comme Téquaticn (50) devra être vérifiée, non-seulement pour la droite correspondante à la racine j:=c'2-, mais encore pour les deux autres droites, on aura nécessairement, pour chacune de ces dernières , (5 i) cos £:=^ o ,
à moins que l'équation (47) n'admette des racines égales. Donc, si Ton excepte ce cas particulier, la droite correspondante à la racine s^nz/L sera perpendiculaire aux deux autres; et, comme dans l'c^uation. (50) on peut prendre pour cA:> l'une quelconque des trois racines réelles de l'équation. (25), nous sommes en droit de conclure que les trois axes de la surface du second degré se couperont à angles droits. On pourra donc. faire coïncider les nouveaux axes des coordonnées avec les trois axes de la surface. Alors les équations (36) devront ctre vérifiées quand on réduira l'un quelconque des angles £, c/ît, e/f® à zéro , et les deux
autres à ^-j d'où il résulte, i ." que les trois racines de l'équation (25) seront égales aux coefficiens désigjiés par c/l, c/i, C; 2." que les coefficiens ^, £, c^ s'évanouiront. On aura donc à-la-fois
(52) ^—o, €=0, éT—o;
et la formule (46) deviendra
{53) c/e-^^H-c^>:= ^er^^ = K.
Quant à l'équation (37) , elle se trouvera réduite à (54) [^A-s)[S—s)[e-^s)=.o;
et sera effectivement satisfaite si l'on égale s à l'une des' trois quantités c/2^. c^, e.
Il est facile Je s'assurer directement que l'e'qiiation (53) représente une surface du second degré rapportée à ses axes, c'est-à-dire, une surface dont trois axes coïncident avec les axes coordonnés. En effet, pour démontrer cette assertion , il suffit d'observer que l'équation dont il s'agit n'est pas altérée, quand on y remplace ^ par — ^, n par — n et ^ par — (^; et que, par suite, toute section faite par un plan perpendiculaire à l'un des axes coordonnés est une courbe qui a pour centre un point de cet axe.
Nous avons établi la formule (53) en supposant inégales les trois racines de l'équation (25). Si cette équation admettait deux racines égales et une troisième racine distincte des deux premières, on pourrait concevoir que cette troisième racine coïncide avec la racine c/ù de l'équation (47). Alors, la formule (49) devant fournir deux valeurs égales de s, on aurait nécessairement
et par suite
Donc les formules (46) et (47) deviendraient respectivement (56) c/2.^^-Hc^(r^+-C) = /i'^
L'équation (56) est encore celle d'une surface dont trois axes coïncident avec les axes des coordonnées. Il est essentiel d'ajouter que , dans le cas présent , les axes des coordonnées n et (^ pourront être deux axes quelconques perpendiculaires à l'axe des ^ ; d'où il résulte que la surface du second degré aura une infinité d'axes, dont l'un sera l'axe des ^ correspondant à la racine cyî de l'équation (57) , tandis que les autres ,
DU CALCUL INFINITÉSLMÂL. z^g
perpendiculaires à l'axe des ^, correspondront tous à fa valeur cJ3 de l'inconnue s. On arriverait aux mcmcs conclusions en cherchant à dctenniner par le moyen des formules {^^6) les valeurs de £, (M, cA^ correspondantes à la racine s=z<^. En effet, si l'on pose dans ces formules ^
£) = o, £=o, S^—o, s — éfh — e,
la première sera réduite à
(58) (o'g — ci(5)cosir— o,
ou, plus simplement, à
(5p) cos £ ■==. o \
et les deux dernières deviendront identiques ; c'est-à-dire qu'elles se trouveront vérifiées pour toutes les valeurs possibles des angles £, <M, c4; Donc le premier de ces angles, déterminé par l'équation (59), sera un angle droit. Mais les deux autres resteront indéterminés.
Pour passer du cas que nous venons d'examiner à celui dans lequel on suppose les trois racines de l'équation (25) égales entre elles , il suffit de faire
Alors l'équation (5 e,) devient
Dans la même hypothèse, la formule (58), se trouvant vérifiée, quel que soit £, n'entraîne plus l'équation (59); et les trois angles £, tM, , c/î^restent indéterminés. Donc une droite quelconque menée par l'origine peut alors être considérée comme un axe de la surface. La même conclusion se déduit de l'équation (<5i) : car cette équation représente évidemment une surface sphérique que l'on peut regarder comme ayant pour axe un quelconque de ses diamètres. De plus, comme la surface sphérique dont il s'agit devra être encore représentée par l'équation (i),
Leçon: d( M. Cavchy. i.rc Année. / /
il faudra que celle-ci coïncide avec la formule {62) c/£f.v»-f-/-+-2*) = Ar
que l'on déduit immédiatement de l'équation (61) combinée avec la suivante
Or, les formules ( i ) ^'^ {^^) ^^^ peuvent coïncider qu'autant que les coefficiens A, B, C sont égaux à la quantité c/l, et les coefficiens D. E , F k zéro. Donc le cas où les trois racines de l'équation (25) deviennent égales est celui dans lequel on a simultanément
[6i) A=B~C, D=:E — Fz=:o.
il serait facile de prouver directement que , si l'équation (25) a toutes ses racines égales, les conditions {64) seront vérifiées. En effet, si l'on remplace, dans l'équation {25), s par
D'-hE'~^- P ,;
on obtiendra une autre équation de la forme
la valeur de p étant
